어려운 문제 한 문제 오랫동안 붙잡고 있으면 안좋은 습관일텐데

이런 기본적인 중적분 문제가 이해가 안되서 다시 한번 재질문드립니다.

저번에 이 중적분에 대해서 질문을 했었는데 그래도 이해가 안되서 질문드리게 되었습니다. 다른 중적분문제를 제가 적은 방식대로 풀면 다 맞는데 이 문제만 안풀립니다 이상하게. 

교수님이 적어주신 답변을 보니까 더 이해가 안됩니다. 아무리 봐도 선이 아래에 있는데 위쪽에 있으시다고 하시고 

y축보다 위에 있는데 y축보다 아래에 있다고 하시니 교수님이 당연하다고 생각하실지도 모르겠지만 제 입장에서는 이해가 안갑니다. 

x가  선(x=-y)보다 위(오른쪽)에 있고 y=0 보다 아래있습니다.

그래서 인테그랄 -y~ 0 이라고 해야합니다.

지금 쓴 식은 0~ -y 인데 애초 -y가 음수인데 음수가 0보다 클 수가 없잖아요.

그리고 해의 움직임은 리미트 x를 무한대로 보냈을 때의 상태를 말하는건가요?

해설을 봤는데 그런 설명은 하나도 나와있지 않고 그냥 식 하나만 딸랑적혀있고 진동하면서 감소한다. 이렇게 적혀있어서 교수님께 질문드렸습니다..

21년도 성대 출제자가 바뀐 거 같습니다.

그전까지 기출과 굉장히 다르죠.

굉장히 허술하고 불편한 문제로 구성되어있습니다.

객관식 편입시험을 처음 출제하셨나봐요... ㅠ

그래도 이 문제는 풀만해요.

움직임이라는 표현 추상적인 표현인데요.

수업 중에도 말했지만

공업수학 미방은 사실 물리하적 역학적인 식입니다.

예를 들어,

건물이 서있을 때 지진이나 바람의 영향을 받으면 건물이 흔들릴 때 흔들리는 처짐 거리 y를 구하는 거죠.

우리는 건물을 설계할 떄 궁금한게 있죠.

이 건물이 언제까지 버틸 수 있을까?

시간을 무한대로 보낸다면 이 건물의 얼마나 처질까? 이게 사실 궁금합니다.

사실 이런 긴 설명을 해줘야 했지만... 

출제 교수 입장에서 당연하지만 편입을 준비하는 수험생이 당연하 아닌데요. ㅠ

아무튼 이 역시 수험생이 유두리 있게 알아서 해석해야 했습니다.

그래서 시간, 여기서 시간 변수가 x라고 보고 x무한대 값을 구하면 됩니다.

예를 들어 질문한 a=1 일 때 지수^-x 에서 지수^-무한대는 0 이기 때문에 이 값은 0으로 수렴하죠.

이 부분은 커리큘럼 수업에서 배우지 않은 것 같습니다.

이런 문제를 어느 누가 가르친 적도 없고

이런 유형의 문제가 나온 적도 없습니다.

'알아서 유두리 있게' 풀어야 하는 문제입니다. 

지금 구한 값은 두 곡면의 벡터죠. 시도를 해보기 전에 생각해보면 외적 값은 벡터이고, 

벡터이기 때문에 (a,b,c) 가 나오죠.

하지만 보기 답들은 단일 상수라 절대 이런 답은 나올 수가 없죠. 

그럼 다른 생각을 해야합니다. 

기울기? 단일 상수라고 하면 Zx 와 Zy를 생각해볼 수 있습니다.

왜 어떠한 기준없이 Zx와 Zy를 구하냐고 물어본다면 '그냥' 입니다. 

이거 밖에 구할 게 없잖아요.

일단 주어진 값을 집어넣고 계산해보면 

Zx는 1/4 이 나오고 Zy 는 0 이 나옵니다.

당연히 y=1/2 상수 이기 때문에 Zy는 0이 나오죠.

보기에 1/4이 있죠? 이게 답입니다.

수험생 입장에서 억울할 수도 있어요. 

Z축 기준으로 구하는 말도 없고 

그게 Zx인지 Zy인지도 말하지 않고 있죠. 

일단 출제자는 어차피 Zy가 0 이기 때문에 기울기는 Zx 밖에 없었다고 판단했고

Zx를 물어본 거 같습니다.

