외우지 않은 lnx 급수라 직접 유도해야하기에 당황할만한 문제입니다.

안녕하세요 교수님!

다름이 아니라 성대 기출 풀이강의에서 

M*n 행렬 A에서 A의 계수가 A의 각 영이 아닌 고윳값의 대수적 중복도의 합과 같다라고 했던것이

틀린 진술이라고 배웠습니다. 다름이 아니라, 이게 틀린 이유가 직관적으로 이해가 안되는데 혹시 

다시 한번 설명해주실 수 있는지 궁금합니다!

대수적 중복도라는 것은 간단히 설명하면

고유치 값의 중복된 갯수입니다.

예를들어, 

1 0 0

0 0 1

0 0 0 

인 행렬은 고유치 1, 0, 0 이고 여기서 1은 1중복, 0은 2 중복이 되겠습니다.

여기서 이 행렬의 계수는 2이죠. 계수 2와 1의 중복도의 합 1은 다르겠습니다. 

폐곡면일 때 주어진 함수가 포텐셜 함수면 값은 0 이 되어야 합니다.

그린정리 식 자체가 포텐셜 함수를 표현하고 있어 자연스럽게 0 이 됩니다. 

단, 이럴때 주어진 피적분함수가 해석적이어야 합니다. 

단순히 말하자면 원점을 지나는 상황인데 분모에 원점(0,0)을 집어넣지 못합니다. 

그래서 이 경우는 경로 변경을 하거나 해서 구합니다.

자세한 내용은 교재p450 하단에 있습니다.

하지만 만약 원점을 지나지 않는다면 그린정리에 의해 포텐셜함수는 0 이 됩니다. 

이와 관련된 아주 좋은 기출이 2020 이화여대 14번이 있으니 한번 참고해보세요.

안녕하세요. 

이번에 미적분학2 까지 진도를 끝내면서 기출문제를 한번 풀어봤습니다.

선생님께서 해주신 답변 중에 처음 푸는 기출문제는 오픈북처럼 지금까지 풀었던 문제와 비교하면서 푸는 방법도 좋다고하셔서 책을 참고하면서 풀었습니다.

그런데 책을 참고해서 풀었는데도 모르는 문제가 너무 많아요. 기출문제는 마치 1+1=? 같은 수학 문제가 다른 언어, 다른 단어로 풀어써져있는느낌..? 문제의 뜻도 모르겠는게 많아요. 너무 많은거같아서 질문에 다 올리기도 좀 그런거같고..

그래서 선생님께서 강의에서 풀어주신 문제들을 다시 한번 다 풀어보려고 하는데 이렇게하면 여기에 할당되는 시간이 많아질것같아서 시간이 얼마 안남았는데 이렇게 해도되나 싶어서요.. 

그냥 기출문제를 풀면서 모르는거 질문하는게 좀 더 나은지, 아니면 강의에서 풀어주신 교재 문제 + 기출문제 조금씩, 푸는게 좀 더 나을거같은지 궁금합니다.

어떤 방법이 효율적이라고 보시나요?

대학수학을 베이스로 한 편입시험 문제는 정말 범위가 넓습니다.

거기다가 학교마다 출제 스타일도 다르고..

어떤 학교(건대)는 고등 기벡을 물어보기도

어떤 학교(중앙대)는 배우지도 않은 복소함수를 물어보기도

어떤 학교(이대)는 통계를 내기도

어떤 학교(한양대)는 분명 배운 건데 정말 복잡하게 꼬아논 것도.

아무튼 결론적으로 기출풀이가 너무 힘들면

본인이 목표하는 최소3개 대학 기출을 5개년 '암기'하디시피 푸는게 최선입니다.

이해가 안되면 질문을 하고 그래도 이해가 안되면 풀이법 자체를 외우는 수밖에 없겠습니다.

강의는 이제 그만보시고 기출을 풀고, 기출을 풀다가 "어, 이거 그 강의에서 들었던 거 같은데?" 라고 생각한 부분만 다시 보면 됩니다. 무조건 기출우선입니다.

질문은 많아도 하세요. 질문 중에 이건 나올 가능성도 적고 비효율적인 문제도 말해줄게요.

뭘 보고 이게 면적분이구나 판단할 수 있나요?

단순히 그냥 dS가 면적이고 이 사이에 x+y+z^2이 높이라고 생각이 드니까 부피구하는줄 알았는데 아니여서요 교수님

사실 문제가 친전하게 좀 더 설명해줘야하는데..편입문제니 그러려니 하고 풀면..

일단 dS란 표현을 보통 겉면적 뭍어볼 때 많이 씁니다.

부피 구할 때 밑면적은 dA로 하죠.

그래서 단순하게 dS라고 표현해서 면적분을 해야겠습니다.

현강에서 하는 중인데 빠른 영상 업로드하겠습니다! ㅠ

20분동안 해봤는데 연립이 쉽사리 해결되지 않는데 어떻게 풀어서 해야될까요 교수님

좀 빡치네요. A구했고 a=A-1 이고 B=(-1-3A)/4입니다.

이렇게만 풀어야 되나요 교수님

제대로 풀려면 풀이대로 하는 수 밖에 없겠는데요. 하지만 시험장에선 그렇게 당연 풀 수 없구요.

