a를 실수, f(x,y)= sinxy+y라 하자. 3차원 공간에서 곡면 z = f(x,y)를 평면 ax+y-1=0으로 잘랐을때 점(0,1,1)에서 

f의 변화율이 가장 크게 되는 a의 값은?

이 문제에서 곡면을 평면으로 잘랐을때 변화율이 가장 큰 방향은 평면의 기울기 방향(z=0)임을 이용하라.

라고 적혀있는데 이 부분이 잘 이해가 되지 않습니다.

제가 이해한바로는 두 곡면이 만나고 선이 생기는데 0,1,1이라는 점이 그 교선의 점이니까 그 점에서 두 함수의 

경도가 같다고 놓으면 된다고 생각했는데 , 제가 잘못 이해한것 같습니다. f의 변화율이 가장크다는것은 그래디언트의 방향이라고 이해했었는데 혹시 이 문제를 어떻게 이해하면 좋을까요?

다소 물리적인 문제입니다.

솔직히 일반 수험생이 풀기에 좀 과한 문제 같습니다.

결론적으로 곡면을 주어진 평면이 수직으로 지나가야합니다.

그 상황이 잘랐을 때 가장 크게 되는 값입니다.

단순하게 비유하면 어떤 면을 칼로 자를 때 수직으로 자르죠?

그러면 두 그레디언의 내적값은 같은게 아니라 0 이 되어야 합니다.

sinxy+y-z=0 

의 그레디언은(1,1,-1) 이죠

주어진 평방 ax+y-1=0 의 그레디언은 (a,1,0)

내적시 0이 되려면 a=-1이되겠습니다. 

안녕하세요 선생님!

다름이 아니라, 방향 도함수 관련하여 질문이 있습니다. 분명히 방향 도함수는 이차원 곡면의 접선백터로써 함수가 음함수 일때 z까지 고려해야 한다고 하셨습니다. 만약 양함수로 구하게 되면 접선백터라고 이해했습니다.

그런데, 181페이지 2변수 함수의 방향도함수의 정의부분에서(cos,sin이용하는거) 그래디언트를 x와 y에 대해서만 구했습니다. 

마찬가지로 182페이지의 기출유형 1번 f(x,y,z) =x^3-y^2+xyz^2에 대하여 (1,-1,2) 에서의 경사도는?  이 문제는 3변수 함수의 그래디언트를 구하는거 아닌가요? 독립변수가 3개이면 곡면이 아니라 공간이 되는거 아닌가요? 책에도 3변수 함수의 경사도 구하기라고 적혀있고요....

또 아래 유형학습 1번 2변수 함수 f(x,y)=x^2+y^2일때, 점(1,2)에서의 f(x,y)의 기울기를 구하면?이라는 문제에서 

제가 알기로는 음함수로 표현해서 그래디언트를 구해야 하는데 그냥 그대로 편미분 x, 편미분 y를 구하고 (1,2)를 단위벡터 구해서 내적을 하면서 풀었던것으로 기억합니다.

정리하자면, 2변수함수의 그래디언트는 음함수로 표현이 되어서 z를 포함해 좌표가 3개가 나와야 하는데 2개인게 궁금하고 , f(x,y,z)= xyz 같은것은 3변수인지 2변수인지(곡면인지 공간인지)가 궁금합니다.

또한 방향도함수의 좌표가 2개일때 제가 알기로는 그래디언트가 좌표가 3개여야 하는데 2개로 설정하고 구하는지 모르겠습니다..

제가 설명한 기준은 3차원 공간에서 2차원 곡면 z=x+y 같은 상황을 가정한 것이고

보다시피 물어본 f(x,y,z)=xyz 이런것들은 3변수인 4차원입니다. w=xyz 이런 것이죠.

182 유형1번 이 경우도, 문제에서는 3차원공간은 전제로 하지 않고 물어봤끼에 fx,fy까지만 그레디언으로 물어봤습니다.

2~4차원을 넘나들면서 표현하기에 기하학적으로 이해하기 굉장히 힘들기 때문에 

너무 이부분에서는 디테일하기 이해하지말고 표면적으로 구하라는 것 구하는게 좋습니다.

