p.193 에서

(5)역삼각함수의 합성함수의 주치 범위 및 치역범위 질문입니다.

①역사인 함수의 정의역 및주치범위

-1

-파이/2 < sin-1(sinx)=x < 파이/2 (부등호같다는 컴퓨터상에서 어떻게쓸줄몰라서 생략했습니다)

이렇게 써있습니다

이범위가 sin과 sin-1 의 정의역이죠? 제가이해하한바로는 정의역같아서..아무튼!

위에서는 sin-1의 정의역범위가  -파이/2에서 파이/2까지라고 써있는대

p196쪽에 나와있는 대표기출유형 1번에서

보기1번인

sinx 함수의 역함수 f(x)의=sin-1x는 정의역이 [-1,1]이다

이게참으로되있는대..

p193에서 아크사인 정의역범위가  -파이/2에서 파이/2라고써 있는대

제가이해를못하고있는건가요?

이해가잘안됩니다ㅠ 

정의역이란게x값의범위인대  

아래그림 1번에서는 정의역이  -파이/2에서 파이/2 아닌가요..?

x선그대로를읽어서..

그림 2번에서는

x선그대로 읽게되면..정의역이 -1에서1 값이 아닌가요?

제가이해하고있는 정의역은 x값의범위이고

치역은 y값의범위인대 제가잘못알고있나요?

삼각함수에는 각도가 들어가서 삼각합수값이 나옵니다.

즉, y=sinx라고 하면 x는 각도, y는 값이 됩니다.

그래서 사인을 좌변으로 보낼 때, sin^-1 y=x가 됩니다. 여전히 x는 각도, y는 값이지요.

역삼각함수는 x와 y를 바꾼 것이므로, y=sin^-1 x가 되고, 여기는 x와 y가 바뀌었으므로 y가 각도, x가 값이 됩니다.

193쪽에서는 sin(sin^-1 x) 는 sin함수입니다. 그래서 각도가 아니라 값이 나올 수가 있겠지요. 괄호 안의 (sin^-1 x)에서 x안에 들어갈 수 있는 것은 위에 설명했듯이 각도가 아니라 값이 들어갈 수 있습니다.

193쪽의 식을 잘 살펴보면

-1<sin(sin-1x)=x <1 

-파이/2 < sin-1(sinx)=x < 파이/2 

빨간색 글자에서 x의 위치를 잘 살펴보시기 바랍니다.

중간쯤 보면 dA = l X_u x X_v l dudv 는 평행사변형의 면적이고

n = 1 / l X_u x X_v l  * (X_u x X_v) 이런식으로 되어있는데요

여기서 n은 단순히 법선벡터아닌가요?

 따라서 X_u x X_v 이처럼 그냥 두 벡터를 외적해준게 n 이 나오는거 같은데

왜  n = 1 / l X_u x X_v l  * (X_u x X_v) 이렇게 표현하는거죠?

법선벡터에서 방향만 가지고 오기 위해서 크기를 1로 만든 단위벡터 입니다.

y_p = 1 / (D-2)(D+3)) * e^2x  이거 푸는 방법이

e^2x * 1/D * 1/(D + 5 ) * 1

=  e^2x * 1/D * ( 1/5 * 1 )   < 5를 빼내고 대수함수가 1 이므로 1을 적은 후 1을 미분시키면 0 이 되므로 그대로 1이 나옴

=  (e^2x)/5  * 1/D *1   < 1/5 를 앞으로 빼준 후 대수함수 1을 한 번 적분해준다

= (e^2x)/5 * x  

= (xe^2x)/5    < 따라서 이 값이 나온다

번거로우시겠지만 한 번 봐주시길 바랄게요 ...ㅠ 별것도 아닌데 헷갈리네요.. 

그리고 10번 처럼 한쪽이 0 이 나오는 경우에는 두개를 전부다 지수함수의 차수로 더한 다음에 해주는 거 맞나요?

아니면 걍 한쪽이 0이든 둘다 0이 아니던 둘다 0이던 하나씩 풀어주면 되는건가요?

네. 푸는 방법이 맞습니다.

