선적분문제 벡터장이 (x^2)i + (x)j 이고 0

그린 정리를 쓰기 위해선 경로가 닫혀있어야 합니다.
주어진 문제가 원의 일부라서 그린정리를 쓸 수 없겠고

x, y 그냥 쓰면 식이 지저분해지는데 마침 원이기 때문에

원의 좌표를 cos 과 sin 으로 표현할 수 있으니

x=3cost y=3sint 로 푼 것입니다.

그럼 F=(9cos제곱,9sin제곱), dr은 x와 y를 미분한 것이니 dr=(-3sin,3cos) 이고 

선적분은 인트게르랄 f닷dr 그리고 경로 파이/2까지 적분했습니다. 조심해야 할 부분은 반시계가 + 이니 이 값에 - 를 붙여야 하겠습니다!

ps. 진도가 엄청 빠르네요! 

사실 선적분과 선형변환은 어렵기도 하고 최상위권 학교에 주로 나와, 

본수업 때는 중상위권 기준이라 이 부분 약하게 하고, 파이날 강의 떄 보완을 했습니다.

그리고 정말 최최상위권 대학을 안정적으로 가고 싶은 학생을 위한 강의가 준비 중이니 

그 떄 까지 꾸준 기출공부해주세요!! 

질문 1.46페이지 출제 예상문제 1번 에 (나)와 (다) 에서 둘다 분모의 최고 차항이 더 큰데 나는 발산이고 다는 왜 수렴인가요? 그리고 (라) 같은경우 교대 급수의 절대 수렴으로 판단하면 n-1/n+1 > n/n+2  인데 , 리미트 n-1/n+1은 0이 안되는데 어떻게 판단할까요? 질문 2. 25페이지 대표기출 유형 1에서 (라) 를 적분 비교로 수렴 발산 여부를 판단하였는데 만약 적분비교를 사용하지않고 더 작은 걸 지우는 것으로 했을때 e의 마이너스 루트 앤승과 루트 n중에 뭐가 더 작은 것인지 , 어떻게 판단하는지 잘 모르겠습니다. 만약 루트 앤이 더커서 루트 앤분에 1이 될경우 수렴 판단을 어떻게 판단하나요 질문 3.  52페이지 21번 루트앤 * (1-cos앤분에 1) 을 사인으로 바꾸면 2루트 앤 *sin^2 (1/2n)/1/4앤제곱으로 극한비교 판정을 해야하는데 삼각함수의 급수에 따라 싸인함수와 분모는 없어지고 최종적으로 2루앤만으로 수렴, 발산 여부를 확인해야하는지 잘 이해가 안됩니다. 설명 부탁드립니다. 항상 감사합니다 ;)

1. 나와 다

나는 n/n^2 이고 다는 n^2/n^5 이죠. 

n=x 로 본다면

2x/x^2=2/x 죠

아시다시피 급수는 적분으로 바꺼서 풀스 있는데. 

인테그랄 1부터 무한대 1/x 무한대가 나옵니다.

수업 때도 설명했지만 1/x 의 1부터 무한대 구간의 넓이가 꽤나 두껍기 때문에 무한대가 나옵니다.

반대로 1/x 가 아니라 1/x^2 었다면 적분값이 1 이 나오죠? 1/x^2이 1/x보다 더 두께가 얇기 때문이에요.

그 구분은 p급수 표현에서 1/x^c 에서 c가 1보다 커야  성립할 수 있습니다

그래서 다는 1/x^3이니 당연히 수렴하고도 남습니다!

라는, 어차피 무한대에 의미에서 -1, +1은 의미가 없습니다. 고로 n/n=1 이고 -1+1+-1+1 반복되는데 이게 짝수일땐 0

홀수일땐 -1이라 진동을해서 발산입니다! 

2. 

지수에 - 있으면 많이 헷갈리는데요.

e-루트n = 1/e^루트n 같은거니 결국, 1/(e^루트n * 루트n) 

즉 1과 (e^루트n * 루트n) 을 비교하면 되겟죠? 당연이 밑에 지수가 더 어마어마하게 크죠. 고로 수렴!!


3. 극한비교시 1/4n^2 이 아닌 1/4n^5/2를 해줘야 올바른 비교가 됩니다.
비교 값이 존재하게 끔 찾아야해서요.4n^2 으로 해서 안된다면 되는걸 더 찾아봐야 합니다.
번거롭죠? 그래서 저는 비교판정을 잘 쓰지 않는데요.

