스킵한 건 아니고 시스템 오류상 빠져서 재촬영해서 올렸습니다.

좌표변환, 좌표변환2 여기입니다!

안녕하세요 선생님 

어제 질문했던 2018학년 증앙대 기출 12번 문제 해설엔 선생님 말씀하신대로 급수풀이가 아닌

유리함수 분해로 해설이 되어있습니다. 혹시 급수풀이로 풀어주실 수 있나요?

그리고 2022년도 중앙대 해설은 좀 더 기다릴까요?

감사합니다.

에고, 주어진 식은 상수가 없어서 온전히 1/1-x=1+x+..를 쓸순 없고 저런식으로 인수분해해서 1-D 하나 챙길 수 있겠습니다.

0~3사이를 적분하는건데

구간을 나눠서 보면 그래프상으로 보면 -∞ + ∞이거든요?
근데 절댓값을 씌워서 계산해보면 (0~1)∞-(1~3)∞으로 됩니다

왜그런건가요

(1~3)무한대를 표현이 무슨 표현일까요?

일단 x=1 에서 정적분이 불가능합니다.

중간에 0 ~ 1- , 1+~3 구분해서 계산해야합니다. 

절대값을 안씌우면 -무한대 + 무한대 

절대값을 씌우면 당연히 절대값은 음수를 양수로 바꾸니 무한대+무한대

그런데 이러니저러니 적분값이 발산하는건 마찬가지입니다.

범위가[0, 2파이]까지 정적분 할 때 f함수가 우함수 일 때 0이 나오고 기함수 일 때는 0이 안 나오는 데 이유가 뭔가요

[-a, a]적분할 때 기함수가  0이 나오고 우함수는 2S인 것은 알고 있습니다. 

중적분 할 때 0이 나오는 경우를 판별 하는 방법을 잘 모르겠습니다.

우함수 기함수 적분이 0인이 아닌지 -a와 a부 구간만 판단할 수 있습니다.

우함수가 0~2pi 적분시 0 이 나오고 기함수가 0이 안나오는 건 

기함수 우함수라서 그런 것이 아니라 sinx, cosx에 따른 특징입니다.

주어진 식을 봐야 정확히 설명할 수 있을 거 같습니다.

안녕하세요 선생님!

다름이 아니라 학습 방법 관련해서 질문 드렸었는데요,,,, 

지망하는 학교 말하면 세부적인 팁 주신다고 하셔서 질문 한번 더 드립니다.

지망하는 학교는 서강대학교,성균관대학교,한양대학교,중앙대학교, 경희대학교 입니다.

제가 그 밑의 라인 대학교를 다니고 있어서 이 밑으로 지망하지는 않을거 같습니다.

각 학교별로 학습 방법이랑 영어 포함해서 몇 문제 정도 맞추면 합격이 가능한지 궁금합니다.

그리고 시립대학교는 이번에 새로 편입 시험을 수학,영어를 본다고 하는데 어느정도 수준으로 준비하면 

대비가 될지 궁금합니다.

또한 외대 같은 경우는 고등학교 수업 범위가 들어가는데, 제가 지금 군대를 갔다오고  많이 까먹어서 고등학교 수학이 익숙하지 않은데 지금 시점에서 준비하는게 현실성이 떨어지는지 궁금합니다.

1. 서성한 

서성한은 다 잘해야합니다. 

많은 학생들이 어려워하는 다변수 미적분, 선형대수 공간, 공업수학까지 잘해야합니다.

하지만 알디시피 중적분과 공업수학은 어려워지면 계산이 길어져 풀기 힘들어지기 때문에 

시간소모가 적으면서 맞출 수 있는 선적분과 선형사상을 포인트를 잡아야합니다.

기기출 난이도 기준 70-80점까지 받을 수 있까지 점수를 끌어오면 되겠고, 실제 컷도 영어 평균정도 받았다는 전제하에 70-80 생각하면 되겠습니다.

물론 추가합격까지 생각하면 그 이하도 생각해볼 수 있지만 안전하게 70-80 생각하면 되겠습니다.

PS: 작년에 한양대와 성대가 날짜 겹쳤는데, 본인이 영어를 잘하시면 한양대 그게 아니면 성대를 추천하고 싶습니다.

한양대가 1차컷이 다른 학교처럼 수학가점 없이 영어50수학50이라 영어 잘하는 학생이 확실히 유리하거든요.

물론 더 중요한 건 과 TO구요.

2. 중앙대

중앙대는 알다시피 다른 학교랑 많이 크게 다르구요. 