적어도 k를 넣고 뺴고해서 혼동주는 문제는 없을겁니다.

안녕하세요 선생님 위에 나온 문제는 중앙대학교 2018년도 12번 문제입니다

특수해 구하는 과정에서 세제곱이 나와서 그런데 혹시 유리함수처럼 분해해서 풀어야되는 건가요? 아니면 다른 공식 같은게 있나요?

미분연산자 3차 표현을 말하는거죠? 3차는 좀 생소하긴 한데

지수야.

1/(D^3-D^2) * 3e^x 에서 분모의 D^3-D^2=D^2(D-1) 로 인수분해가 되고 

알다시피 0 이 되는 항을 뒤로 보내면 

1/D^2*3e^x*1/D = 3e^x*x가 됩니다!

지수는 기본 미분연산자풀이랑 똑같이 풀면됩니다. 

이걸 물어본게 아닌거 같고 -2와 같은 다항식을 말하는 것이지요?...

2차는 공식을 만들어드렸지만....3차도 억지로 만들어볼수 있지만 복잡하고 잘 안나오니 무의미한 거 같구요.

그냥 해설처럼 급수형태로 푸는 수 밖에 없습니다.

유리함수처럼 분해해서 풀어도 되는데 분해하고도 어차피 다시 또 공식을 쓰면 그것 역시 시간이 많이 걸리고 

실수도 할 수 있기에 그냥 분해하지말고 첨부터 급수로 풀는게 좋습니다.  

문제 지문에 '생성' 이라는 글을 보고 저는 1차결합으로 문제에 접근해 보았습니다.

그리고 C1과 C2라는 미지수를 처리하려고 그냥 1을 대입해 보았습니다.

결과 선택지 4번을 제외하고 전부 내적 값이 0이 나왔습니다.

우연의 일치인가 싶어 C1과 C2에 아무값이나 넣어봤습니다.   예(C1에 1 , C2에 0)

그러나 결과는 같았습니다.

이게 왜 이렇게 되는 건지 궁금합니다.

그리고 이렇게 풀어도 맞는 풀이 인지도 궁금합니다.

(참고로 마지막에 내적계산시 숫자가 -10이 있는데 -3을 실수로 잘못적은것입니다)

잘했어요! 다만 왜 그렇게 되는지 이해할 필요가 있겠죠?

문제는 u와 v로 만들어진 공간W가 직교, 즉 내적시 0인 값을 찾으면 됩니다.

당연히 u와 v 그 자체도 W 위에 있고 u,v로 1차결합한 것도 W 위에 있으니 당연히 내적이 0이 보기 답은 모두 내적0이 됩니다.

반구와 y=x^2은 다릅니다.

아래처럼 원을 이용해서 풀어야합니다.

가장 최선은 문제를 어느정도 파악하고 그래프를 그리던 집어넣던해서 찍는 것이구..

그게 아니면 적어도 보기 숫자를 보고 그럴듯(?)해보이는 숫자를 찍는게 좋겠습니다.

아시다시피 편입시험 보기는 정말 그럴듯(?)해보이는 보기가 있습니다. 이건 평소 찍으면서 감을 키우는 수 밖에 없습니다.

그게 아니라면 그냥 한번호로 미는게 최선입니다. 

수능처럼 답 숫자 균등히 배분하지 않은 경우가 많고 

무엇보다 본인이 푼 문제가 다 맞는 경우를 해야하기 때문에 편입시험에서는 그렇게 좋은 방법은 아닌 거 같습니다.

추가적으로, 중적분에서 치환하는 문제들은 다 야코비안으로 간주해서 야코비안행렬식붙여줘서 계산해주면 될까요 교수님?

극좌표 치환은 단순히 표현을 바꿔주는 이상으로 의미가 있는 치환입니다.

세타는 반시계로

무엇보다 r을 '원점 중심'으로부터 거리로 정한 표현이니까요.

그래서 x=1/2+rcos세타 표현의 r은 '원점 중심'이 아닌 '중심 (1/2,0)' 이기에 평소쓰던 극좌표 치환은 아닙니다.

물론 이것도..이렇게저렇게 추가적인 조치를 치하면 쓸 수는 있습니다만....

