그레디언이 1,1 이 나왔는데 그러면 평면방정식의 수직벡터가 동일해야 변화율이 가장큰게 아닌가요? 뭘 놓친건지 궁금합니다. 왜 -1일까요.. 

이유는 평면이기 때문이에요.

ax+y-1=0 도 사실 평면이죠? 여기서 (a,1)은 당연 법선벡터가 될테구요.

그럼 그레디안 (1,1) 과 (a,1)은 같으면 안되고 수직관계일 때가 되어야 합니다. 

그럼 내적이 0 일테고 그러기 위해선 a=-1 이 되어야합니다.

선형변환에 대한 좌표표현을 왜 열로 나타내죠? 

행으로 나타내는게
a1 a2 a3  w1

b1 b2 b3  w2
c1 c2 c3  w3 가 기본적인 행렬표현 아닌가요?

행렬 연산 과정을 자세히 보면 그렇게 표현될 수 밖에 없게 연산이 되었기 떄문이에요.

별다른 의미가 있는 건 아닙니다.

우린 편의상 좌표를 가로로 쓰고 rank를 했지만

사실 세로로 쓰고 rank를 해도 상관없은 없는 것처럼요.

익숙하게 행으로도 표현할 수 있게 행렬을 바꿀 수도 있지만 그렇게 하기엔 이미 고착화된 표현이라 그냥 쓰도록하는게 좋겠습니다.

기출문제 풀다가 모르는게 있어서 질문드립니다.

중적분을 푸는거같은데 범위나 식이 거의 처음보는게 나왔습니다. 책을 찾아보니 강의에서는 배우지 않은 중적분 좌표변환에서 문제와 같은 마름모꼴 범위가 나오는거 같은데 그걸 몰라도 풀수있겠거니 생각하고 도전해봤지만 거의 손도 못댔습니다..

제가 문제를 많이 안풀어봐서 그런지 선생님이 말씀해주신 나중에 풀어야하는? 걸러야하는? 문제가 뭔지 구별하는 능력이 부족한데, 이 문제가 혹시 그런 문제인건가요?

중적분 좌표변환 문제인데요. 좌표변환을 쓰지 않으면 적분자체가 아주아주 힘들거에요.

중적분 좌표변환인지 어떻게 알았냐면 일단 마름모가 보였고 중적분식에 x+y와 x-y가 보였기 떄문이에요.

문제는 식이 범상치 않아보이고 마름모도 중심이 원점이 아니죠? 이러면 살짝 긴장할 필요가 있겠습니다.

일단 x,y 평면 좌표를 u,v로 옮길텐데 아래처럼 점점 집어넣어서 표현해보죠.

엇?? 그런데 모양이 이쁘게 정사각형으로 나오네요? 정말 다행입니다. 그러면 중적분은 쉽네요.

만약에 이 문제가 아래처럼 정사각형이 안나왔다면 스킵했을겁니다. 굉장히 복잡했을테니까요.

이 문제는 어려워 보이지만 `알고보면` 쉬운 문제였습니다.

하지만 시험장에서 `알고보면` 이게 참 힘들죠. 특히 중적분은 잘못 건들다가 시간만 잡아먹고 못 풀게 되는

정말 최악의 상황이 나올 수 있는 문제유형입니다.

그렇기에 중적분은 뭔가 이상해보이면 일단 나중에 푸는 걸 추천드립니다. 

아래 2 -> 1/2로 바꺼야겠네요!

기출문제 풀다가 모르는게 있어서 질문드립니다

테일러 다항식에 근삿값 문제인거같은데 문제부터 일단 이해가 잘안됩니다..

알고있는 테일러 다항식 근삿값 식은 끄적여보았는데 아예 모르겠어요..

다 좋았는데요. 

x=a 에서 테일러 급수는 아래처럼 표현합니다.

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2 

그런데 사실 이 문제의 문제는 오차의 한계를 구하라고 하는 표현인데요. 

일단 이건 출제자가 너무 깊은 내용을 물어봤습니다. 

오차라는 사전지식이 없으면 못 푸는 문제입니다.

그렇다고 이걸 디테일하게 공부하는 건 비효율적이고 간단히 설명하자면

오차의 한계는 실제값과 테일러급수로 구한 근사값과의 차이인데요. 

