다른 문제 풀다가 유수정리를 해봤는데 어디서 잘못됬는지 답이 잘못나오네요. 문제는 0에서부터 무한대까지 1/z^2+2z+2 dz 입니다.  z의 해를 구하면 z=1+i 랑 1-i가 나와서 고립특이점의범위를 적용시키기위해 범위를 -무한대에서 무한대까지 로 바꾸고 식을 2로 나누었습니다 . 그렇게하면 z=-1+i에서만 특이점이 생기는데 1위극을 적용해서 분모를 미분하면 2z+2가 나옵니다 그식에 z=-1+i를 대입하면 2분의파이가 나오는데 답이 4분의 파이라고 하네요 어디서 잘못된건가요? 

피적분함수  1/z^2+2z+2이 우함수가 아니기 때문에 -무한대에서 무한대까지 로 바꾸고 식을 2로 나누는 과정이 안됩니다.

위 문제는 복소적분 말고 분모를 완전제곱식으로 바꿔서 arctan 꼴로 적분해서 하시면 되겠습니다.

13번계산중  초기에있던 50파운드는  왜 계산식에서  사용하지않은 이유가 뭔가요?                  18번은 해설을봐도 이해가 안되던데어떻게 구간을잡아야할지 모르겟습니다.

1. 초기값이 A(0)=600 으로 주어져있습니다. 50 파운드는 문제에서 삭제해주세요.

2. 아래와 같이 풀어주시기 바랍니다.

코시적분정리 16중앙대 에서요 

고립특이점이 0인데 영역이 포함을 안해서 -무한대부터 무한대까지 해준다음에 1/2를 해준거죠??

그런데 1/2 (- 무한대부터 무한대까지 ) sinz / z dz 에서 다음으로 넘어 갈때

왜 1/2을 곱해졌는지 모르겠습니다

왜 1/4 ∮z＜∞ sinz/z dz 이렇게 되는건가요?

라는 질문의답이
고립특이점을 포함한 영역으로 잡기 위해서 적분구간을 -무한대에서 무한대까지로 잡으면 주어진 피적분 함수는 우함수이므로 원래 적분값의 2배가 됩니다. 따라서 원래 적분값은 -무한대에서 무한대까지 잡은 적분에 1/2를 곱해서 구해준 것 입니다.
이었는데요,  적분구간을 0 ~ ∞ 에서 -∞ ~ ∞ 으로 잡으면서 피적분함수가 원래적분값의 2배가 되므로 1/2을 곱해준건
저도 알겠는데 그 함수적분식을 폐곡선 함수로 바꾸면서 또 1/2이 곱해졌는데 이 곱해진게 왜 또 곱해진건가요..?

원점이 실수축 상에 있기 때문에 아래 원모양의 선을 추가해줘서 원점을 포함하는 폐곡선으로 만들어준것입니다.

아래 원모양의 선을 추가하면 원래 적분 값의 2배가 되므로 1/2를 곱해준것입니다.

미분학1 p.52  31번 문제에서 해설을 봤는데, A0=(2,3)은 1x2 행렬이고 (xn,yn)은 2x1 행렬이므로 행렬식이 다른데 어떻게 yn=3으로 같을 수가 있죠?

(2,3)은 벡터를 성분으로 표현한것이고 이것을 행렬로 표현하면 2x1행렬이 됩니다.

표현방식을 전부 2x1행렬으로 이해하시면 됩니다.

U를 Ux로편미분하고 Ux=Vy 이므로 Ux편미분한걸 다시 y에대해 편적분 해서 V를 구한다는것까진 알겠습니다.
근데, 교수님이 설명하실떄 Uy는 식에 x만의 함수가 없다.(핸드아웃에도 그렇게나와있네요)라고 했는데,
Uy식에 x만의 함수가 없다는건 무엇을 말하는것이고 왜 이것때문에 Uy는 문제풀이방법에서 제외되는가요?

Uy 식에는 x로만 이루어진 항이 없습니다. 따라서 Uy 를 x로 적분을 한다면 앞서 Ux 에서 y로 적분한 식과 같은 항들만이 나올 것입니다. 따라서 Uy 를 x로 적분 하지 않습니다.

포텐셜함수를 구하는 방법과 동일합니다.