솔직히 z축 기준이라든지 언급을 해줘야 했다고 보는데요. 

물론 식을 z= 라고 주긴 했지만...

이런 불편한 문제들이 편입시험에 한 둘이 아니죠.... 

수험생들이 출제자의 실수나 오류도 알아서 판단하고 유두리 있게 답을 내야합니다.

대각화나 직교대각화 둘 다 같은 말인가요 교수님?

일반적으로 같다고 해서 풀어도 문제 풀이에서 크게 오답이 나오지는 않지만, 

정확히 같지는 않습니다.

D=P^-1AP 대각화에서 

P는 고유벡터 행렬인데요.

이 고유벡터 행렬이 서로 직교하는 상황일 때를 '직교' 대각화라고 합니다.

안녕하세요 선생님! 

다름이 아니라 선생님꼐서 직교행렬은 A^T = A^-1 이라고 간단하게만 설명해주셨는데

이 문제를 어떻게 접근해야 할지 잘 모르겠습니다. 혹시 어떻게 해야할까요?

직교행렬 세부적인 내용은 교재p.107에 나와있는데요.

직교행렬인지 체크할면 A^-1 = A^T를 확인하면 되는데 역행렬 구하는 게 쉽지 않죠.

그래서 직교행렬의 특징을 확인하는데요.

열벡터의 크기는 1입니다.

첫 열 (1/root(2), b, 1/root3) 의 크기가 1이면 b

그리고 두번째 세번째 열의 크기가 1인걸 확인하면 답을 찾을 수 있습니다.

참고로 주어진 문제는 교재p.108과 같은 문제입니다.

사진 첨부 2장 했습니다. 

안녕하세요 선생님 20년도 성대 39번 선적분 관련하여 질문 있습니다.

20번 문제에서 범위가 x,y,z가 0이상이지 않습니까? 만약에 z가 0 이상이고 x,y가 범위의 제약조건이 없으면

테두리가 xy평면에밖에 안생겨서 다음과 같은 그림처럼 평면에 대한 벡터선적분하면 되는데, 그런데 x,y,z 

모두 양수이지 않습니까? 그래서 제가 처음 이 문제를 봤을때 옆면에 대한 경계가 생기는 줄 알고 경로를

2번째 그림처럼 잡았어서 스톡스 정리로 풀 생각을 했는데 제가 어떤 부분에서 잘못 생각한지 모르겠습니다.

수준 높은 질문이네요.

잘했는데요?!

어차피 경로로 풀기엔 힘든 문제이고

스톡스로 풀면 그려진 부피로 구하면 됩니다!

curlF 구하고

(-fx,-fy,1) 와 내적하고 구하면 됩니다.

스톡스 쓸 때 어느 부분이 안되엇을까요?

단국대 2018기출인데 처음보는 문제라 다른 강사분 해설 들었는데, 감마함수라네요..

수업 때 감마함수 못 들어봤던 것 같은데.. 혹시 어느파트에 이 내용 나올까요??

적분학1 교재 57p 내용인데요.

짜투리 공식같은 내용이지만

증명과정을 굉장히 복잡하기 당시 수업은 하지 않고 다른 기출풀이 강의에서

단순 공식으로 설명한 내용이에요. 

해설보면 알겠지만 위 식에서 인테그랄 x^n*e^-x 에서 이 값은 n! 입니다. 

이 문제 답은 5!이죠.

예전에 직교사영하고 정사영하고 다른거 아니냐라고 질문한 적 있었는데 교수님은 직교사영=정사영이라고 말씀해주셨는데요

기출풀이영상에서는 직교사영과 정사영을 서로 전혀 같지 않게 보고 해설하고 있어서 모르겠습니다. 

헉, 제가 말 실수를 했나바요.

직교사영은 정사영입니다.

풀이는 아래 적어두었습니다. 

구면좌표계 중심이 원점이 아니면 쓰기 힘들어지는데요.

특히 로값을 잡는게 포인트입니다.

물론 제 입장에서 이 문제를 맞추면 좋습니다.

크게 어렵지는 않아요.

아래 풀이가 이해되신다면 다음부터 이해하고 풀면 됩니다.

하지만!

