안녕하세요 선생님, 선생님께서는 짚어주시는 부분만 잘 따라오라고 하셨지만 호기심에 질문드립니다.

pg 368 쪽의 유형학습 2번의 경우 풀이에서는 중점을 이용한 방법과, 두 직선이 수직임을 이용한 방법을 소개하고 있는데요, 그렇다면 이 문제가 선형변환 파트에 있을 이유가 없지 않나 하는 생각이 듭니다.

그래서 이 문제를 선형변환으로 풀 수 있는 방법이 있는게 아닐까 싶어서 여러가지 시도를 해봤지만 할 수가 없었습니다.

혹시 있다면 소개해주실 수 있으신가요? 아니면 혹시 위 두 방법이 공간에 대한 이해를 바탕으로 하는 변환의 일종이라고 볼 수 있는건가요?

저도 잠깐 생각을 해봤지만... 못하겠네요 ㅠ ㅋㅋ

원래 행렬 풀이가계산기 같은 프로그래밍을 전제로 한 풀이라

문제처럼 조건이 특수한 경우는 사람의 힘으로 힘듭니다.

저도 이 문제가 왜 이 파트에 있는지 이해가 되지 않네요. 

물론 대칭도 변환이라면 변환이라고 할 수 있는데 이걸 굳이 선형변환으로??

마치, (1,2) y=x 대칭이 (2,1) 을 물어보는 것처럼, 물론 이 경우는 쉽게 행렬 표현 가능은 합니다. 쉬우니까!

평면 벡터 파트에 있는 게 어울릴 거 같아요. 

제가 일변수미적분을 할 때도 n->무한대로 갔을 때 작은거는 다 무시하고 풀었는데요

이때 작은거라는게 훨씬 작고 이런게 아니라 어떤 것을 비교했을 때 작은거는 다 소거를 했던 기억이 납니다.

예를 들어서, 리미트 x->무한대로 갈 때 x^4+x^3+x를 어차피 다 무한대로 가고 작은 것은 있으나 없으나 별 영향을 끼치지 못하기 때문에 작은 거를 소거해서 

x^4를 제외한 나머지를 다 소거를 해서 x^4만 남게 되서 극한을 풀었었죠.

교수님께 말씀을 드리고 싶은 것은 극한을 풀 때 훨씬 더 작아서 소거를 한 게 아니라 작은거면 다 소거를 했었는데

이 파트에서는 약간 혼동이 오는 내용이 훨씬 더 작을 때 소거가 된다!라는 느낌으로 가르쳐주시는 것 같아서 

어? 그러면 별로 차이 안나는거는 소거를 하지 말라는 뜻인가?라는 생각이 들었고

저 사진 속에 별표친 부분이 있잖아요?

저것도 극한의 개념에서 보면 n과 (ln n)^2을 비교해보면 (ln n)^2은 의외로 좀 많이 크다고 하셨는데 

그러면 n이 더 작으니까 소거를 해서 (ln n)^2이 되어야 하는게 아닌가?라는 생각까지 들었습니다.

그런데 마침 교수님께서 이거는 예외적이니까 외워놔라라고 하셔서 

제가 생각한 논리가 맞는데 다만 이게 예외적이라서 외우라는 건지.. 아닌건지 헷갈립니다.

또 마지막 질문은..

무한급수에서 시작점 그러니까 n의 값이 0으로 시작하든 1로 시작하든 2로시작하든 상관이 없고 

끝에 무한대가 중요하다라고 말씀을 해주셨는데

그런데 가만히 생각을 해보니까 n의 값이 어떻게 0이 나오는지 이해가 안갑니다.

왜냐하면 급수는 수열의 합인데 수열은 첫번째항부터 더하는 것인데 

n=0이라는 것은 0번째항부터 더한다는 말이 되고.. 0번째항은 존재하지가 않는 것인데...? 막상 

일반항의 형태를 보면 그러니까 예를 들어 an=2n+1이다 라고 하면

n이 0들어가는 것도 맞는 것 같기도 하고 그렇다기에는 0번째항은 존재하지가 않는건데.. 아닌 거 같은데?라는 생각도 들고 헷갈리네요 ㅎㅎ..

답변 하루 늦어서 미안해요!

혼동이 오는 이유가, 더하기와 곱하기와 의 차이라고 보시면 되겠습니다.

f(x)>g(x) 일 때,

f(x)+g(x)라면 조금만 작아도 g(x)는 그냥 무시합니다.