지금은 생소한 표현일수 있지만, 기출 여러번 풀다보면

F=(-y/x^2+y^2, x/x^2+y^2) 일 때, 그린정리는 자주 나오는 문제 형태입니다.

확실한건 F=(-y/x^2+y^2, x/x^2+y^2), 즉 이 문제에서 k=1 일 때 주어진 곡선이 원점을 지나지 않으면 0 이기 때문에 

k=1 이라고 체크하고 넘기는게 최선 같습니다.

중요한건 구에서 음수가 아닌 부분이면 반구죠.

말 그대로 구에서 반 자른 겁니다. 자르면 당연히 밑면이 존재하지 않죠.

조건에서 z=0 혹은 xy평면이라는 말을 넣어주지 않으면 면이 있다고 생각하면 안되겠습니다.

경우의 수를 줄이기 위해 그냥 두번쨰 풀이를 하는게 좋습니다!

증명 어디를 보면 있나요?
왜 되는지 이해가 안되네요

행렬이라는게 단순 계산 메커니즘이기 때문에 별다른 의미가 있는게 아닙니다.

증명도 그냥 단순 해보면 됩니다!

이 문제도 기출풀이영상에서는 풀지마라고 하셨는데 일단 풀어보고는 싶어서 말씀드렸습니다.

원래 이런 특이한 적분은 그냥 외우지 않으면 못 풉니다.

시험장에서 사고해서 푸는 건 사실 불가능합니다.

x=t, y=t 대입하고 아래(해설과 다르진 않습니다. ㅠ)처럼 cosw^2은 그냥 적분하기 힘드니 적분순서 바꿔서 풉니다.

총 두 개의 질문이 있습니다.

하나는,

두번째는,

일단 설명했다시피, 이 문제는 식 자체로만 단순히 보고 풀면 안되고 기하를 고려해서 풀어야합니다. 

하지만 3차원이라 캐치하기 힘들기 때문에 수험생은 귀찮더라도 라그랑지를 하는게 맞는 선택입니다.

기본 모양이 원이 아닌 구이기 때문에 제곱 제곱이 있다고 해서 무조건 적으로 cost, sint 로 두면 원칙적으로 안됩니다. 

1. 일단 x=-y 라고 판단한 순간 z=0 으로 판단해야합니다. z^2 이 최솟값이 되기 위해서 z=0을 선택해야하니까요.  

2x^2+z^2=1 을 보고 x=1/root2*cost, z=sint 로 하는 거 맞습니다. 하지만 답이 나오지 않았습니다.

앞에서 말했다시피 이 문제는 애초부터 기하해석이 우선 필요하고 z=0 이기 때문이니까요. 

2. z=0 이라고 가정하면, 주어진 식은 x^2+y^2=1이 되니 원으로 판단할 수 있습니다. 그러면 원위의 좌표 x=cost, y=sint 이고 우어진 f=-sint*cost=-1/2sint2t 이니 최솟값이 -1/2 이 되는 것입니다.

-x^2=-1/2 로 푸나 원위의 좌표로 푸나 값은 같습니다. 

xy=cost*sint 에서 t=pi/2+pi/4 가 되면 

x=1/root2, y=-1/root2 가 되고 x=-y 관계가 만들어집니다.

dx/ds를 구하는거니깐 dt무시하는건가요

정확히는 라운드x/라운드s

라운드 -> 편미분 -> t는 상수취급!

라그랑지안쓰고도 답을 구할 수 있는 방법을 첫번째는 대칭성을 이용해서 구하기와 두번째는 x^2,y^2이 있다면 

그 x=cost로 y=sint로 해서 구하기 이 두 가지였는데

이렇게 풀었는데도 답이 안나오는 이유가 뭔지가 궁금합니다.

근데 라그랑지로도 풀어봤는데 답이 바로는 안나오더라구요.

배운대로 잘 풀었구요. 

x=y로 풀면 최대값은 1이 정확히 나오지만, 최솟값이 1/2 이 되고보기에 최소값은 1/2이 없죠?

이처럼 아쉽게도 몇몇 예외의 경우가 있습니다. ex) 극점이 내부에 있는 경우 혹은 x=y가 아닌 x=-y인 경우..

일단 제 풀이로 해서 보기엔 없으면 라그랑지로 해야합니다.

출제자가 라그랑지를 기반으로 문제를 내는건 사실이니까요.

다만 제가 강조한 x=y 풀이는, 라그랑지의 복잡함을 덜고자 주어진 조건의 기하적인 특성을 이용해서 구한 방법입니다.

하지만 대부분 수험생이 주어진 식을 그래프로 형상화하는게 힘들기 때문에

x=y 같아도 식이 같다면 x=y 같다고 두라고 꼼수를 알려줬습니다. 

하지만, 조건이 까다로워지면(특히 z까지 있다면) 사실 고려할 부분은 조금 더 있습니다.

이 문제 경우 x=-y 상황까지 고려해야합니다. 

이유는 일단 주어진 조건은 반지름 1인 구입니다.

z^2 은 항상 0이상이니 최소값은 당연히 0 을 주는게 합리적이고

z=0 을 가정한다면 반지름 1짜리 구와 그 위에 xy 최소값은 찾아야합니다.

반지름 1짜리 구 x=cost , y=sint 이니 xy=costsint =1/2sin2t 라 최소값은 -1/2이 가능합니다.