가우스 발산 정리를 사용하려고 했습니다.

힘을 미분하는 식이 엄청 더러웠는데 계산해보니까 0이 나왔습니다.. 여기는 계산 실수를 한거같긴한데

다시 풀어도 상수는 안나올거같더라구요 (x^2+y^2+z^2) 이 무조건 살아있을거같은데 

곡면 s가 구 였으면 풀수있을거같은데 사면체라서 삼중적분 범위를 못구하겠습니다..

정말 사악한 문제가 아닐 수 없습니다.

솔직히 과기대 대학원생까지 모아도 이 문제 못 풀 거 같은데요...

아무튼 힘들게 계산한게 맞습니다.

그래서 보기에 1번 0 이 낚이라고 있죠? 정말 욕나오는 출제자의 취향이네요.

바로 전 문제랑 같은 유형의 문젭니다.

또 분모함수가 있고 원점 포함하니 힘이 불연속점이 생기죠?

문제는 위 문제처럼 스톡스 선적분도 아니고 쉽게 구할 방법이 없습니다.

그래서 해커스 해설서에서도 걍 풀지말고 답을 외우라고 되어있습니다.... 

절대 못 푸는 문제에요.

처음에 스톡스 정리로 나와있어서 스톡스 정리로 풀려고했는데

계산이 너무 복잡할거같아서 생각을 좀 해보니까 강의에서 말씀해주신 선적분 면적을 나누어서 반시계로 돌리는걸 생각

하니까 반구에 그걸 적용해보면 xy평면에 타원을 따라서 한바퀴 도는거 밖에 안나올거같더라구요

그래서 z값을 생략하고 그린정리를 사용해도 되겠다고 생각했습니다.

그런데 미분을 해보니까 포텐셜 함수가 나오더라구요. 그럼 그린 정리를 못쓰고 f 식을 구해야 겠다고 생각했는데

생각해보니 3차원에서 시작과 끝을 못정하겠어서 못풀었습니다..

조금 당황했을만한 문제인데요.

일단 포텔션 함수입니다. 그럼 답이 0 이 되어야겠죠? 한바퀴 돌고 제자리니까요.

사악하게 1번에 0 이 있습니다. 그래서 많은 수험생들이 1번을 체크했을 거 같기도 해요.

그런데 <-y,x>/x^2+y^2 문제 기억나시나요? 최근 공지 건대기출에서도 풀어드렸던 문제죠. 

z=0이니 이 식이랑 같은 식입니다. 이걸 눈치채야했습니다.

이 경우, 한바퀴 돌아도 둘러싼 부분에 원점이 포함되면 분모가 0 되는 불연속 특이성 때문에

값이 0 이 되지 않습니다. 자세한 이유는 심오하니 그냥 그런가보다 외우는게 속편합니다.

그럼 어떻게야하냐? 포텐셜 함수는 경로 변경이 마음대로 가능하죠.

그래서 x=cost, y=sint 로 원으로 돌았따고 가정합니다.

그리고 식에 집어넣으면 대부분 이쁘게 1이 나오고 결국 돈 각도만 구하면 됩니다.

이 문제는 한바퀴니 2pi죠.

답이 나오긴했는데 틀렸습니다.

지금 고치려고 생각해보니까 x=2cost+1 이 아니라 그냥 x=2cost를 했어야 됬을거같기도한데

뭔가 타원의 중심이 원점도 아니고.. 좌표변환을 잘못한거같은데.. 모르겠습니다

일반적인 극좌표와

치환이랑 혼동해서 한 풀입니다.

중적분에서 배운 극좌표의 r과 theta 와 치환한 r과 t를 섞어써서 그렇습니다.

그래서 중적분에서는 x-1=2u , y=3v 로 먼저 u^2+v^2=1 로 만들어 준 다음에 이 상태에서 극좌표로 단계적으로 바꺼야 실수를 안합니다.

f(y,x) 를 해도 f와 달라지는게 없어서 x=y 대칭이라고 생각했습니다.

그래서 x의 범위가 나왔는데 뭔가 coshx와 비슷하게 만들수있을거같긴한데 x에 1처럼 간단한 숫자를 대입하는게

아니어서 객관식처럼 못만들겠더라구요.. 모르겠습니다

f(y,x) 뿐 만 아니라 주어진 모든식이 y,x되야 해볼 수 있는 풀입니다.

x^2+2y^2 이니 못하죠.

일단 음수는 나올 수 없는 식이니 최솟값은 0일 수 밖에 없고

최댓값은 경계값에 있다고 가정해서 

x=cost

y=1/root2*sint

로 두고 해볼 수 있습니다. 

그러면 (cos^2+1/2sin^2)e^-cos 이 되는데요.