중적분 치환문제는 야코비안행렬식을 반드시 붙여서 보정해줘야합니다.

교수님 이해를 아무리 하려고 1시간이상동안 해봐도 잘 안돼서 그러는데

이동경로가 폐곡면 일 때 주어진 함수가 포텐셜함수면 당연히 값이 0이 되고 (처음과 끝이 동일하니까 값0)

또 그린정리식 자체가 포텐셜함수가 포함되어있기에 이때 주어진 함수가 포텐셜이면 당연히 선적분한 값은0이 되는건 맞습니다.

또 이럴 때 그린정리식이 어쨋든 이동하는 경로의 밑면적이기에 이 밑면적이 만약에 원점을 지나고 그 힘F라는 식에서 분모에 원점을 집어넣었는데 0이되면 그린정리를 쓸 수 없고 원래의 선적분식으로 쓰는 것도 잘 알고있습니다.

반대로 이동하는 경로의 밑면적이 원점을 지나지 않는다면 그린정리를 쓸 수있겠죠. 마침 거기에 포텐셜함수라면 어차피 그린정리 식값은 당연히 0이 될 수밖에 없습니다. 물론 그 그린정리 식의 밑면적에 분모에 0이 되는 점이 있어서 힘의 값들이 정의가 안된다고 하더라도 포텐셜이기에 적분경로를 새롭게 바꿔주면 됩니다.

더 할말이 많지만 이렇게 개념을 잘 이해하고 있습니다.

그런데도 교수님께서 하신 말씀이 잘 이해가 안갑니다.

너무 복잡하게 생각한 거 같군요.

건대 시험장을 가정하고, 낯선 문제는 풀지 않는 것이 원칙이고 (특히 중적분 파트) 

k=1 인 형태의 F가 원점을 지나지 않는 선적분시 0인 걸 알았기 떄문에 단순히 k=1 선택한 겁니다.

다른값은 되는지 안되는지 풀어본 적도 없고 그래서 검증하지 않은 것이구요.

확실한 건 k=1이 되는 것이니까요. 

안녕하세요 선생님!

다름이 아니라, 제가 선생님 강의 빈출유형강의까지 다 듣고 진도나간 부분 많이 한 과목은 6번까지 복습했고

최소 2번은 복습을 했는데 기출을 풀려고 하니 기본적인 공식들이 계속 기억이 안납니다. 양이 너무 방대하고 

어떤 과목에 집중을 하면 다른 과목은 또 그대로 까먹습니다.......

이 시점에서 개념노트나 공식노트를 만들어서 복습을 미분 1부터 차근차근 다시 한번 정리하는 게 나을까요?

아니면 기출 풀면서 모르는 부분을 가서 그 문제들을 쭉 풀어 보는게 나을까요?

그리고 대수적 중복도 관련하여 질문하였는데, 그 부분의 제 질문만 답변이 안되어 있습니다 ㅠㅠ

너무 많죠? ㅠ 

저조차도 사소한 공식은 많이 까먹습니다.

일단 학교마다 중요하게 생각하는 파트가 있습니다.

목표하는 학교 기출을 여러번 풀고 (당연히 처음 풀 때는 힘듭니다. 오픈북하면서 천천히 푸세요.)

기출을 풀다보면 그 학교에서 자주 나오는 내용과 공식이 있습니다. 그 부분만 집중적으로 해야합니다.

지금부터 미적1부터 차근차근하면 오랜 시간이 걸리니 기출을 풀면서 같이 복습해주세요.

까먹게 되는 부분...그냥 자주하는 수 밖에 없습니다 ㅠ 

그래도 꼭 해야하는 부분은 

극한/무한급수/선적분/선현대수 공간파트 

이 네 파트는 모든 학교에서 나오는 문제고 (공간은 건대 제외)

점수를 빠르게 가져갈 수 있으니 다른 파트보다 우선시해주세요.  

어떤 학교를 지망하는지 알려주면 팁 알려드리겠습니다.