극형식으로 바꾸면 e^(πi/3) 으로 바뀌고 1886을 2파이 마다 주기적으로 똑같으니 1886을 3x628+2 로 바꾸셔서 문제를 푸셨는데, 2파이 마다 주기적으로 똑같으면 6x314+2로 바꿔야 하는거 아닌가요?? x3 을 잡으면 π가 주기가 되버려서 양수 음수가 바뀌는거 아니에요?

3으로 나눈것은 분모를 없애주기 위해서 먼저 나눠준 것이고 몫으로 나온 628 이 짝수이니 주기의 성질에 따라 같다라고 동영상에서는 설명을 한 것입니다.

결과적으로 질문자께서 하신 얘기와 동일합니다.

p128 29번에서 특수해 구할때 (1/(D^2-4D+4))*4xe^(2x)를 이용하면 (4e^(2x) )*(1/D^2) *x 이므로 x를 두번적분을하면 답이랑 안맞는데 무엇이 잘못된건가요?

161p 20번에서 해설을 보면 x-2y+5=0 2x-y+4=0이라고 나오는데 이건 어떻게 알수 있는건가요?

그리고 치환을 할때 x=X-1 y=Y+2 로하는 이유가 있는건가요?

말씀하신대로 x가 2번 적분되면 x^3꼴이 나오므로 이런 형태가 될 수 있는건 4번밖에 없습니다.

주어진 미분방정식이 바로 풀기 어려우므로 상수를 없애는 식으로 치환을 하는 과정에서 0으로 두고 식을 정리해서

x=X-1 y=Y+2로 치환을 하는것입니다.

124p 15,16,17번을 구할때 해설에서15,16번에서는 mg구할때 질량에 중력가속도를 안곱하고 풀었는데 17번에서는 중력가속도를 곱하여서 푸는 건가요?

그리고 15번에서 후크의 법칙을 이용할때 F=-kx에서 저항력이 1/2(d^2x/dt^2)+(dx/dt) 처럼 F쪽으로 +부호를 띄면서 더해지는 건가요??

123p 12번에서고유값이 아니라는것을 고르라는데 해설지를 보면 고유값이 k라고 나와 있는데 왜 고유값이 k 인가요?

15 16번은 질량이 그대로 나와 있는 형태이고17번은 단위가 잘못되긴 했는데 무게이므로 중력가속도를 무게에 나눠줌으로서 질량을 구한 것입니다.

힘의 관계식으로 보면 저항력이 우변에 -5x 가 있어야 하는데 미분방정식 형태를 만들기 위해 좌변으로 이항시킨 꼴입니다.

교재 내용에는 없는 내용인데 변수가 k밖에 없으니 k를 고유값으로 생각하시면 됩니다.

138p 유형학습 3에서 X=(1)e^(-2t) 로 되어 있는데 왜 이렇게 되는 건가요?

                           (1)

133p 53번문제에서 르장드르 방정식이 나와는데 이 방정식은 어떤방식으로 해를 구해야 하나요?

128p 29번에서 yp의 올바른 형태가 B0x^3의 꼴이 나와야 되는거 아닌 가요? 왜 답이 4번이 되는건가요?

128p 32번에서 특수해구할때 1/((D-4)(D+1)) -8e^(-t)cos2t 를 하면 D-4부분에 -1을 대입하고 D+1부분에는D-1을대입해서   -8e^(-t)-1/5*1/(D) cos2t 이헐게 해야 하는거 아닌가요?

1. 대각행렬을 이용해 람다 a 와 그에 대응되는 고유벡터 X1 를 찾는다면 해 y=X1 e^(at) 로 구할 수 있습니다.

따라서 람다=-2 이고 그에 대응되는 고유벡터가 (1, 1) 이므로 y=(1, 1)e^{-2t) 로 구합니다.

2.  르장드르 방정식을 급수해를 이용하여 해를 구하는데,  이 부분은 직접 구하려고하기보다 암기를 하는게 좋습니다.

3. 비제차가 xe^(2x) 꼴이니 두 번 미분, 한 번 미분해서 xe^2x 꼴이 나오려면 x^3e^2x , x^2e^2x  꼴이어야 됨을 추측할 수 있습니다.

4. 지수 e^at 와 다른함수가 곱해져있다면 e^at 를 앞으로 보내며 D에 D+a 를 대입하는 것이 맞습니다.

