유형학습1에서는 대칭행렬 A의 차원을 구하는 것이기 때문에 10차원인데, 38번에서는 반대칭행렬 A의 핵공간을 구하는 것이면 16-6=10차원이 되어야 하는 것이라고 생각이 드는데 왜 틀린건가요??

A+A^T 는 대칭행렬입니다.

따라서 대칭행렬의 핵공간의 차원은 16-10=6 차원이 됩니다.

ㄱ. 동일 차원의 기저들은 서로 일차독립인데 어떻게 서로 일차결합으로 나타낼 수 있는건가요?

ㄹ. ㄱ의 질문에 의해 S1과 S2가 독립이라 교집합이 공집합인게 아닌가요??..

288p 8번 ㄷ에서는 위의 ㄹ과 다르게 왜 공집합이 될 수 없다고 하는건가요?

288p 9번 풀이에서 랭크가 1이고, 벡터공간 V의 차원은 2라 2-1=1 ->해공간의 차원 아닌가요? 풀이에 V의 차원이 1이라고 나와 있어서요

1. 일차결합으로 공간안의 벡터를 모두 표현할 수 있는 최소한의 벡터 집합이 기저입니다.

따라서 S1, S2 가 V 의 기저이며 동시에 V 안의 벡터가 되므로

S1 으로 S2 를 일차결합으로 표현할 수 있으며 S2 로 S1 을 일차결합으로 표현할 수 있습니다.

2. S1과 S2 가 독립인 것이 아닌 각각 기저 S1 안의 벡터들이 일차독립이며

기저 S2 안의 벡터들이 일차독립입니다.

기저 S_1 과 S_2 의 교집합이 있을 수도 있고 없을 수 도 있습니다.

따라서 6번의 ㄹ 은 거짓인 명제이며, 8번의 ㄷ 은 참인 명제입니다.

3. 네, 오타입니다. V 의 차원은 2차원입니다.

마지막 문제에서 독립이라고 주어졌는데 왜 랭크의갯수는3개고 벡터의갯수는 4개인거죠?

R^3 인 네개의 벡터들의 관계는 무조건 종속이며

그럼 네 개의 벡터중 독립이 되게 하는 벡터를 최대한 몇개를 뽑아낼 수 있을까를 묻는 문제입니다.

rank 가 3 이므로 최대 독립인 벡터의 개수가 3이 됩니다.

여기서 유형학습2 풀어주실때 보기 3번에서 (e^x      e^x^2)

                                               (e^x    2xe^x^2)의 행렬식이 0이면 되는데 e^x* e^x^2(2x-1)인데 여기서 x의 범위가 0보다 클때니까 x에 1/2이 들어가면 0이되는거아닌가요? 그냥 x범위 상관없이 전체가 사라져야 종속이 되는건가요?

네, 모든 x 값에 대해 0 이 나와야 종속입니다.

이부분 4번 풀어주실때 랭크로 풀면 2가나오는데 c1x1+c2x2+c3x3=0꼴로 풀면 a=-c, b=-c가 나오는데 종속 아닌가요?

랭크로 푸는방법말고 위에 식처럼 푸는 방법으로 이해를 어떻게해야할까요?

a=-c, b=-c 가 나오므로 해공간은 1차원이 되며

전체차원 3-1=2 로 세벡터 (1, 2, 1), (0, -1, 1), (1, 1, 2) 가 이루는 공간은 2차원이 됩니다.

여기서 풀어주신 기출3번 문제 보기 나.열벡터가 일차독립이면 |A^T|은 0이아니라고 하셨는데 왜그런거죠?

열 또는 행벡터가 일차독립이면 A 를 기본행 연산했을 시 모든 행 또는 열에서 영벡터가 나오지 않으므로

A 의 행렬식이 0이 아니며 A^T 의 행렬식 또한 0 이 아닙니다.

이는 같은 말로써 암기해야 합니다.

여기서 행공간은 변하지 않았다하셨고 열공간은 변하셨다고 하셨는데 구체적으로 뭐가 바뀌었다는건지 잘 이해가 가지않습니다.

처음 행렬 A 의 열공간은 벡터 (1, 2, 1), (2, 5, 3) 의 일차결합으로 만들어지는 공간입니다.