이 때 2차까지 구하라고 했으니 3차부터 짤리죠? 이 값을 구해야합니다.

테일러급수시 버려지는 값을 이용하는데요.

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2 이후 f'''(a)/3!*(x-a)^3... 값들입니다. 

여기서 첫항 f'''(a)/3!*(x-a)^3 하나만 구해보면 대략 (3/8*0.031)/3!*(x-4)^3=0.002^(x-4)^3 값이 나옵니다. 

여기서 범위는 3~5 이므로 5값을 집어넣으면 0.002 3값을 집어넣으면 -0.002이 0.004정도의 오차가 생기겠습니다.

이 문제를 꼭 이해하고자 한다면 

https://www.youtube.com/watch?v=FuxAz6rOl2s

내용 참고하고 공부하면 되나.. 솔직히 그럴 필요 없고 그냥 이 문제는 버리시면 되겠습니다.

기출문제 풀다가 모르는게 있어서 질문드립니다

극곡선으로 둘러싸인 넓이는 구한거같은데

둘레의 길이를 푸는데 적분을 못하겠습니다.. 도와주세요

아랫처럼 적분해요.

사실 이렇게 한번도 안해봤으면 못하는건데요.

시험 때는 당황하지 말고 어차피 1+sin이나 1+cos이나 같은 모양이니 센스있게 r=1+cos 으로 구해보는것도 하나의 방법입니다.

기출문제를 풀다가 모르겠어서 질문드려요

제가 적분을 못하는건지 아니면 적분이 나오기 전부터 실수한건지 잘모르겠습니다..

와 너무 짜증나는 문제네요 ㅋㅋ

솔직히 편입수학만 공부한 친구들이 풀기엔 좀 힘든 문제 같구요.

일단 아래보면 알겠지만 사실 합성삼각함수할 때 알파값을 디테일하게 구하지 않는데

이 문제 경우 체크할 사항이 좀 있습니다. 

그리고 원래 이동거리는 표현한 것처럼 속도로 구하는게 정석이나 그렇게 구할 시 적분이 힘듭니다. 

그래서 그냥 주어진 위치그래프를 이용해서 구해야겠습니다.

일단 저 풀이로 써서 정답은 1로 맞습니다. 그런데, 묻고싶은 질문은

이때까지 교수님 커리큘럼을 들으면서 어려운 문제 푸는 법은 1. 조건에 맞는 간단한 케이스 대입 2. 그림 그려서 풀기 3. 선지에 있는 값을 집어넣어봐서 풀어보기로 총 3가지를 배웠는데

제가 기출문제를 풀때마다 불안한 점이 드는게

위 문제를 저런 식으로 풀어서 3분정도 풀게 되었는데 위 사진 속 풀이와 같이 조건에 위배되지 않게 선생님께 배운 그대로 문제에 적용했어요.

그런데, 막상 해설지에 보면 풀이는 엄청 길게 되어있고 실전에서 이렇게 써먹을 수 있을까?라는 생각이 들지만

이런 방법(어려운 문제 푸는 3가지 방법)으로 기출문제를 공부하고 분석하는게 맞는지 계속 의구심이 드네요.물론 어려운 문제 푸는 3가지 방법으로 답이 맞다면 아 실전에서 이런 문제가 나오면 이렇게 풀면되겠구나하고 말면 되는데

만약에 위 서강대 문제처럼 이렇게 어려운 문제를 3가지 접근법으로 해서 풀었는데 답이 틀리다면 그때는 그냥 이 문제가 실전에서 나오면 못푸니까 실전에서 이 문제 나오면 스킵해야지라고 생각하면서 기출분석할 필요도 없이 손절하면 되는건가요? 아니면 사실 저 3가지 접근법으로 풀 때 제가 잘못 해줘서 어디서 틀렸을까를 분석해서 풀어야 되는건가요?

저 세가지 방법으로 푸는 건 무조건100%맞는 풀이가 아니라 빠르고 간결하게 70%의 확률로 푸는 걸로 알고있는데 어려운 문제 3가지의 접근법으로 위배되는 것 없이 풀어도 틀리면 선생님께 풀이법을 질문해서 공부해야 되나요?

그리고 그냥 딱 봐도 실전에서 못풀겠다하는 기출문제들은 그냥 분석이나 안풀고 스킵하나요??

