p194에 1~5번계산을 할 수 있겠는데, 6~8은 어떻게 계산해야하나요?

4tan^-1 1/2 = 3 tan^-1 1/2 + tan^-1 1/2 놓고

 tan^-1 1/2 와  tan^-1 1/3 을 일반각 구하는 방법으로 역삼각함수의 값을 구하고

또 다시 앞의 것과 같은 방법으로 반복하여 구하면 됩니다.

그리 중요하지 않으니 신경쓰지 않아도 됩니다.

p216 유형학습 2 그래프 그릴때 r = 1 - 2cos세타, 세타가 파이일때 cos파이는 -1 , r = 3 아닌가요? 왜 -3인지 모르겟습니다!!    

미분학 책 375쪽에 보면 극방정식의 곡선의 추적하는 방법이 자세히 나와있어요.

동경 r은 원점에서 곡선까지 거리입니다. x축으로 -3이라는 것은 원점에서 거리는 3입니다.

책의 내용과 동영상 한번 더 봐주시기 바랍니다.

벡터질문인데요. p266에서 베벡터공간의 차원은 기저내의 벡터의 개수 라고 정의 합니다. 즉, 기저 내 이므로 일차독립벡터의 개수인데 표현이 dim(V) 로 되어 있습니다. 제가 알기론 dim(V) 는 행렬의 열의 개수라고 알고 있는데요. 예를들어  p271 위쪽의 풀이과정 에서  ㄷ. 처럼 벡터 v1,v2,v3 로 표현된 3x3 행렬로 표현되어 있을때, dim(V)는 열의 개수 즉 3인데요,  행렬식 값=0이므로 v1,v2,v3는 종속입니다. 그러면 dim(V) 는 이 행렬의 열이 3 이므로 dim(V)=3 , 반대로 독립인 벡터가 존재하지 않으므로 dim(V)=0  둘 중 어느 것이 옳은 것 인가요? 너무 헷갈립니다. 가르쳐 주세요

학생이 벡터 공간은 무조건 하나로 생각해서 그런 오해가 생긴 것입니다.

벡터공간에도 해공간, 생성된 공간, 상공간 등등 여러개가 있는데

모든 것을 하나로 생각해서 그런 것입니다. 

그리고 독립, 종속을 판단하는데 행렬을 이용하는 것이지

만일 선형변환을 행렬로 표현 할 때 열의 개수가 베거공간을 이루고 있는 벡터공간의 차원이죠

즉 선형변환의 행렬표현이 3X5라 할 때 이 행렬에 곱해야 할 AX에서 X의 열의 개수(미지수의 개수)를 보면

5개가 나와서의 벡터공간이 속해있는 공간의 차원이 5섯 개입니다.

그 문제에서는 단순이 독립, 종속만 판단한 것입니다. 즉 그 벡터가 속해있는 공간의 차원은 3이지만 이 3벡터로 생성할 수 있는 벡터 공간의 차원은 2차원이라는 것입니다.

안녕하세요 반갑습니다. 답변이 늦어 미안해요.

우선 질문한 내용이 조동사 have pp에 관한 문제인데,

조동사 have pp를 가정법 문제와 조동사 문제로 구분하는것은 의미가 없습니다.

아시다 시피 조동사 have pp 가 과거적 표현이며 추축이나 가능성을나타내는데 

이 표현이 if절과 같이 쓰면 우리가 이를 가정법 이라고 부르는것 이지요.

그리고 우리가 이를 좀더 쉽게 해석하고 문제에 적용하기 위해

if S 과거 동사 ~, 주어 would, should, could, might 동사 원형~

  혹은

if S had pp  , 주어 would, should, could, might have pp~

이런 식으로 외우는 것 입니다.

즉 다시 말하면

문제에서 Nancy could have gotten a higher score on her college entrance exam if~ 에서

could have gotten 은 더 좋은 점수를 받을 수 있었을 텐데(과거의 추측혹은 가능성을 나타내며) 가정법 문제냐 아니면

단순 추축이냐 는 if절으 유무로 판단 하시면 되겠습니다. if 절이 있을 경우 if절 내부의 동사는 시제가 과거 완료를 써야

과거가 되기 때문에 답이 4번의 had pp형태로 바꿔주는 것이 되는것이죠

대답이 잘 되었기를 바라고 혹시 또 모르는게 있으면 언제든지 질문해 주세요 ^^  

448p 대표기출유형2에서 보존력장이기 때문에 경로를 마음대로 정할수 있는데 여기서 직선 -1

보존력장은 경로를 마음되로하여야 하나 항 상 그 경로가 연속이어야하는데

-

부록  파트별 (도함수 기출) 20번 <14숙명여대>
f(f(x))=x 가 왜 역함수 관계인지 궁금하고, 왜 a랑 d랑 b랑 c랑 바꾸는지 궁금합니다.    

유리함수의 역함수 f(f(x)) = x 이면 좌측의 f를 우축으로 이동하면  f(x)= f ^-1 (x)가 됩니다.

그리고 유리함수의 역함수 공식이 a와 d를 바꾸고 b,c는 부호를 반대로 하면 됩니다.

