이부분 4번 풀어주실때 랭크로 풀면 2가나오는데 c1x1+c2x2+c3x3=0꼴로 풀면 a=-c, b=-c가 나오는데 종속 아닌가요?

랭크로 푸는방법말고 위에 식처럼 푸는 방법으로 이해를 어떻게해야할까요?

a=-c, b=-c 가 나오므로 해공간은 1차원이 되며

전체차원 3-1=2 로 세벡터 (1, 2, 1), (0, -1, 1), (1, 1, 2) 가 이루는 공간은 2차원이 됩니다.

여기서 풀어주신 기출3번 문제 보기 나.열벡터가 일차독립이면 |A^T|은 0이아니라고 하셨는데 왜그런거죠?

열 또는 행벡터가 일차독립이면 A 를 기본행 연산했을 시 모든 행 또는 열에서 영벡터가 나오지 않으므로

A 의 행렬식이 0이 아니며 A^T 의 행렬식 또한 0 이 아닙니다.

이는 같은 말로써 암기해야 합니다.

여기서 행공간은 변하지 않았다하셨고 열공간은 변하셨다고 하셨는데 구체적으로 뭐가 바뀌었다는건지 잘 이해가 가지않습니다.

처음 행렬 A 의 열공간은 벡터 (1, 2, 1), (2, 5, 3) 의 일차결합으로 만들어지는 공간입니다.

기본행 연산을 통해 마지막 세번째의 열공간은 벡터 (1, 0, 0), (2, 1, 0) 의 일차결합으로 만들어지는 공간입니다,

(1, 0, 0), (2, 1, 0) 으로 벡터 (1, 2, 1) 를 일차결합으로 표현하지 못합니다.

즉, 두 벡터들이 만드는 평면이 달라지므로 열공간은 바뀔수 있습니다.

10강 31분대에서 3x2인 행렬 보고 2보다 차원은 클수없다라고 하셨는데, 앞에서 그럼 M2x2행렬의 차원은 왜 4차원이라고 하신거죠?

앞서 답변했다시피 행렬이 원소인 공간인지, 행렬의 행(또는 열)이 원소인 공간인지 파악해야 합니다.

칠판의 내용은 행공간과 열공간을 얘기 하고 있습니다.

행공간과 열공간의 차원은 rank 로 계산 합니다.

여기서 7A^T 대각화 가능한지 풀어볼때(P^T)^-1이 존재하는지 어떻게알며 존재하면 왜 대각화가 가능한것이죠? 

A가 대각화 가능하면 A^T 도 대각화 가능하다는 것은 암기 바랍니다.

행렬이 대각화가 가능하려면 A=PDP^-1 을 만족하는 가역행렬 P가 존재해야 합니다.

문제에서 A가 대각화 가능하다 했으므로 P 가 존재할 것이며

P가 가역이므로 P^T 도 가역입니다. (<- 행렬식 이용하여 생각)

그러면 A=PDP^-1 에서 A^T = (P^-1)^T D^T P^T = (P^T)^-1 D P^T 이며

A^T 도 저 관계식을 만족하는 가역행렬 P^T 가 존재하므로 대각화 가능합니다.