해커스 기출 해설에서는 이 값을 미분해서 0 이 되는 값은 찾았습니다.

하지만 식이 복잡죠.

팁을 주자면 일반적으로 세타는 우리가 아는 0도 30도 45도 60도 90도 .. 처럼 우리가 아는 값에서 나옵니다.

그래서 직접 집어넣고 가장 큰 값을 찾아볼 수 있게습니다.

pi를 집어넣으면 e가 나오고 이 값이 가장 큽니다.

뭔가 푸는 방법이 있는지 모르겠습니다.. 뭔가 안배운거같은 느낌도 드는데 못풀겠어요

혹시 미분하면서 x=0 대입하다보면 간단해지는 규칙을 찾을 수 있을까 해봤는데

두 번 미분하는거부터 엄청 복잡해져서 이 방법으로는 못할거같다고 생각했습니다

당연히 이 문제랑 완전 똑같은 문제는 어느 누구도 풀어 본 적이 없습니다.

이 문제를 직접 접하기 전 까지는요. 과기대 문제는 그런 부분이 더욱 심합니다.

이 문제는 고등수학 확통 부분에 nCr을 이용해 전개를 의도한 문제인지 모르겠으나

지금 그걸 다시 배울 순 없고 항이 적으니 그냥 전개해버립니다.

(1+x)(1+2x^2)(1+3x^3)(1+4x^4)(1+5x^5)(1+6x^6) 인데

각항에서 각각

(1)(1)(3x^3)(4x^4)(1)(1)=12

(1)(2x^2)(1)(5x^5)(1)(1)=10

(x)(1)(1)(1)(1)(6x^6)=6

(x)(2x^2)(1)(4x^4)(1)(1)=8

36x^7 이 나오네요.

ㄷ,ㄹ,ㅁ,은 1/n과 비교해서 수렴하는걸 찾았는데

ㄱ,ㄴ과 같은 삼각함수 관련된거는 어떻게 판정해야할지 모르겠습니다.

ㄴ은 정적분 값이 나오면 수렴한다는걸로 찾아보려고했는데 복잡하게 나와서 이 방법이 맞는지 모르겠네요..

여러 방법이 있겠지만 지금 쓰는 방법들은 다소 복잡하군요.

sin(1/x)=1/x라고 둘 수 있으니 

마찬가지로 1/2^n으로 둘 수 있고 이는 수렴하는 조건입니다. 

ㄴ는 같은 방법으로 1/n라 안되는 것이구요, 

좀 옛날 문제라서 그런지 모르겠는데

18학년도 과기대 문제에는 처음 보는 문제가 많네요..

이 문제들은 안배운거같은데 

혹시 이 중에 풀어야하는게 있었을까요..?

5번은 싸이클로드 곡선을 알면 공식으로 쉽게 구할 수 있고

몰라도 이 문제에 주어져 있진 않지만 매개변수 취급해서 구할 수 있습니다. 

14번은 위치와 속력 물리1 개념을 이해하고 있다면 풀 수 있는 문제입니다.

냉정하게 지금 시점에서 해설보고 이해하기 힘들었다면 다른 문제부터 해결하고 접근하는게 좋겠습니다.

다 표현 가능합니다.

다만 계산할 때는 모양을 바꿔줘야하죠.

(1,2,3,4) 라고 두었는데

다른 (4,3,2,1) 행렬이라고 곱하라고 했을땐 세로로 써야죠.

지난 답변에서 열벡터가 공간을 만드는 벡터라고 말했는데요.

열벡터 3개인데 평면이라니 랭크로 줄여야겠습니다.

3 1 1

2 1 2

1 1 3

열벡터 rank 시키면

0 -2 -8

0 -1 -4

1  1  3

이고 (0,1,4) 와 (1,1,3) 벡터가 나오죠.

이 두 벡터가 만드는 평면의 법선벡터는 외적이므로

외적하면 1,-4,1 나오죠. 

그래서 평면의 방정식은 x-4y+z=0 이 됩니다.

저라면 8X8이지만 블록행렬이고 0이 많아서 그냥 직접 다 구했을 거 같습니다.

A^2

A^3

A^8 까지.

물론 고유치를 이용할 수 있는데 주어진 식의 8승이라 복잡해서 손도 안됐을 거 같습니다.

해설에 고유치 풀이에서 B만 한 이유는 어차피 1,0,0,0 이라 곱하면 1열 밖에 곱해지지 않아서 B만 구했습니다.

솔직히 다분히 결론적인 풀이죠. (1,0,0,0)^T는 그냥 전치하면 4X1 세로로 쓰면 됩니다. 전치는 정방이 아닐떄도 할 수 있습니다.

마지막은 나머지 정리로 억지로 인수분해한 거 같습니다.