Q. 10번 처럼 한쪽이 0 이 나오는 경우에는 두개를 전부다 지수함수의 차수로 더한 다음에 해주는 거 맞나요?

맞습니다. 위에서 계산한 것처럼 그렇게 해주면 됩니다.

Q. 아니면 걍 한쪽이 0이든 둘다 0이 아니던 둘다 0이던 하나씩 풀어주면 되는건가요?

직접 해보면 알겠지만, 한꺼번에 계산하는게 조금 더 편할꺼라 생각합니다.

그리고, 0 이 되지 않더라도 지수함수 혼자 있지 않고 대수함수 같은 함수를 데리고 있는 경우는 무조건 D+a를 한 다음에 지수함수가 앞으로 넘어가야 합니다.

해답을 보면 2x - y = 2 2x -y =0 이고 2x-y = u 가 나오니

2> u > 0 라고 하면안되나요? 왜 1> u > 0이라고 하는거죠?

계산을 할 때 실수를 한거 같네요.

2x-y=2u입니다.

z = 0 , 1/2 인데

1/2에서 왜 갑자기 콘 모양이 되는거죠?

주어진 두 입체 중 뒤에 주어진 도형의 모양이 구라서 콘처럼 생긴 모양이 나왔네요.

그래프가 잘 이해되지 않을 때는 교재에 나와있는 입체의 모양을 식에 맞춰서 암기해야만 합니다.

x를 s로 편미분하라가 문제인데

해설과 다르게, 제시된 2개의 식을 서로 더하면 좌변은 (x+y)^2 이지요

양변에 루트를 씌우면 우변은 x+y 가남고 여기서 y를 우변으로 넘기면

x= ~ 꼴로 나오자나요?

그래서 우변을 s로 미분하면 안되는건가요? 답이 안나오는데

어떤 이유때문에 안되는거죠?

혹시 이러한 방법으로 가능하다면 어떤 과정이 빠진거죠?

루트를 씌울 때, 부호는 어떻게 했는지..

편미분을 할 때, y는 어떻게 미분했는지.. 가 관건이 되겠네요.

식을 하나로 만들었다면 y에 대한 미분계수가 살아있지 않나요?

문제의 풀이와 같이 계산을 한 이유는 x와 y가 서로 독립변수이고, s와 t가 서로 독립변수이기 때문입니다.

10000의 0.1% 면 100 아닌가요?

그리고 100의 0.1% 면 1/10 아닌가요?

왜 10000일때 10이라고 하는거죠

100의 0.1% 면 1/10

1000의 0.1% 면 1

10000의 0.1% 면 10

이렇게 10씩 곱해보면 10000일 때 10이 나옵니다.

이 문제에서 적분상수 c = 1/3 인데 이 값을 어떻게 구한거죠?

풀이를 보면 c_1=1/3 * c 라고 되어있지요.

분모를 없애주기 위해 그렇게 잡은 것입니다. 주어진 답 전체에 실수배를 해주었다고 생각하면 됩니다.

이 10번을 어떻게 푸는거죠?

그리고 이와같이 하나는 0 이고 하나는 0 이 아닐때

2가지로 풀더라고요

10번처럼 두 개의 식에다가 +2 를 해줘서

1/D(D+5) 로 해서 푸는것과 

D+5에는 2를 넣어줬을때 0이 안되니

1/7D * e^2x 이런식으로도 풀던데

왜 같은문제인데 풀이를 다르게 하는거죠?

그리고 10번을 어떻게 풀어야되는지 모르겠습니다

어느 방법을 이용해도 일반해 y는 같습니다. 어떤 식으로 풀어도 상관없습니다. 하나씩 해결하는 방법과 한꺼번에 해결하는 방법 둘 중 어느 것을 사용하여도 됩니다.

마지막 y 미분한거요

y'(0) = 0 이라고 했던데

0.2m 땡겨서 속도가 0이됬으니 x값 즉 변위 또한 0.2 가 되서

y(0) = 0.2

y'(0) = 0.2 로 해야하는거 아닌가요?