아니면 역함수 구하는 방법 이용하면 됩니다.(즉 x,y를 바꾸면 됩니다.)

2변수함수 테일러 급수는 그리 신경 쓰지 않아도 됩니다.

일변수함수의 테일러 급수를 가지고 변수를 하나 더 넣어 확장 한 것 입니다.

행렬 AT를 A의 전치행렬이라 할때
행렬 A가 꼭 정발행렬이 아니어도
rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)=rank(ATA) 이 항상 성립하는 건가요?

행렬의 계수는 전치행렬의 계수와 같습니다.

행렬이 정방행렬이나 장방행렬이도 관계 없습니다.

저는 이 문제가 극한문제라 생각하고 함수의 크기비교를 생각했습니다. 따라서 (n! < n의n승) 이므로 n!을 무시하고 식을 다시 정리하면, lim∞  1/n 이 되어 극한값이 = 0 으로 나오는데요 제가 푼 풀이과정이 어디가 잘못 된 건가요. 자세한 설명 부탁드립니다.

학생의 말 처럼 작은항을 무시하면 영 영제곱이므로(0^0) 부정형을 갖지요.

그래서 극한값을 구할 수 없습니다.

그래서 지수꼴 극한 구하는 방법으로 극한값을 구하는 것입니다.

극한값을 구하다보니 무한급수를 정적분으로 바꾸는 문제가 된 것입니다.

40쪽에 4번에 1/a를 해설상에는 1/3으로 되어있는데요 일반항을 구하는 식에서 a는 첫째항을 뜻하는데요 이 식에서 첫항은 1/33인데요 왜 1/3이 나오는지 모르겠습니다. 여기에 나오는 일반항 식의 1/a가 첫째항을 뜻하는 게 아닌가요?? 그렇다면 등차수열의 일반항의 a인 첫째항과 그렇지 않은 a를 어떻게 구분할수 있나요?

수열의 첫째항은 a=a_1이라하는데 문제에서는 a는 첫째항이 아니라 일반항을 구하여 앞에 있는 계수입니다.

p.310 유형학습3번 증감표 그릴때
(a-x)(e^x-e^-x)에서 x가 a랑 0인건 알겠습니다. 근데 x가 왜 0보다 작은지 궁금합니다.     

문제조건에서 a가 양수라 하였으므로 a>0 이어서 그런 것입니다. 

p32쪽 단조 감소 수열, 단조 증가 수열 설명하실때 단조 증가 수열은 an+1 >an  이라고 설명해주셨는데 책에는                      an+1 >=an 이렇게 등호도 있더라고요.  이 둘 다 표현이 같은건가요??  혹시 등호가 수렴과도 연관이 있는건가요?     

단조증가수열 : a_n+1 >=a_n

증가수열 : a_n+1 > a_n

선생님이 그렇게 썼다면 잘 못쓴 것 입니다.

안녕하세요 교수님 중적분에 이어 공업수학을 듣고있는데요. 제차 선형미분방정식에서 근의 공식을 어쩜그렇게 빨리 구하시는지 궁금합니다.. 시험보면 항상시간부족한터라 .. 알고싶습니다!

제차 연립방정식에서 (y ` )^2=m^2 ,  y ` =m , y =1로 놓고 보조방정식을 구하여 근의 공식을 이용하면 됩니다.

인수분해되는 것은 인수분해하여 해를 구하면 됩니다.

안녕하세요. 교수님 답글 정말 감사합니다. 덕분에 하루에 8시간씩 공부하려고 노력하고 있습니다.

제가 공부를 하다가 7장 기본정리에서 막혔는데요.

그래프가 너무 어려워서 잘 이해가 안되네요...

여기서 막혀서 다음 장으로 진도를 못내고 멈춰있습니다..

제가 여기 장을 어려워도 이해하고 진행하는게 좋을까요?

시간이 부족하니 다음장 먼저 가는게 좋을까요?

모르는거 있으면 카톡으로 물어보시라고 말씀해주셧는데 카톡 아이디좀 알려주실수있을까요?

그래프를 잘 모르면 넘어갔다가 나중에 다시 보면 애해 할 수 있으므로

지금은 진도를 어느 정도 빼는 것이 중요합니다.

열심히 공부하시고 모르는 것은 카톡 사진 찍어 보내시면 답변해드리겠습니다.

선생님 전화번호가 010-3754-3362입니다.

그런데 전화번호가 다른가 봐요? 선생님한테 전화번호를 메세지로 보내주세요.

여기서 X*e^x의 적분공식을 활용하여 문제속의 적분에 대해서 x를 곱하여 저 공식을 활용하라고 하셨는데 여기서 x는 상수취급이라서 dy에 곱해져 dxy가 될 수 있는것인가요?

원래는 치환적분을 이용하면 되는데 치환적분을 이용하지 않고 적분을 하려면

변수를 미분한 것이 곱의 형태로 있어야 해서 그렇게 한 것입니다.

그리고 중적분에서 y로 적분하면 y 변수이외는 상수 취급합니다.