2루트n*사인제곱1/2n 이죠? 여기서 사실 사인을 지울 수 있는 거! 배우셨죠?! sin(x) x=0으로 갈떄 sinx=x
고로 2루트*1/4n^2dlrh 1/2*1/n^3/2 이고 3/2>1 이니 수렴!! 


무한급수는 첨에는 이론적인 설명이 들어가나 자주 푸시다보면 시험에 나오는 유형이 거기서 거기라 나중에 그냥
유형암기식으로 "어 이거 원래 안되는거야~"란 감이 오실 겁니다 :)

선생님 시그마 n=1 무한대까지 2n/n^2이 발산인 이유는 분모가 분자보다 그래프상 기하급수적으로 커지기 떄문인가요? 그럼 0값 아닌가요?

분모가 분자보다 커지긴한데 그 정도가 약합니다!

n=x 로 본다면

2x/x^2=2/x 죠

아시다시피 급수는 적분으로 바꺼서 풀스 있는데. 

인테그랄 1부터 무한대 1/x 무한대가 나옵니다.

수업 때도 설명했지만 1/x 의 1부터 무한대 구간의 넓이가 꽤나 두껍기 때문에 무한대가 나옵니다.

반대로 1/x 가 아니라 1/x^2 었다면 적분값이 1 이 나오죠? 1/x^2이 1/x보다 더 두께가 얇기 때문이에요.

그 구분은 p급수 표현에서 1/x^c 에서 c가 1보다 커야  성립할 수 있습니다.

결론 만약 2n/n^2이 아니라 2n/n^3 었다면 n^3이 n보다 많이많이 크기 때문에 수렴하겠지만

n^2 이 n보다 많이 크진 않아서 무한급수값이 무한대고 발산이다.

선생님 혹시 대학교 기출문제 년도별로 풀어주시나요? 아님 다른 선생님꺼 들어야되나요 ㅠㅠ.. 선생님꺼 듣고싶어요

11~12월에 중요대학 기출년도 풀이 업로드 예정입니다!

아쉽지만 작년 파이널 강의가 기출풀이인데... 

업로드 되기 전에 이거 듣고 계시면 빠르게 최신 강의 업데이트 하도록할게요!

라운드(아식스 로고같이생긴..)랑 d의 차이가 뭔가요..? 책에서 찾아보려했는데 못찾아서 질문드립니다 ㅠ

사실상 거의 같은 역할을 하는데요. 

라운드들어간 미분식을 가만보면 변수가 굉장히 많을 겁니다. 최종적으로 2변수 이상일겁니다!

하지만 d 들어간 식을 변수가 많아보임에도 결국은 1변수일겁니다!

그 차입니다! 변수가 많아서 편미분(라운드)할 수 밖에 없는 것이고

변수가 하나 뿐이니, 그냥 미분(d)를 취하는 거죠.

하지만 문제 풀 때마다 변수 세고 있으면 너무 머리 아파서 유형에 맞는 식을 빨리 세워서 푸는게 상책입니다 :)

지수꼴 극한값은 작은항무시할 때 간혹 안되는 경우가 있다고 하셔서 양 변에 자연로그 취하는 방법을 연습하고있었는데 이 문제에서 자연로그 취해보니 1/x ln(x/2 + arctanx) 이렇게 되더라구요.

삼각함수가 lnx보다 작은 값이니 arctanx 무시해주면 1/x ln(2/x)가 되는데

이제 1/x 와 ln(2/x) 중에 작은항인 1/x를 없애주면 

문제가 풀릴거라고 생각했는데 그렇게 하니 

   lim  = ln(2/x) = ln(a)   (극한값을 a라고 뒀습니다,)

x->0

이렇게 되고 극한값이 0/무한대 꼴로 0이 되는데 뭐가 문제였는지 모르겠습니다 ㅠㅠ

ln2/x 와 1/x 와 비교하는게 아니라

'분모'인 'x' 와  ln2/x를 비교해야합니다.

이러면 ln2-lnx / x 이고 사실상 -lnx 와 x의 대결이죠!

당연히 x가 크니 값은 0 이고요. e^0 은 1이죠!