0.2m 잡아당기고 있는 순간이미 멈춰있습니다. 속도가 0이 되어야 하지요. 그래서 y'(0)=0입니다.

f(x,y)를 0이라 한다면

음함수가 되어서 

이것은 2차원에서도 표현할 수 있는 건가요?

반대로 얘기하면

2차원 평면에서의 음함수는 공간에서 z=0인 함수로 봐도 상관이 없는건가요?

z값이 없다면 x, y 평면에서 보는 것이 맞습니다.

z=f(x, y)로 나타나있다면 (x, y) 값에 따른 그 점에서의 높이라고 할 수 있습니다.

P404 17번문제에 y범위가 왜 -파이/2

x,y가 양수이다 이런 조건이 없는데 왜 그런지 잘 모르겠네요

P418 2번은 보기 1번이 이해가 안됩니다.,

P418 3번은 해설에서 S=8*적분0부터a까지~ 나오는 라인에서요

루트안에 (-x/z)^2 +0^2 이 왜 이런지 모르겠네요

어느 공식을 가지고 편미분시킨건지 모르겠습니다

17번

z>x라는 조건 때문에 그렇습니다. z=x라는 평면을 그으면 각도가 주어진 것처럼 잡히게 됩니다.

2번

공식에 그대로 집어 넣는 문제인데 풀이의 어느 부분이 이해가 안되는지 알려주시면 다시 답변을 달아드리겠습니다.

3번

풀이를 살펴보니 문제가 잘못된 것 같습니다. 공부하는데 혼돈을 드려 죄송합니다. 두번째 식에서 y^2+z^2=a^2이 아니라 x^2+z^2=a^2 이 되면 풀이가 이해가 될겁니다.

대각화가능조건은 (a-d)^2+4bc> 0이고

불가능은                                =<0

이라고 하셨는데요 단 2차정방일땐 0일때도 안된다고 덧붙여 말씀하시던데

그럼 다른 차수일대는 중근을 가질때도 대각화가 된다는 말인가요? (p.300)

또한 대각화가능조건문제와  고윳값이 실수인 경우의 문제는 별개의 문제인가요?

324페이지 12번에 해설에  (a-d)^2+4bc => 0을 만족하면 고윳값은 실수라 되어있는데요

대각화거능조건과와 통틀어 보면  (a-d)^2+4bc = 0 일경우는

고윳값은 실수를 가지나, 대각화는 가능하지 않다. 이렇게 결론이 나오는데 이게 맞나요?

동시에 대각화가능조건은 고윳값이 항상 실수여야하지만 0은 제외한다 라는게 맞나요?

1. 차수가 다를 때는 고윳값과 고유벡터의 다중도를 비교해서 대각화 가능성을 따집니다.

2. "조건을 만족하면 실수인 고윳값을 가지고 대각화가 가능하다."로 해석해 주시기 바랍니다. 고윳값이 실수가 아니면 대각화가 되지 않습니다.

3. 대각화를 따지는 조건은 대수적다중도=기하학적다중도 입니다. 실수인 고윳값을 가지지만 다중도가 다를 경우에는 대각화가 가능하지 않기 때문입니다. 고윳값이 0이 될 수도 있습니다.

p.85에 중요한 테일러급수공식의 2번 질문입니다.

루트x 를 테일러급수로 전개해놓았는데, 뭔가 많이 틀린 것 같습니다..

정정하면 어떻게 해야하나요?

루트x = 1 + (1/2)(x-1) - (1/8)(x-1)^2 + (1/16)(x-1)^3 .. 아닌가요?

네. 맞습니다. 책에 오탈자가 있었네요.

공부하는데 혼돈을 드려 죄송합니다.

만약에 1/s(s+1)² 이 나왔을때요

A / s + B / s+1 + C / (s+1)² 이라고 두고

수치대입법으로 s+1 , (s+1)²  이 두항에 각각 -1을 넣어서 B 와 C 의 값을 구할 수 있나요?

아니면 A 만 수치대입법으로 구한 후 B와 C는 계수 비교법으로 구해야하나요? 

수치대입법으로는 직관적으로 A, C만 구할 수 있습니다