지금 시험이 코 앞인 시점에서, 만약 해설의 풀이와 제 풀이까지 보고 단번에 이해하지 못 했다면 

냉정하게 실전에서 그 문제는 넘겨야 합니다. 

이런 문제가 자주 나오지도 않고 나온다 하더라도 분명 변형되서 못 풀게 뻔해요.

이건 자책할 필요가 없고 대부분의 수험생이 그래요.

제가 늘 말한대로 합격생들이 어려운 문제를 맞추고 붙는게 절대 아니에요. 

우리가 자주 보는 문제들을 실수 없이 풀고 

어려운 문제는 맞추면 좋고 틀려도 본전이란 마인드로 풀어서 붙죠.

유형 1번 문제

p가 -2 q가 2인 것까지 이해했습니다

그 이후 결론이 이해가 안 됩니다

직전까지 -2.2 좌표를 설명하시다가 왜 0.0이 안장점이 아니라고 하신 건가요?

이해한 것

P=-2, q=2

-2.2좌표는 4q=p제곱 계산으로 안정한 나선점인 것

0,0 일 때 P=-2 , Q=2 인데요. 

4Q=P^2 보다 위에 있고

P 음수 Q 양수니 안정나선입니다. 

안장점이 되려면 Q 값이 음수여야 합니다.

안녕하세요 선생님! 다름이 아니라 22년도 경희대 23번 문제중

ㄴ번 보기: 세개의 벡터가 일차종속이면 그중 한 벡터는 나머지 두 벡터의 일차결합이다. 이 보기가 참이라고 하는데요, 만약에 1행이 123 이고 2행이 246 이고 3행이 369 이면 1차원이여서 틀린 보기가 되지 않나요?? 만약에 3X3이고 

rank가 2(2차원)이면 이해가 되는데 다른 경우에는 아니지 않나요?

123

234

369 

이면 랭크를 하면 결국 123 벡터 나머지 0 0 0 벡터 두개가 있다고 보는건데

나머지 

234

369 

은 123 실수배와 000의 실수배로 표현이 가능합니다. 그러니 맞는 보기 되겠습니다.

1차원이라도 해도 나머지 000도 벡터입니다.

교수님 제가 19성대 44번 질문한 내용에서 제가 풀이한 식에서는 부피식이 아니라 넓이식인데 왜 부피식이라고 말씀하신건가요?

미적분학2 17강인 곡면의 면적이라는 강의에서 분명히

아래 사진에 나와있는 것처럼 저 문제를 해설해주시다가 저렇게 말씀해주셔서 그대로 필기했는데 앞 질문인 19성대44번의 답변을 보고서는 앞 뒤가 안맞는 느낌입니다..

그러면 저렇게 말씀하신 이유가 뭔가요?

dxdydz=rdrd세타dz=로^2sin퐈이d로d세타d퐈이

에서 직교좌표계는 여기서 dz를 빼면 dxdy가 겉넓이

극좌표에서는 dz를 빼면 rdrd세타는 겉넓이

구면좌표계에서는 d로를 지우면 로^2sin퐈이d세타d퐈이로 겉넓이가 되고 이때 로는 반지름으로 고정값이니까 R이고 이 식으로 구의 겉면적을 구할 수 있다라고 말씀해주셨는데

그러면 위에 적은 dxdy가 겉넓이 rdrd세타도 겉넓이 <-- 이 내용들은 뭔가요? 

아까 교수님의 답변보고 얼추 예상이 되는 점이 

넓이식이 인테그랄 루트(fx^2+fy^2+1) dxdy에서 이때 dxdy를 말씀하신건가요? 이걸 말씀하신게 아니라면 정말로 모르겠습니다.

일단 ds를 그냥 dxdy=rdθdr 로 바꿨기 때문에 높이를 구했다고 생각했구요. 

ds=root(1+fx^2+fy^2)dxdy=root(1+fx^2+fy^2)rdθdr로 바꿔야만 겉넓이입니다.

본인이 구하려고 한 값이 넓이를 의도하고 구했다면, 

면적 r과 θ가 변수이고 각 0~1, 0~2pi 까지인 원 영역안에 

밀도 z를 곱 한값이니 반지름 1인 원의 무게를 구한 것입니다.

하지만 문제에서는 비스듬히 짤린 면의 겉넓이에다 밀도 z를 곱한 무게를 물어본 것이죠.  