하지만 f(x)g(x)일 때는 판단하기 애매합니다. 

곱하기 상태이기 때문에 g(x)가 크지 않더라고 f(x)에 영향을 줄 수도 있고 안 줄 수도 있습니다.

그건 단순 직감만으로 파악하기 힘든 부분이 있습니다. 그래서 정확히 판단하려면 적분법 같은 수식을 전개하던가

자주 나온다면 그 표현을 외우는 수 밖에 없습니다..

그예가 바로 x(lnx)꼴입니다!

n=0 집어 넣을 수 있습니다!

이건 단지 정의학적인 의미인데요. 만약 수열의 합을 아무말도 없다면 당연 1부터지만

시그마 n=0 부터라면 정말 n=0부터 집어넣을 수 있게 됩니다.

하지만 수렴발산만 판단한다면 사실 n=0값을 그렇게 중요하지는 않죠!

정말 예리하고 날카롭고 좋은 질문이에요.

만약 우리가 대학원에서 만났더라면!!

하지만 우린 편입학원에서 만났기에 너무 깊게 고민하면 안돼요ㅠ

빨리 진도를 빼고 정말 시험만 잘 봐야하는 상황이기에, 

원리 그 자체를 고등 수준을 넘어 궁금해하면 정말 수학 공부가 끝이 없습니다. 

그래서 적당히 타협을 봐야합니다 ㅠ ㅋㅋ

일단 내용을 정말 최대한 간단하게 직관적으로 설명할게요!

당연히 dx 자리에 ds가 되야 할 거 같죠? 

근데 더 헷갈리고 놀라운 사실은 사실 원래 식인 dx를 써도 ds를 써도 실제 부피값이랑 좀 달라요!??

이건 사실 단순 넓이 구할 때 직사각형 ydx 가 실제 곡선 모양이랑 어긋나는 이유와 같아요.

말로 하면 힘드니까 아래 그림을 그렸어요.

실제 부피는 검은색이고, 식으로 구한 부피는 빨간색이고, 만약 dx가 아닌 ds로 둔다면 파란색이 부피가 나옵니다.

둘 다 원래 부피인 검은색 과 다르죠? 

하지만 dx> dx^2 등등 복잡 미묘한 수식관계로부터 dx로 구한 빨간색이 ds 파란색보다 근사하게 나옵니다.   

dx> dx^2 등등 복잡미묘한 수식관계... 이거는 솔직히 궁금해하지말자구요!!!

p.264쪽 대표 기출 유형 3번 문제에서 공식을 사용하지 않고 풀어보고 싶어서 풀어봤는데 x=0, y=0 일 때 극솟값을 가지는 것은 알겠는데 왜 f(0, 2)일 때 △x은 0보다 크고 fxx도 0보다 커서 극솟값으로 생각하고 있었는데 극댓값을 가진다고 해서 궁금해 여쭤봅니다. 

일단 

y' = -fx/fy= - (4x^3+16x)/(6y^2-8) 이고

극대극소에서 미분값이 + 0 - 만 구분하면 된다고 했죠?

어차피 y=2 전 후에서 분모 6y^2-8 값이 부호는 바뀌지 않고 그냥 양수일 뿐입니다.

그러면 간단히 y'=- (4x^3+16x) = -x(x^2+4) 으로 볼 수 있죠? 요녀석은 x=0 을 기준으로 0보다 크면 - 작으면 + 입니다

그러면 그게 바로 극대가 되겠죠?!!

실수에요ㅠ 판서와 뇌의 인지부조화입니다 ㅠ 미안해요 흑흑

말한 게 맞습니다!

b닷ua*ua 에서 깔리는 게 영공간이니 영공간을 a 로 잡아야 합니다

선형사상을 T(X)=AX로 행렬로 바꾸는 것에 대해서 배웠는데 

이때 저기 T(X)에서 (X)가 무슨 말인가요?

그러니까 저는 TX=AX이렇게 표현하는게 아닌가 하는 생각이 들었는데

저기 괄호()안에 있는 X가 우항에 있는 AX의 X랑 똑같은 거 아닌가요??

X 는 AX 에서 X의 원소라고 생각하면 됩니다 

다만 AX표현에서 X는 행렬이고 뒤에 붙어있어 세로로 써야 합니다 

예를 들어 

T(3,1) = 행렬A * 3  

                    1

핵공간의 차원은 n-rank(A)로 구하는건데 여기서 n이 전체차원인데 

왜 n이 4가 아니라 5로 하나요?