기본행 연산을 통해 마지막 세번째의 열공간은 벡터 (1, 0, 0), (2, 1, 0) 의 일차결합으로 만들어지는 공간입니다,

(1, 0, 0), (2, 1, 0) 으로 벡터 (1, 2, 1) 를 일차결합으로 표현하지 못합니다.

즉, 두 벡터들이 만드는 평면이 달라지므로 열공간은 바뀔수 있습니다.

10강 31분대에서 3x2인 행렬 보고 2보다 차원은 클수없다라고 하셨는데, 앞에서 그럼 M2x2행렬의 차원은 왜 4차원이라고 하신거죠?

앞서 답변했다시피 행렬이 원소인 공간인지, 행렬의 행(또는 열)이 원소인 공간인지 파악해야 합니다.

칠판의 내용은 행공간과 열공간을 얘기 하고 있습니다.

행공간과 열공간의 차원은 rank 로 계산 합니다.

여기서 7A^T 대각화 가능한지 풀어볼때(P^T)^-1이 존재하는지 어떻게알며 존재하면 왜 대각화가 가능한것이죠? 

A가 대각화 가능하면 A^T 도 대각화 가능하다는 것은 암기 바랍니다.

행렬이 대각화가 가능하려면 A=PDP^-1 을 만족하는 가역행렬 P가 존재해야 합니다.

문제에서 A가 대각화 가능하다 했으므로 P 가 존재할 것이며

P가 가역이므로 P^T 도 가역입니다. (<- 행렬식 이용하여 생각)

그러면 A=PDP^-1 에서 A^T = (P^-1)^T D^T P^T = (P^T)^-1 D P^T 이며

A^T 도 저 관계식을 만족하는 가역행렬 P^T 가 존재하므로 대각화 가능합니다.

밑에 알려주신대로 c1,c2,c3을 찾는 방법을 모르겠습니다....

식이 3 개, 문자가 c1, c2, c3 세개로 연립방정식을 계산해주어야 합니다.

여기서 x1, x2, x3 은 숫자라 생각해주세요.

벡터의 행렬식이 노음인가요?

n 차 정방행렬에서만 행렬식을 구할 수 있습니다.

기호때문에 헷갈린 것 같은데, 벡터에 절댓값기호가 있는 것은 벡터의 크기라 부릅니다.

여기서 왜 역행렬이 (1   0  0)

                      (0 1/2 0)

                      (0  0 1/3)인가요?

블록행렬의 역행렬을 이용한 것입니다.

또한 1X1 행렬 a 의 역행렬을 역수와 같으므로 1/a 가 됩니다.

여기서 3차 방정식이 하나의 실근과 중근을 가질수도 있는거아닌가요?

하나의 실근과 중근을 갖는다면 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 하는데

계산해보면 0이 나오지 않아 중근을 가지지 않습니다.

18:49 행렬식구할때 왜 1 3 5열만 빼서 해도되는건지요?? 

1열과 2열이 실수배관계, 3열과 4열이 실수배관계로 계수행렬의 rank 는 2가 됩니다.

해가 존재하려면 계수행렬의 rank 와 첨가행렬의 rank 가 같아야 하므로

첨가행렬의 rank 또한 2가 됩니다.

따라서 2, 4열은 1,3 열과 같으므로 배제하고

1, 3, 5 열을 가지고 행렬을 만들면 이 또한 rank 가 2이므로 행렬식이 0인 것을 이용합니다.

1.

133p    유형학습 1번입니다.

선두행렬의 원소가 1도아니고 행사다리꼴의 형태면 2행의 1열원소가 0이어야 하는데 그형태도아니고

3,4행만 0으로 만들어 주었을뿐인데 여기서 어떻게 바로 Rank가 도출이 되나요?

2.Rank를 구하는 방법이

모든행을 최대한 0으로 만들어준 다음 (맨위행을 제외하고 위에서 아래순으로) 0이아닌 행의 갯수라고 생각하면 되는지?

3. 기본행 연산으로 수를 바꿔줄때 5행-4행 이 아니라 5행- (1행+2행) 이런식으로 2줄을 이용을 할수있는건지요?

1. 1행과 2행은 실수배 관계가 아니므로 기본행 연산을 통해 0행을 만들 수 없습니다.

따라서 바로 rank 는 2라 계산 됩니다.

2. 네, 기본행 연산을 통해 영행을 다 만들어 주고, 영행이 아닌 행의 개수가 rank 입니다.

3. 네, 가능합니다.