그리고 지금 써준 내용은 구면좌표계 내용인데 이 문제에는 구면좌표계와 정확히 비교할 상황이 아닙니다. 

변수 r도 없고, 파이도 없습니다.

이 문제는 단수히 ds=root(1+fx^2+fy^2)dxdy 공식에서 dxdy를 r,θ 주면 좌표계(구면좌표계X)로 바꿔서 결국 

ds=root(1+fx^2+fy^2)dxdy=root(1+fx^2+fy^2)rdθdr 입니다.

맞게 해준 것 같은데 왜 답이 안나올까요 교수님

해설지보니까 오히려 더 모르겠어서 질문드렸습니다.

부피를 구하는 게 아니고 겉넓이를 구하는 문제입니다.

dV가 아닌 dS라고 표현되어있죠?

물론 문제에서 부피가 아닌 겉넓이라고 정확히 표현했다면 좋았지만, 편입시험에서는 적당히 유두리있게 알아서 해석해야합니다.

ds=root(1+fx^2+fy^2)dxy 이고 root(1+fx^2+fy^2)=root2입니다.

답변해주신거 풀이해주신거 곰곰히 생각해봤는데...

제가 사진 속에서 질문했듯이 T(X)=AX의 꼴이 아니라는 것을 도대체 '무엇'을 보고 아니다라는 것을 판단하셨나요 교수님.

그냥, 문제에서 T(A)=MA 에서 

T=M이니까 M의 트레이스는 T의 트레이스와 같으니까 바로 M의 트레이스값을 구했는데 선지에 답이 안나와서 

아 이때 T(A)=MA에서 T=M이 아니구나라는 시행착오를 겪어서 알게되었는데 이렇게 알아차리는 건가요??

선형대수 수업 중에 벡터(1,2,3,4) 대신에  점이 아니라 

행렬 2x2

1 2

3 4

혹은 다항식 1+2x+3x^2+4x^3 을 쓰기도 했다는 수업을 했는데요.

다만 성대 문제처럼 이렇게 대놓고 표현된 문제는 처음이었습니다.

선형대수 표현법은 항상 새로운 표현이 나옵니다. 그래서 과거에 배운 이해를 바탕으로 넓게 해석해야합니다. 

수험생 입장에서 본다면 

T=M 이 바로 답이 나온다는 것에 의심을 했어야 했고,

주어진 조건에 행렬 2X2라는 표현이 괜히 있는게 아니고 2X2 가

점 4개를

a b

c d

로 표현하는 것이라고 눈치를 채야 했습니다. 

그래서 제가 인테그랄 1부터 e까지 1/x(lnx)^2 도 수렴 아니냐고 교수님께 여쭤봤었던 이유입니다.

저도 교수님의 피드백을 받아서 무한급수를 풀 때는 1/x를 기준으로 풀고있습니다. 물론 수업시간에서도 매우 강조를 해주셨었어요.

하지만 그럼에도 여쭤봤던 이유는 제가 수업에서 배운 내용과 뭔가 딜레마가 있는 것 같아서 질문드렸습니다.

당연히 x=1이면 분모가 0이라서 분수자체가 정의가 되지 않기에 그래프로도 그려보면 x=1일 때 무한대가 됩니다.

그러면 당연히 인테그랄 1부터 e까지 1/x(lnx)^2 값은 발산이겠지요.

그런데 위에 사진 속에서 제가 수업시간에 필기를 해놨듯이

저기에서도 x=1부터 무한대까지 더했을 때 1/x(lnx)^2 값이 수렴이라고 배웠습니다.

어쨌든 이 식에서도 x=1을 집어넣으면 무한대가 되버리는데  x=1부터 무한대까지 더했을 때 1/x(lnx)^2 값도 그러면 발산되어야 하는거아닌가요? 제가 이 부분에 대해서 딜레마가 와서 질문드렸었습니다 교수님..

분모 lnx 있을 때,

x=1 부터는 발산이고 x=2부터 해야 수렴입니다.

교재에도 x=2부터 되있을텐데

지금 물어본 성대 문제를 제외하고 x=1 x=2 가지고 장난친적이 없어서 수업 중에 x=1과 x=2를 강조하지는 않았습니다. 

혹시 제가 판서로나 말로서 x=1이라고 했다면 정정해야겠습니다.