A가 5차원에서 4차원으로 이동했으까 4차원을 전체차원으로 봐서 4-3=1 이렇게 해야하는 것이 아닌가요?

이게 아니라면 

애초에 핵공간은 정의역인 V공간에 있으니까 전체차원은 5차원이라서 5-3=2가 되는 건지 궁금합니다.

또 핵공간이 영공간과 같으니까 해공간으로도 말할 수가 있나요?

선형대수 참 많이 헷갈리죠? 이게 추상적인 파트이다 보니 ㅋㅋ

일단 n-rankA 에서 n은 열입니다!

보통 행렬을 m*n 으로 표현하고 주어진 조건이 4*5인거죠.

이걸 좀 더 표현하면

5차원에서 4차원 세계로 이동했고 4차원 공간 내에서 3차원으로 존재하고 있습니다.

그리고 전체 차원은 이동 전 차원이므로 5차원으로 해줘야합니다!

핵,영,해 다 같은 말입니다!

이번달부터 편입 수학을 하려고 합니다. 수학 노베이스 학생이에요. 하지만 수학 관련한 지식이 너무 없어서 어떻게 시작해야 할지 감이 잡히지 않습니다. 너무 어렵게 느껴지기도 하고요. 어떻게 진도를 나가고 공부를 해야할까요? 늦지는 않았을까요?

우선 답변 좀 늦어서 미안해요 ㅜ 

일단 노베이스라하면 어느 정도이고 목표 대학이 어딘지가 정말 중요한데요.

수학은 가물가물한 고1 1학기 수준, 그러니까 방정식과 인수분해 정도만 겨우 할 줄 안다고 생각할게요!

기초 수학을 먼저 빠르게 정리하는게 우선이에요. 

하지만 올해가 목표라면 지금 기초수학 듣기에는 너무 늦은 시간이기도 합니다.

그래서, 

1. 기초수학 + 편입수학 극한을 같이 시작 최소 6월 초까지 번갈아 들으면서 완강하세요.

2. 6-7월까지 미분학을 합니다. 

3. 8월 적분학

4. 9월-10월 선형대수 

5. 10-11월 미적분2

솔직히 노베이스면 공업수학은 일단 미적분2까지 다 빼고 남으면 하고 안되면 그냥 스킵해야합니다.

그리고 해보면 알겠지만 편입수학은 대학수학로 가르치는 저조차도 굉장히 어려운 내용이에요!

하지만 어차피 시험은 상대평가라 완벽히 하지 않아도 남들보다, 좀만 더 잘하면 됩니다.

그렇기에 공부하다 막히는 내용은 정말 궁금한 게 아니면 그런가보다 하면서 쓱쓱 넘기면서 진도를 빼야해요.

일단 기초수학+극한부터 해봅시다!

해보고 힘든 점이나 모르는 점 있으면 질문하면서 제가 다시 또 조언 해드릴게요!

2번째 사진이 질문 내용입니다. 감사합니다.

-5x^2+20y^2=15 이나

20x^2-5y^2=15 나 쌍곡선입니다 

-5x^2+20y^2=20y^2-5x^2 이고 단지 xy위치가 바뀐 쌍곡선이라 보면 됩니다!

결론

x^2-y^2=1 이나 y^2-x^2=1 이나 같은 쌍곡선 이고 위아래 위치만 바뀜!

안녕하세요 교수님 제가 궁금한 점이 하나 있는데 

2차 형식 즉, 2차 방정식같은걸 보면 앞으로 행렬로 바꿔주고 싶다는 본능이 생겨야 한다.까지는 이해가 됐는데

문제에서 지금 x^2+2y^2~-2yz의 최댓값과 최솟값을 구하고 그것을 더한 값을 구하라는 건데

왜 최댓값과 최솟값을 고유치의 최대값과 최솟값으로 해서 구하는 건가요?

그 부분이 이해가 안갑니다.

수업에서 설명했던 내용인데요.

xy 2차형식을 무조건 행렬로 표현할 수 있죠? 

XtAX 

그런데 고유치가 AX=람다X이구요.

위식에서 왼쪽에 Xt만 붙이면 XtAX=람다XtX 이고 식을 좀 만져주면 람다 = XtAX/XtX 입니다.

여기서 XtX값만 알고 있으면 람다와 XtAX 의 연관성으로 값의 최대최소를 구할 수 있습니다.

