애초에 4x^2=y^2 이 나온 이유가 처음 구한 관계식에서 x와 y를 곱해서 만들어진 식인데

x=0 이면 이 식자체가 부정되기 때문이에요.

그래서 x=0 경우에는 4x^2=y^2 를 쓸 이유가 없습니다.

지금 구한 S'은 부피의 변화율이에요!

인테그랄 pix^2이 회전체 부피잖아요?!

문제에서 물의 부피가 아닌 가장 위에 있는 수면 넓이를 구하라고 했으니!

쌤께서 그래디언트 쓸때 음함수를 이용해야 한다고해서 위와같이 풀었는데, 문제의 해설에서는 양함수인채로(15-x^2-2y^2)으로 풀어서 4루트2로 답을냈더라구요. 근데 저는 z까지 고려해서 한변으로 몰아서 음함수를 만든다음에 거기서 그래디언트를 구해서 그래디언트의 크기를 구했는데, 그러면 책의 해설과 풀이가 틀려지네요... 어떻게 생각해야할까요?

음함수를 이용해야하는건 맞는데

fz=-1 까지 집어넣으면 답이 없죠?

결론적으로

이 문제는 3차원(x,y,z)이 아닌 2차원(x,y)까지의 방향 값만 요구한 것입니다.

그럼 z까지 요구하냐 안하냐는 어떻게 아냐?

일단 수험생 입장에서 z까지 한 답이 없으면 x,y만 물어보는구나 라고 판단하는게 제일 속편하구요.

다시 문장을 세세히 읽어보면 문제에서 동쪽(x),남쪽(y)만 언급하고 있으니 x,y만 신경쓰면 되겠구나 판단해야겠습니다.

결과론적인 풀이죠.

무한급수 값을 알고 싶을 떄는 그냥 집어넣어서 푸는게 젤 속편해요!

n=1 일 떄 5/6

n=2 일 때 11/24 대충 1/2

n=3 일 때 19/120 대충 1/6

이후부터는 너무 작아지니 여기까지 더해보면

대충 5/6+1/2+1/6=9/6=3/2

물론 저 문제는 그냥 펼쳐서 보기 그대로 집어넣어서 풀긴했지만

해설지에서는 지수에 무한대갔을 때 상수를 지워서 풀이 한거같은데

지수 2n+4에서 n이 무한대로 갈 때는 지수만큼은 4를 무시 못한다고 배웠는데 풀이가 이상한건가요??

해설에 지수 +4를 지웠나요?..

그러면 안됩니다. 말대로 지수는 무시하기엔 너무 큰 녀석이라... 틀린 해설 같은데요?

수열파트에서 an 이나 an+1이나 결국 극한값을 같다라는 내용을 기억할까요?

쉽게 말하면 1억번째 수열이나 1억1번째 수열이나 극한값은 크게 차이가 없는 알파값이다!

그럼 an+1=루트(2+an) 에서 n 무한대를 취급해서 

알파=루트(2+알파) 인데 알파가 2라는 것을 알 수 있겠네요.

그리고 첫항이 root2 이고 극한값이 2니까 커지니까 위로유계 판단할 수 있구요.

ㄴ도 마찬가지로 해설을 극한을 취하면 3-루트5/2가 나옵니다. 0으로 가는지 안가는지까지는 끝까지 해보지 않은 모르는거라 단순히 작아진다고 해서 0이라 판단은 못합니다.

ㄷ도 해보면 2에서 3으로 증가하니 증가는 맞지만, 같이 3으로 존재하니 수렴이라 틀린 말이구요.

ㄹ은 예를 집어넣고 푸는게 더 좋겠습니다 잘했습니다.

x로 시도해보고 안되면 y

y도 안되면 x,y를 시도하는겁니다.

막무가내로 적어서 적분인자를 구하는게 맞긴한데

그래도 착한 문제들은 보통 x에서 주겠죠. 물론 중대 문제는 아닌거 같지만요...

그래서 보통 보기를 이용하는데, 이 문제는 보기를 이용하지도 못 하게 구성했는데요.

저라면 주어진 식이 지수니까 그냥 적분인자도 지수겠지하고 몇 개 만들어서 끼어맞춰서 했을 거 같습니다.

대신 그러려면 감이 좋아야하고 경험이 많아야겠죠.

일단 이 문제가 최소제곱의 해의 오차식을 이용해서 푸는지 판단하는 건 쉽지 않았을 거 같네요..

그게 시험장이라면 더더욱...언급이라도 해주지 ㅠ

아무튼 지금 칠반에 적힌 식 자체가 가짜해 x,y와 진짜해와 오차입니다.

그리고 가짜해는 그래도 그나마 여러 가짜해중에서 최대한 오차가 적은 값일테구요.

그래서 최솟값을 의미합니다. 