사실 건대에 위도경도?그 문제는 그냥 안풀고 말았는데 그래도 되나요? 한번 풀고 분석하고 그래야 될까요?

이런 문제는 미분학 내용이고 함수에 대한 깊은 사고력이 있어야 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 

수능형 문제라고 할 수 있죠.

해설에서는 어떻게 풀어놨는지 모르겠지만 아마도 어디서 답지 뺏기듯이 풀어놨을 거 에요.

이런 문제를 잘 풀려면 정말 수능처럼 깊게 공부하고 수능 킬러 문제를 다각도로 여러문제 풀면서 공부해야합니다. 

근데 일반 편입수학을 그렇게 공부하는 건 사실 불가능하기도 하고 가성비가 매우 떨어지죠.

예를 들어, 이 문제는 h(x)=g(x)-1+x-2x^2 라하면

-f(x)

-f(0)
아무튼, 준비도 못하고 현실적으로 그래프를 그리거나 대입해서 푸는 수 밖에 없습니다. 어차피 시험 붙는 친구들이

저 문제를 기가막히게 풀어서 붙는 친구는 없으니 걱정안해도 됩니다. 

위도 경도 그런 문제들은 그냥 재수(?)가 없는 문제니 리뷰할 것도 없습니다. 

그 문제를 어떻게 나올줄알고 준비해서 풀까요. 준비한다해도 맞추는 보장도 없구요.

1번 케이스는 tan는 무시하고 1/n^p 이고 분모에 n 이 있어서 1/n^p-1 인데 

분자에 n을 신경 안쓰고 n^p만 고려해서 판단하면 안됩니다.n^1.5 라 해도 분모랑 지워져서 n^0.5가 되어 발산이 됩니다.

2번케이스이 딱 정확한 풀입니다.

마침 오늘 현강에서 풀었던 문제인데요.

z=x+y로 하면 0 이 나오죠. 근데 보기 1~5번도 다 0입니다. 그럼 보기가 서로 갈라지는 다른 예를 집어넣어야 합니다.

평소보다 조금 불편(?)하게 보기를 만들어서 넣어야합니다. 

두번 미분해야하기 때문에 2차식을 만드는게 좋구요. 

z=x^2+2y^2을 예로 집어 넣습니다.

여기서 2y^2 냐면 새로 만들면 귀찮기 때문에 2를 붙여봅니다. 이렇게 까지 공들여 만들었으니 분명 보기가 갈라질 수 밖에 없습니다. 

그러면 보기가 정확히 3번 혼자 만족하게 나옵니다. 

변수분리는 상수일 때 가능한데요.

주어진 적분 식에서 x는 상수 취급합니다. 인테그랄 dtds 적분에서 t와 s만 변수로 취급할 뿐 x는 그냥 상수로 취급하고 적분하면 되겠습니다.

T(x,y,z)=(-4y+2z,-x-9y+4z,x+y)
Ax=0 꼴로 구하던데 이러면 핵공간을 찾으라는거랑 치역은 무슨차이인거죠?

핵공간은 정의역 V에 존재하는값입니다 .

AX=0 에서 X 이지요.

치역은 공역 W에 존재하고 AX 그 자체입니다. 이미 영공간이라 하면 이미 치역은 0 으로 고정되있습니다.

그냥 핵공간 치역을 물어봤을 거 같진 않고 문제표현을 정확히 봐야겠는데요?!

여기서 말한 기약사다리꼴 영행은 행방향 즉 row 쪽의 영벡터를 가진다는 소리이니깐
영공간차원은 이미 상공간차원에서 사라진 2차원을 포함하므로
영행이 몇개라고 묻는건 K(영공간차원)-2(column쪽)차원을 빼면 나온다는 소리인가요?

뭔가 말이 복잡한데요. 그래서 실제 풀 땐 그냥 예를 집어넣었죠.

다시 말로 정리하자면

영공간 차원 k=9-rankA

RANK시 '0'줄을 개수를 a라고 하면 rank값은 7-a 으로 표현할 수 있겠네요..

k=9-(7-a)=a-2 가 되겠습니다. 보기는 k와 a를 같다고해서 틀린 말입니다.  

더 정확하게 말씀드리자면 정사영 정리를 왜 쓰는지 이유를 모르겠어요..