여기서 아마 깊게 가면, 람다와 최대최소가 무슨 관계이냐 인데요. 

그거까지 증명하긴 힘들고 의미가 없습니다. 이해하지 말고 그냥 머리 속에 박는게 좋아요 ㅠ

대충 말하면, f(x,y,z) 는 어떤 3차원 값이고 경계선 값이 고유치...어쩌구. 대각화.. 어렵죠? 그냥 머리에 박으세요!

n이 무한대로 갈때 x^(1/n)-1이 왜 0이 되는지 이해가 되지 않습니다.

답지에선 별다른 설명 없이

n이 무한대로 갈때 n*(x^(1/n)-1)이 '무한대*0꼴'이라고만 적혀 있습니다.

x라는 변수 때문에 판단이 힘들죠?

그럴땐 그냥 x에다가 아무 숫자 집어넣고 이해해보는게 가장 좋습니다.

x=100이라고 해볼까요

그럼 100^(1/n) -1 인데 n이 엄청 커진다고 생각해보세요

그럼 1/n 은 0에 가깝죠?! 그럼 100^0  -1 인데 알다시피 0승은 무슨값이든지 1로 만듭니다! 

그래서 1-1=0이 되겠습니다!

참고로 n루트x x^(1/n)에서 n이 커지면 그 숫자는 작아질 수 밖에 없어요 루트x > 3루트x > 4루트x 인것처럼요.

5-1(실전문제) 질문있습니다

2번하고 4번중에 헷갈립니다. 

4번= 들판에 있는 시든 작물을 봤던 그들

2번= 들판에 있는 메마른 작물을 봤던 그들

4번이 물론 시든 작물이라는 말이 좀더 느낌적으로는 맞는것 같긴한데  2번이 틀린 이유를 정확하게 알고 싶습니다. 

2번에 meager은 부족한 불출분한의 맥락이 아니라

마른, 야윈이라는 뜻으로 쓰일때는 보통 사람이나 동물을 수식해요^^

올리신 풀이 잘 푸신거 같습니다!!

해설에는 평균값 정리를 썻는데... 솔직히 굉장히 인위적인 풀이입니다.

어떤 기준에서 평균값 정리를 썻는지 없고, 결과론적인 끼워 맞추기식 풀이라 시험장에서 절대 적용안되니, 따라하지 않는게 좋습니다.

c값은 x 와 f(x)사인데 어차피 x가 커지면 c도 커질 수 밖에 없기 때문에 무한대입니다 :)

제가 푼 해설도 아래 참조하세요. 기하적인 조건을 이용하는게 가장 좋아요. 특히 인하대 문제는 출제교수님이 기하성을 굉장히 좋아하십니다.

p.108의 43번 문제에 e의 ln 승을 취하는 건 알지만 그 이후를

어떻게 풀이해야 하는지 모르겠습니다.

그리고 p.110 49번의 주어진 문제 

(가)는 어떻게 계산해야 하는지 모르겠습니다.

1. 행렬 표현법 차이에요.

만약 2x2 행렬만 나오면 변수가 4개니 당연히 4차워입니다. 

0 0

1 2  의 원소를 원소로 보지 않고, 단지 행벡터 (0,0), (1,2)의 행력 묶음 표현으로 본다면 당연히 2차원이구요.

겹친 표현이라서 혼동하는 거 문제에서 어떤 의미로 썻는지를 확인해야합니다. 

하지만 행벡터로 보라는 말이 명시되어있지 않으면, 일반적으로 4차원으로 보는 게 맞겠지요.

2. 정확히 차원은 독립된 변수의 갯수입니다.

예를 들어, y=x 누가봐도 1차원인 알죠? 여기서 x=1 집어넣으면 y는 자동적으로 1이 생성되죠. 그래서 사실 독립된 면수는 1개로 봐야합니다. x,y가 있다고 해서 2개가 아니구요. 이와같은 방식으로

제시한 예는 대칭행렬인데요.

각 자리에 1씩 건들여보면

주대각선 자리는 1로 채워지고

주대각선 아래쪽에 1로 채우면 자동적으로 윗부분도 1로 채워집니다. 여기 윗부분과 아랫부분 연결 되있고, 이건 종속이니까, 아래 1갯수만 세면 됩니다. 그게 10 개이구요.

0은? 정확히 몇 페이지 몇 번 문제인가요? 제가 그냥 1 적기 싫어서 그냥 둔 게 아니라면 0 자리에도 1이 쓰여야 합니다.