21 가천대 22번 

4x제곱과 4y제곱이 같은 이유(->같은취급함) 를 모르겠습니다

z만 z^2으로 다르니 x축 회전을 위한 2차 그래프를 그릴 때

x와 z로만 그래프를 구성하고 x와 y로 표현하신 건가요?

회전체 부피 개념에 대해 웬만큼 알고 있다고 생각했는데

위의 내용이 틀린 거라면 타원에 대한 개념이 부족한 걸까요,,?

예를 들어, 구라는 식은

3차원상 x^2+y^2+z^2=1 이죠

2차평면에서 구를 만든다하면 y=root(1-x^2) 반원을 돌리면 됩니다. x2 까지해서. 

이 부분은 이해 되시죠?

y축이 z축이 되고,

x가 돌면서 원이 그려지니 x^2+y^2=1 이 생기고 구와 같은 형태 나옵니다.

가천대 문제같은 경우 구가 아니죠.

만약 이 문제가 4x^2 과 y^2  이었다면 

root(1-4x^2) 을 돌리면 4x^2+4y^2 식이 나와 y^2 다르기에 저렇게 풀기 힘들었을겁니다.

다행히 4x^2 과 같은 4y^2이라 돌려도 같은 모양이니 2pixy로 풀수 있었던 것이죠.

교수님 W가 x+2y+3z+4w=0이라고 말씀해주셨는데 

W가 왜  x+2y+3z+4w=0 인건가요?? 문제에서는 W가 x+2y+3z+4w=0 이다!라고 적힌 게 아니라  x+2y+3z+4w=0의 '해'공간이 W라고 적혀있는데 왜  x+2y+3z+4w=0의 해공간이 W가 아니라  x+2y+3z+4w=0이 W인건가요?

AX=0을 만족시키는 X값과 A와의 관계는 수직관계 아닌가요?  x+2y+3z+4w=0의 해공간이 W라고 했는데 x+2y+3z+4w=0이 W라면 사실 그러면 AX=0을 만족시키는 X값과 A와의 관계는 수직말고도 평행도 되는건가요?그것도 이상한데

W위치가 평면의 법선벡터처럼 써있는게 아니라  x+2y+3z+4w=0의 해공간이라고 했으니까 당연히 수직한거아닌가요..? W공간이 x+2y+3z+4w=0의 해공간이라고 했으니까 당연히 W 공간에 있는 벡터들도 x+2y+3z+4w=0에 수직인건 당연한거 아닌가요? 그리고 W를 법선벡터로 착각한 것이 아니라.. ax+bx+cz=0에서 평면의 법선벡터가 (a,b,c)라고 배웠듯이 

x+2y+3z+4w=0에 대한 법선벡터가 (1,2.3,4)이고 이때 법선벡터는 W공간이잖아요.

결론: 문제에서는 W가  x+2y+3z+4w=0의 '해'공간이라고 명시되어 있는데  x+2y+3z+4w=0 가 W인 이유를 모르겠습니다. 그러면  x+2y+3z+4w=0 을 W라고 적어야지 문제에서는 왜  x+2y+3z+4w=0 의 해공간을 W라고하자 라고 적은건가요?

재질문의 재질문이 많다보니 저도 답을 한방에 못 했네요. ㅠ ㅋㅋ

이제 무엇이 헷갈린지 확실히 이해되었어요.

주어진 식을

(1 2 3 4)(x y z w)^T=0 

으로 쓸 수 있죠?

이게 바로 AX=0 이고 영공간은 X 입니다

X는 (x y z w) 이고 바로 평면이 해공간이 되겠네요.

사실 물어본대로 제일 좋은 건 x+...=0 을 W라고 바로 했으면 되었죠.

그리고 일반적인 다른 문제에서 대부분 그렇게 적어놨구요. 

그래서 저도 딱히 문장에 오해될 소지 있는지까지 따져보지 않았는데 충분히 오해될만 표현 같습니다.

출제자도 그렇게까지 고민하는 수험생이 있을 거 라는 건 생각 안한 거 같습니다. 

그래도 출제자를 변론하자면

공간 x+..=0 의 영공간! 이라고 말 안하고

방정식 x+..=0 의 해공간!이라고 표현했기 때문이라고 생각해볼 수 있겠네요.

사실 영어로 줬다면 덜 헷갈렸을텐데.

이렇게 설명했는데 아마 이해가 좀 안될 수도 있단 생각이 드는데요.

결론적으로 이런 정사영 행렬 문제는 그냥 주어진 식에 정사영 구한다고 생각하면 맘편하겠습니다.

365페이지 유형1번에서는 2차원 그래프를 y축 을 기준으로 회전시켜 부피를 구하는 방법으로 알려주셨습니다.