이런식으로 적분하여 f(x)를 구하고 그래프를 그려봤는데 선생님이 그려주신 그래프랑 다르네요... 이 방법으로 f(x)의 그래프를 구할때는 어떤점때문에 오류가 나는 것일까요ㅠㅠ 

t>2 인 경우 식이 1/2X^2-2X+4 인데 +4가 빠져서 밑으로 -4칸 내려갔네요....?!

혹시 제가 식을 1/2x^2-2x+4 가 아닌 1/2x^2-2x 로 적었나요??? ㅠ 그건 제 실수, 확인 후 수정하겠습니다.

95페이지 에프 플라임 엑스가 시그마 0부터 무한대까지였는데 n에 0 넣으면 0되서  시그마 1부터 무한대 까지로 바꾼다는게 무슨소린지 모르겠습니다. 이와 비슷하게 96페이지의 유형 2에 e^x= 시그마 n x^ n-1/ n!에서  이상태로 미분 시 n(n-1)x^n-2가 되기때문에 n이 되야하니까 시그마 0부터가 아니고 1부터라는게 이해가 잘안되네요. 감사합니다

무한급수 표현은 x^0 부터 표현되겠쬬? x^1, x^2.. 

n=0 부터면 0, 1, 2, .... 이렇게 되죠? 그런데 0 집어넣은 값이  x^-1 이기도 하고 n이 0 이라 n=0 집어넣은 항은 0*x^-1=0 이라 더하는 의미가 없어서 그냥 1부터 표기한다는 얘깁니다 :)

유형2도 마찬가지로 n(n-1)x^n-2 도 0, 1, 2, .. 인데 0도 0, 1도 0 이라 2부터 해야 정확한 표기가 되겠습니다.

사실, 문제 풀 때는 크게 신경 안쓰고 괜찮고, 

정확한 표기법이 x^0 부터 시작한다는 생각만하고 시그마 n 시작값을 정해주면 좋겠습니다.

p355 49번에 c에서 y,z가 0으로 고정되면 x도0 으로 고정되는거 아닌가요? X+Y+Z=0이니까 x도 0아닌가요? x는 고정 되지않았으니까 자유롭게 넣는건가요? 1을 넣으면 1+0+0=1인데 x,y,z 다 더하면 0이 나와야되잖아요.?.,, b도 이해가 잘안가고 이문제 잘 모르겠습니다.. 자세한 설명 부탁드려요 ㅠㅠ 

C에서 Y=Z=0 으로 고정되죠.

여기서 X 자유로우니까 X 혼자 1을 집어넣을 수 있어서 (1,0,0) 하나 밖에 안나옵니다.

X+Y+Z=0 은 관계식은 생기지 않은데...어디서 나온걸까요. 제가 수업영상 확인이 안되서 ㅠ

만약 x+y+z=0 이 있다면, 이걸로 만들 수 있는 독립벡터는 2개지요? 2차원 평면이니까!

B는 고유치가 2이고 집어넣으면 z=0 이 나오죠? 여기서 x,y는 아무조건 없으니 자유입니다!!

그럼 (1,0,0) (0,1,0) 을 생성할 수 있겠네요! 어쩃든 얘도 고유치는 3갠데 고유벡터는 2개 뿐이라 탈락!

안녕하세요 선생님 고유치값에 대해 강의를 듣다가 궁금한게 생겨서 질문드립니다 고유치값의 합은 주대각선 원소의 합인건 이해했습니다 근데 고유치의 곱은 행렬식의 값이라고 하셨는데 몇몇 문제들을 보니 고유치의 곱과 주대각선의 곱의합과 똑같더라고요 이건 우연인건가요?

전혀 다른값인데, 

아무래도 고유치값을 쉽게 주기 위해 삼각행렬이 많이 나오는데요. 

삼각행렬은 행렬식이 어차피 주대각선 원소가 나옵니다..

그로인해 같게 되는 것인데, 삼각행렬이 아닌 이상은 값이 다를 겁니다 ㅋㅋ

단순 말장난 문제입니다 ㅠ

문제에서 성장y 의 가장 작은 값이 아닌

성장률y' 의 가장 작은 값을 물어봐서

성장률y' 한번 더 미분한 기준으로 해야합니다.