Q.1 176p.  4번문제에서   좌표축을 회전하면 반시계방향으로의 theta만큼 회전 아닌가요?  반시계인 이유를 모르겟습니다      Q.2 7번문제  는 답이 1,2번 둘다 아닌가요?            Q.3 190p 26번 에서 밀도가 안주어졌으므로 면적 D에서의 평균높이는  f(x,y)=-x4(1-x-y/4) 가아니라  4(1-x-y/3) 아닌가요?  숫자는 오타같은데 -x는 왜붙은건지 모르겟습니다    갑사합니다

Q1. 좌표축을 theta 만큼 회전시킨 것은 곡선을 -theta 만큼 회전시킨 것이므로 곡선을 시계방향으로 theta 만큼 회전한 것이 됩니다.

Q2. 2번만 답입니다.

f(x)=sinx/x 를 x=0 에서 연속으로 정의할 수 있느냐 물어 본 것은

함숫값은 존재하지 않지만 임의의로 함숫값 f(0) 을 정하여 연속으로 만들수 있느냐를 물어본 것입니다.

함숫값과 극한값이 같도록 lim{x->0} {sinx/x} =1 이므로 f(0)=1 로 정한다면 연속이 되므로 연속으로 정의할 수 있습니다.

Q3. 오타입니다. 적분 구간이 0

전체공간이 4차원이고 A의 rank가 2이면 기저벡터가 2개가 되어야 하는 이유가 영공간이 2차원이기 때문인가요 치역이 2차원이기 때문인가요?

어떤 공간의 기저벡터인지 적혀있지 않아서 해공간의 차원 구하는 상황으로

해공간의 기저벡터가 2개 일때로 답변드리겠습니다.

해공간의 차원정리에서 해공간의 차원=n-rankA=4-2=2 라는 것을 알 수 있습니다.

영공간=해공간이기 때문에 두개 차원이 같으니 영공간이 2차원이기 때문이라고 말은 할 수 있겠고

rankA가 치역의 차원이므로 치역의 차원이 2차원이기 때문이라고 말은 할 수 있겠지만

위에서 설명한 차원정리로 알아두시는게 좋겠습니다.

ㄱ에서 s1과 s2가 유한차원 벡터공간 v의 기저들일때 s1의 모든 원소는 s2의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수  있다는 것이 이해가 안갑니다 기저라면 일차 독립이어야 하고 어느 한 기저가 다른기저로 표현될수 없어야 하는것 아닌가요?

기저의 원소들은 서로 일차독립이므로 서로의 기저의 원소들을 일차결합으로 표현할 수 있습니다.

예를들어서 s1={(1,0) , (0,1)}  s2={(1,1) , (1, -1)} 으로 두면

s1의 원소 (1,0) , (0,1)의 일차결합으로 s2의 원소 (1,1) , (1, -1)를 표현 할 수 있고

반대의 경우도 마찬가지로 가능하다는 걸 알 수 있습니다.

x+3y-2z=7이 평면 방정식일때

(0,0,0)을 대입하면  0<7이어서 평면아래의 영역에 속한다고 하셨는데

(4,4,1)을 대입하면 4+12-2>7이 나오기 때문에 평면위의 영역 아닌가요? 해설에서는 같은 영역에 속하는 것으로 되어 있어서 헷갈립니다

원점은 x+3y-2z-7=0에 대입하면 -7<0이므로 평면 아래에 있다고 생각 할 수 있고,

(4,4,1)은 대입하면 7>0이므로 평면 위에 있다고 볼 수 있습니다.

따라서 두 점이 다른 영역에 속해 있는게 맞습니다.

끈의 전체길이를 L로 두고 산술기하를 통해 구할때 문제에서 주어진 매듭의 길이 4cm도 더해야 하지 않나요?

고로 a의 최소값이 78이 아닌 82가 되어 답이 3번(92)여야 한것 같은데...아닌가용??

네. 질문하신 내용이 맞습니다.

매듭의 길이까지 포함을 하셔야 하는게 맞으며

현재는 매듭의 길이를 0으로 수정하여 답을 2번(88)으로 표시하였습니다.

벡터의 갯수가 벡터의 성분갯수보다 많은경우 벡터들은 1차 종속이 맞나요? 조금 이해가 안가서요.. 예를 들어서 설명해주시면 감사하겠습니다

벡터의 성분 수 보다 벡터의 개수가 더 많다면 종속입니다.

예) (1, 0), (0, 1), (1, 1)  rank=2 < 3 이므로 종속입니다.