선생님이시라면, 21 가천대 22번 문제도 이 방법으로 푸실 건가요?

예제 문제는 원이었고 기출에서는 타원인데 상관 없나요?

선생님 풀이도 보고 싶습니다!

좋은 질문입니다.

일단 그렇게 풀 것이구요. 

타원이라도 상관 없습니다.. 

문제는 이게 3차원 중적분으로 푸는것보다 2pixy를 쓰는게 더 편하다는 판단하는게 중요한 거 같습니다. 

저는 일단 그 방법으로 풀어서 다른 중적분 풀이는 생각을 안해봤지만, 중적분으로 풀었다면 치환도 해야했고 머리가 좀 아팠을 거 같스빈다..

풀이는 아래와 같습니다.!

이건 정말 답지 신경안쓰고 제가 수험생이라 생각하고 푼 풀이입니다.

4x^2 과 4y^2이 같으니 x y는 같은 취급해도 된다는 게 포인트입니다.

적분학2.p324 기출 8 라플라스로 풀 수 있다고 하셨는데

풀이가 잘 떠오르지 않습니다.

풀어주실 수 있을까요?

제가 수업 중 후회발언 3순위 중에 하나

바로 미적2.P324 라플라스로 풀 수 있다고 말한 발언입니다... ㅠ

나중에 정정했는데 아직 최신 녹화전이라서요. ㅠ

왜냐하면 ARCTAN 라플라스를 외워야하는데 

일반적으로 ARCTAN 라플라스는 외우는 공식은 우리가 외우기엔 너무 거대합니다. 

일반 공식이라고 할 수 없을정도로. 복소함수를 이용해야하죠.

핑꼐아닌 핑계를 대자면 연대서술형 문제이니 그러려니 하는데..

아무튼 이 문제는 라플라스로 풀기 힘들어요. 중적분으로 솔직히 어거지 같습니다. 

출제율을 극히 드므니 일단 무시하는게 상책입니다.

성대 19년도 44번 기출문제입니다.

다음과 같은 영역을 면적분하라고 하는데, 제가 선적분은 배웠는데 면적분이라는 단어의 의미가 뭔지 몰라 못풀었습니다. 혹시 면적분이 뭔가요? 그리고 혹시 면적분을 구하라고 하면 어떻게 계산해야 하나요?

면적분은 겉넓이 구하라는 얘깁니다. 

보통 부피는 dA가 쓰이고 겉면적은 dS가 쓰입낟.

그리고 dS=ROOT*(1+fx^2+fy^2) 관계식이 있죠.

해당 문제를 부피 착각해서 질문한 글이 상당히 많아요.

생소하죠.

앞으로 dS가 보이면 겉면적 구하는구나! 그리고 dS=ROOT*(1+fx^2+fy^2)구나 하고 푸셔야합니다!

답변을 곰곰히 읽어봤는데 정사영 개념도 알고있고 평면의 개념도 잘 알고있는데.. 가장 이해가 안되는 부분이 

W로의 정사영이면 W방향으로 콱 찍어눌렀다는 것인데 어떻게

위 사진에서 빨간 벡터가 W로의 정사영이 될 수 있나요?

W방향!!으로 내려누르면 절대로 저 빨간 벡터가 나올 수가 없는데.. 저 빨간 벡터가 나오게 하려면

W방향으로 내려찍는게 아니라 저 공간식인 x+2y+3z+4w=0 방향으로 내려찍어야 저 빨간벡터가 나와야 되는게 아닌가요?

한마디로 결론: 평면의 법선벡터를 우회적으로 써서 구하든 어떻게 해서 구하든.. b-p랑 평면의 벡터랑 평행해서 같고 그게 정사영직교사영이라고 말씀해주셨는데 바로 왜 b-p가 W로의 정사영이 되는 것인지 어느쪽으로 W로 찍어눌러도 절대로 b-p인 모양이 절대 나올 수가 없는데 제가 여기에서 뭘 잘못보고 있는건지 그 부분을 모르겠습니다.

cf. 시험 일주일전까지 이해못하면 그냥 이 문제는 암기하거나 포기하겠습니다.

이게 그림 때문에 오해가 생긴거 같은데 W는 x+2y...=0 을 말하는겁니다.

마치 W 위치가 교묘하게 평면의 법선벡터처럼 써있네요.

평면 x+2y..=0 에 내려찍은게 맞아요.  

W = 평면입니다.

저는 계속 평면=W라고 생각해서 설명했는데.

W를 법선벡터로 착각했는지 생각조차도 못했스빈다 ㅠ

네

스펙트럼 관계식에서는 P역행렬과 P^T와 같습니다. 자세하게는 직교행렬이기 때문이죠.

스펙트럼 문제가 처음 나온 문제인데 혹시 또 나온다면 그냥 외워서 푸셔야합니다.