성장률에 대한 기준식을 명확히 해줬으면 좋았을텐데 문제가 좀 치사하네요 :<

단순 말장난 문제입니다 ㅠ

문제에서 성장y 의 가장 작은 값이 아닌

성장률y' 의 가장 작은 값을 물어봐서

성장률y' 한번 더 미분한 기준으로 해야합니다.

성장률에 대한 기준식을 명확히 해줬으면 좋았을텐데 문제가 좀 치사하네요 :<

38페이지 유형 1, (마) 보기에서 앤 제곱 분에 엘엔 앤 이 앤 제곱 보다 더큰데  왜 수렴 발산 판정을 못하는지, 그리고 같은이유로 (바)도 마찬가지로 왜 수렴 발산 판정으로 못해서 적분 판정법을 사용하는지 잘 모르겠네요

an= lnN/N^2 인데요.

단순히 lim an , N^2이 lnN보다 크니 0 입니다.

하지만 맨 앞에서 배운것처럼 '리미트' an=0 이라고 해서 반드시 전체합인  '시그마' an 까지 수렴하는지는 판단할 수 없습니다.

그래서 적분판정을 한 것이지요.

물론!! 문제를 많이 풀어보시면 알겠지만 lnN 보다 N^2이 훠얼~~~~~~~~~씬 크고

또 1/N^2이 1로 수렴하는 걸 너무나도 자주나와 잘 알기 때문에 나중에는 적분판정을 쓰지 않고

바로 수렴체크하게 되겠습니다. 

무한급수는 처음에는 이론이지만, 나중에는 문제가 똑같은게 계속꼐속 나와서 암기하다시피 풀게 될 겁니다 :)

324페이지 기출유형 3의 2번선지 풀이에서 A 역행렬이 존재하지 않아도 P의 역행렬은 존재할 수 있다는게 무슨말인지 잘 모르겠네요.  

그리고 325페이지 문제의 중복도가 무었인지모르겠습니다. 설명 부탁드립니다. 감사합니다.

A 역행렬이 존재하지 않는다는 것은 detA=0

대각화가 가능하다는 것은 D=P역AP가 존재

여기서 P역이 존재 그말은 detP=0 이 되는지 안되는지가 중요

하지만 detA=0 이랑 detP=0은 전혀 관계가 없다는 말이 되겠습니다! 형태가 비슷해서 많이 착각하거든요!

중복도는 중복된 람다의 수를 세시면 되겠습니다. 람다 0이 3중근이라 중복도3!

물론 이 파트는 더 깊게 가면 어려워지는데요. 더 딥한 내용들은 나중에 파이널로 따로 정리해드릴테니

지금은 그냥 중복됨 람다 갯수 쓰시면 되겠습니다!

논리학적 표현인데, 보통 성질이 같다라는 표현입니다만..

어느 문제에서 나왔는지 알려주겠어요? 출제 교수님 중에 너무 고리타분한 용어를 쓰시는 분들이 많아서 어느 파트에 나온지 확인해야 정확히 더 설명이 가능할 거 같습니다.

선형변환 어렵죠? (대체 여기 문제 왜 어렵게 문제 내는지 이해가 안되지만 + 선적분이랑 ㅠ)

사실 작년 선대 수업에서 선형변환은 딥하게 하지 않았습니다.

중위권 학생들이 이거 까지 당장 소화하기엔 체할 거 같아서

정말 기본적인 내용만 하고. 사실 기본적인 내용만 알아도 대다수 학교를 풀려요.

단, 최상위권 학교, 특히 한양대만! 빼고요! 

그래서 파이날 한양대편에서 더 자세히 설명했는데요.

급하면 파이날 강의 들어도 되고,

아니면 이번에 새로 찍어서 곧 업로드 (아마 다음주나 다다음주초?) 될 벡터 강의에서는 

조금 디테일하게 따로 설명했으니 그 강의를 새로 들으시는 걸 추천 드리겠습니다. 

강의 들으시고, 문제를 많이 풀어보시면 패턴이 똑같아서 잘 풀리실겁니다 :)

310페이지 유형 5번의 보기 (다) 에서 절대값 AX= 절대값 람다X 로 풀이를 했는데 절대값 람대X를  절대값 람다 곱하기 절대값 X로 떼어내 주면 람다의 N승 해줘야하는거 아닌가요??

예리합니다!

근데 어차피 3승이라 부호가 바뀌지 않기 때문에 그냥 람다1승으로 둔 거 같습니다 :)