사실 영공간의 기저가 2개의 벡터가 나오는데

(1,0,0,-1) 이랑 (0,1-2,0)으로 나오는데요

여기서 그냥 두 벡터 중 하나를 골라서 x벡터 정사영시키면 안되나요?

정사영 정리를 쓰는 이유는

어떠한 특정한 한개의 벡터 위에 정사영한 게 아니라 평면과 같은 여러 벡터로 이루어진 공간위에 할 때 씁니다.

보통 두 벡터로 이루어진 평면을 주로 물어봅니다. 3차원이상이 되면 엄청 복잡하기 떄문에.

지금 그림에서 w라는 평면위에 올린 정사영을 구하라 한 것이구요. 

물론 정사영 v 바로 밑에 있는 벡터를 알 수 있다면 그 벡터와 정사영벡터를 구하면 됩니다. 근데 바로 밑에 놓인 벡터는 주어져 있지 않기 떄문에 

x축과 y축과 대응되는 u1, u2와 정사영을 하고 벡터합으로 표현 한 것이지요.

정사영 정리를 쓸 때 꼭 직각일 필요가 없으나 직각이 아닌 경우는 다른 추가적인 체크사항이 필요합니다. 그런 불필요를 막기 위해 그냥 직각 상태의 벡터를 이용합니다.

곡면식을 구해야 그라디언트에프를 구해서 접평면을 만들 수 있는데 중요한게 곡면식을 못만들겠습니다. 어떻게 만드나요? y^2이 어떻게 나오는걸까요..?

일단 z=x^2+y^2 알죠? 근데 이 식은 y=x^2을 y축으로 돌린 모양이죠? 

저거 역시 +1 일 뿐 y=x^2 을 돌린것뿐 그러면 z=x^2+y^2 인걸 '직관'적으로 알 수 있습니다.

z축 기준에 빙글 돌린 모양이라 z 머리 꼭대기서 보면 원처럼 돌기 때문에 원식이 되어야 하므로 x^2+y^2이 표현되기도 하구요.

ㄱ. 무조건 1/x보다 밑에 있으면 수렴입니다. 주어진 식은 x^2/e^root2 네요. 가장 큰 지수함수가 분모에 있습니다. 당연히 분모가 엄청 크니 1/x보다 밑에 그려질 수 밖에 없습니다. 그러니 수렴입니다.

ㄷ.해설처럼 치환해도 되고 ln(-무한대)는 애초에 ln은에 양수값만 집어넣을 수 있습니다. 그래서 절대값을 씌어서 그래프에서 ln무한대입니다. ln무한대는 그냥 무한대일 뿐이죠. 그럼 무한대-무한대인데 어느 무한대가 더 큰 무한대인지 판단하려면 또 다른 극한을 표현을 더 써야하는데. 그렇게 하는건 불필요하죠.

이런 번거로움 때문에 그냥 

애초 1/x(lnx)는 발산이고 1/x(lnx)^2는 수렴이라고 수업 때 강조했는데요. 

이거 역시 1/x(lnx)는 사실 x보다 작은 lnx가 영향을 크게 주지 않기 때문에 1/x로 봐도 무방합니다.  

1/x은 알다시피 발간이구요. 

ㄴ. 일단 해설처럼 푸는게 정석인데요. 사실 저 문제가 자주 보는 문제가 아니라 시험장에서 저 문제를 저렇게 푸는 건 사실 힘든일이죠. 그래도 1-t 나 적분구간이 뒤집힐걸 보면 그래도 치환을 하는 모양이란 걸 유추가 됩니다.

문제는 그 이후인데요. 분수함수와 삼각함수라 부분적을 해도 쉬운 모양이 나오지 않습니다. 

여기서는 무한급수로 판단하는게 좋습니다. 

sint=x-x^3/3! 무한급수로 표현할 수 있죠? 그럼 sin(pi*t)=pi*t-pi^3*t^3/6 이고 이걸 t로 나눈 함수값 역시 존재한다는 걸 알 수 있습니다.   

무한급수 문제는 정확히 푸는 건 현실적으로 힘듭니다. 1/x보다 작은지 판단하거나 안되면 급수를 써서라도 빠르게 판단하고 넘어가야합니다.