랭크연산으로 못하는 것은 치역을 구할때만 못하는 것으로 알고있는데 위에 행렬표현 구할 때 순서기저 베타의 벡터를 좀 간단하게 하고 싶어서 랭크연산으로 간단하게 해서 풀었는데 답이 안나오는데 혹시 이때도 랭크연산으로 벡터 단순화를 못하나요??

기저는 그대로 둬야합니다. 

저 세 벡터로 어떤 새로운 벡터를 만들어낼 떄는 그걸 써도 되지만

이 문제는 기저 그 자체를 이용해서 좌표행렬을 표현해주는 것을 전제로 답은 내기에 그냥 써야합니다.

우리가 (1,2,3)은 기저 (1,0,0), (0,1,0) ,(0,0,1)로 표현해야 1,2,3이 나오는 것처럼요.

둘다 사용하는것도 같고 의미도 같은데 왜 다르게 표현하나요?

와우, 처음 받아보는 질문이에요 ㅋㅋ 호기심이 많군요.

다른 사이트에서 퍼왔습니다. :)

1. d: 변화경로에 무관한(path independent)한 property의 differential change양을 나타낼 때 사용하는 거고,
2. 대문자 델타: 이것도 변화량이긴 한데, 미분 적용하는 중간과정에 나오는 것 혹은 라플라스 방정식의 라플라시안 연산자로 보는 경우도 있고,
3. 소문자 델타: 이 경우는 관찰하고자 하는 양이 path dependent 한 것, 이 경우 관찰량은 property가 아니라 열이나 일 같은 경우가 해당되지. 그러나, 중력에 대한 일 같은 경우(비 보존력이 무시되는 경우 혹은 등엔트로피 과정의 경우)에는 이 델타가 d로 변할 수 있지.
4. 라운드 d는 편미분 연산자인데, 어떤 상태량이 여러 변수에 동시에 영향을 받는 경우, 한 변수에 의한 영향만을 볼 때 이 연산자를 쓰지.
결국 결론은 모두 변화량을 나타내기

자연의 규칙이기 때문에?.. 

이건 마치 숫자가 왜 홀수와 짝수로 이루어졌냐는 질문 같아요 ㅠ ㅋㅋ

대칭 행렬은 분명 특징이 있는 행렬이고

반대칭 행렬도 특징이 있는 행렬입니다.

그게 실제로 어떤 쓰임이 있는지는 저는 힘들고.. 

저나 여러분처럼 그냥 배우고 푸는 일반인들은

이걸 구하고 이걸 물어보니 의미있는 거 같습니다. 

외우지 않은 lnx 급수라 직접 유도해야하기에 당황할만한 문제입니다.

안녕하세요 교수님!

다름이 아니라 성대 기출 풀이강의에서 

M*n 행렬 A에서 A의 계수가 A의 각 영이 아닌 고윳값의 대수적 중복도의 합과 같다라고 했던것이

틀린 진술이라고 배웠습니다. 다름이 아니라, 이게 틀린 이유가 직관적으로 이해가 안되는데 혹시 

다시 한번 설명해주실 수 있는지 궁금합니다!

대수적 중복도라는 것은 간단히 설명하면

고유치 값의 중복된 갯수입니다.

예를들어, 

1 0 0

0 0 1

0 0 0 

인 행렬은 고유치 1, 0, 0 이고 여기서 1은 1중복, 0은 2 중복이 되겠습니다.

여기서 이 행렬의 계수는 2이죠. 계수 2와 1의 중복도의 합 1은 다르겠습니다. 

폐곡면일 때 주어진 함수가 포텐셜 함수면 값은 0 이 되어야 합니다.

그린정리 식 자체가 포텐셜 함수를 표현하고 있어 자연스럽게 0 이 됩니다. 

단, 이럴때 주어진 피적분함수가 해석적이어야 합니다. 

단순히 말하자면 원점을 지나는 상황인데 분모에 원점(0,0)을 집어넣지 못합니다. 

그래서 이 경우는 경로 변경을 하거나 해서 구합니다.

자세한 내용은 교재p450 하단에 있습니다.

하지만 만약 원점을 지나지 않는다면 그린정리에 의해 포텐셜함수는 0 이 됩니다. 

이와 관련된 아주 좋은 기출이 2020 이화여대 14번이 있으니 한번 참고해보세요.