이게 무엇이냐면, x^2+x 를 x-1 로 인수분해가 안되죠.

그래도 x^2+2=(x-1)Q(x)+a 라고 적을 수 있죠 

여기서 x=1 집어넣으면 3=a 가 나옵니다. 이런 식으로 억지 인수분해한 거 같습니다.

주어진 형태가 라플라스 합성곱이네요.라플라스라고 언급이 없어서 라플라스라고 판단하기 힘들었을수도 있었겠네요.

그래서 대부분 해설도 라플라스로 풀어났을거에요.

인테그랄 f(t) g(x-t)  에서 g(x-t) 자리에 sin(x-t) 가 들어가는것이죠. 

라플라스 씌우면 F(s)*1/(s^2+1) 으로 바꾸고 F(S) 식 전개후 역라플라스를 합니다.

풀이가 복잡하네요. 

제곱 이런 부분에서 계산이 복잡해진거 같은데.

애초에 원이라 바로 치환으로 풀면 실수도 없고 금방 풉니다. 아래 적어두겠습니다.

두번째 질문으로 

전글에 질문했던 한양대14번 다시 교수님께 질문을 드리려고 합니다.

저 답변을 보고 궁금한게 한양대 저렇게 2문제씩 딸리는 문제는 13번 14번 서로 관련있는 문제인건가요?

벡터 (4,2,3,1)을 쓰시더라구요 근데 이게 13번에 나와있던 문제였는데 이걸 왜 14번에 쓰는지 모르겠습니다.

벡터(4,2,3,1)을 쓰면 당연히 W로의 정사영을 구할 수가 있겠죠. 하지만 14번에서 정사영T를 구하는데 왜 13번에 나와있는 (4,2,3,1)을 쓰시는지 모르겠습니다.

그래서 제가 이 위에 있는 사진에 보시면 그렇게 적어놨습니다. 정사영을 시키려면 기본적으로 내려찍어야될 벡터가 있어야되는데 13번에는 벡터(4,2,3,1)이 주어져있지만 14번에는 그런 벡터가 주어진게 없고 행렬P를 구하라고 하는데

행렬P가 행렬T의 표준기저에 대한 행렬표현이라고 하는데

행렬T를 구해야 저 표준기저 (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)을 집어넣어서 선형변환시키고 그 값을 (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)에 맞게 실수배시켜서 그걸 다 세로로 쓴 게 행렬P아닌가요?

벡터강의에서 선형변환 마지막에 기저행렬배울때 말씀드리는거에요. 어찌됐든 기저에 대해서 이 기저에 맞게 실수배를 시켜서 P행렬을 구하라!라는 문제가 아닌가요 14번이..?

1시간동안 생각해봐도 잘 모르겠어서 해설지를 봤는데 이렇게 해설이 되어 있더라구요. 근데 이해가 안됩니다..

T 붙은 건 전치입니다. 

(0,1,1)^T는

0

1

1

이죠.

풀이는 직접 아래처럼 일일히 구해서 규칙성으로 찾는 수 밖에 없습니다.

요령 피우자면 Ay와 연관성으로 쉽게 하는 법이 있겠지만..시험장에서 불가능할 거 같습니다.

각각 구한 벡터로 내적하면 하면 됩니다. Ay는 생략할게요. Ax처럼 규칙성 찾으면 됩니다.

14번은 4,2,3,1 대신에 a,b,c,d 집어넣어서 찾으면 됩니다. 기출해설에서 행렬 공식 안쓰고 푸는법이죠.

이게 익숙하지 않으면 해설공식 외우는 수 밖에 없습니다. A(A^TA)^-1AT=P 공식입니다.

 설명이 이해가 되지 않네요.

1,0,0,0 과 1,1,1,0 으로 만드는 2차원 W가 있고 .. V는 어디서 나온거죠?

해설처럼 행렬로 풀든가..

아니면 제가 좋아하는 기하성을 이용해서 풀어야합니다.

기하 풀이는 아래.

이때 정사영윽 직교하는 단위벡터 만들어야 저런식으로 합치기 가능합니다.

푸리에 적분 이라는데.. 

제가 기억하는 푸리에 어쩌구는 푸리에 계수 밖에 없어서 그거 참고해서 풀어보려고했는데

푸리에 함수가 모든 주기함수를 삼각함수로 표현하는거였던거같은데

일단 주어진 함수가 주기함수가 아닌거같습니다..

처음 보는 문제인거같은데 혹시 패스해야하는 문제인건가요?

이건 푸세요!

A와 B의 공식이 해설에 적혀있죠? 그대로 따라하시면 됩니다. 부분적분하면 됩니다!

해설 풀이 자체를 외우세요.