가장 어렵고 지저분한 문제가 출제됩니다. 한 문제당 최소 3-5분이상 걸리는 문제이기 때문에 푸는 문제를 확실히 풀고 

대략 17~20개 사이? 나머지는 잘 찍는 수 밖에 없습니다. 

복소함수를 공부하는 것은 추천하지 않고 복소함수를 뺀 나머지 파트를 더 맞추고 복소함수를 찍는 걸 추천합니다.

3. 경희대

토익이 필요하지만 다행히 난이도 자체가 높지 않습니다.

파트별 무난무난한 문제들이 나오니, 전체적으로 잘 정리하면 합격할 수 있습니다.

수학 기본기 좋은 친구들이 짧게 준비해서 가장 많이 붙는 학교가 경희대입니다.

4. 외대

고등수학을 지금 준비하는 건 무리가 있습니다. 외대 기출에서 너무 고등수학에 기대는 문제들은 제외하고 정리해야겠습니다.

기출을 최소 5년 풀면 감이 생길겁니다!

용어가 참 어렵네요..

많습니다. 원점을 지나면 제차  

안지나면 비제차.

사실상 선형대수 공간은 원점을 지나는 기준으로하니 보통 비제차 풀이가 많습니다.

용어는....차라리 영어 그대로 쓰는게 좋은데 저도 왜 저렇게 번역하고 계속 쓰는지 모르겠어요 ㅠ

제가 알기로는 전미분 공식에 dz= fxdx+fydy에 dt를 양변에 나눈 것이 전도함수라고 이해했습니다.

d를 쓰는 것은 사실 그게 1변수 이기 때문에 쓸 수 있다고 들었습니다.

그런데 이 문제에서는 사실 제가 자연스럽게 연산을 하기는 하지만 V=1/3 *파이*r^2* h 아닙니까?

변수가 2개인데 어떻게 전도함수로 해석할 수 있는지 궁금합니다!

이 문제는 괜히 편도함수에 있어서 헷갈리는 문제인데요. 

편도함수 문제로 생각하지말고 

미분학1에서 배운 미분하고 흔적d를 남기는 풀이로 생각하면 좋겠습니다. 

디테일하게 설명하면 오차라는 값의 특수성 때문에 그렇습니다. 단순히 v r h의 관계를 물어본 문제가 아니기에요. 

a를 실수, f(x,y)= sinxy+y라 하자. 3차원 공간에서 곡면 z = f(x,y)를 평면 ax+y-1=0으로 잘랐을때 점(0,1,1)에서 

f의 변화율이 가장 크게 되는 a의 값은?

이 문제에서 곡면을 평면으로 잘랐을때 변화율이 가장 큰 방향은 평면의 기울기 방향(z=0)임을 이용하라.

라고 적혀있는데 이 부분이 잘 이해가 되지 않습니다.

제가 이해한바로는 두 곡면이 만나고 선이 생기는데 0,1,1이라는 점이 그 교선의 점이니까 그 점에서 두 함수의 

경도가 같다고 놓으면 된다고 생각했는데 , 제가 잘못 이해한것 같습니다. f의 변화율이 가장크다는것은 그래디언트의 방향이라고 이해했었는데 혹시 이 문제를 어떻게 이해하면 좋을까요?

다소 물리적인 문제입니다.

솔직히 일반 수험생이 풀기에 좀 과한 문제 같습니다.

결론적으로 곡면을 주어진 평면이 수직으로 지나가야합니다.

그 상황이 잘랐을 때 가장 크게 되는 값입니다.

단순하게 비유하면 어떤 면을 칼로 자를 때 수직으로 자르죠?

그러면 두 그레디언의 내적값은 같은게 아니라 0 이 되어야 합니다.

sinxy+y-z=0 

의 그레디언은(1,1,-1) 이죠

주어진 평방 ax+y-1=0 의 그레디언은 (a,1,0)

내적시 0이 되려면 a=-1이되겠습니다. 

안녕하세요 선생님!

다름이 아니라, 방향 도함수 관련하여 질문이 있습니다. 분명히 방향 도함수는 이차원 곡면의 접선백터로써 함수가 음함수 일때 z까지 고려해야 한다고 하셨습니다. 만약 양함수로 구하게 되면 접선백터라고 이해했습니다.

그런데, 181페이지 2변수 함수의 방향도함수의 정의부분에서(cos,sin이용하는거) 그래디언트를 x와 y에 대해서만 구했습니다. 

마찬가지로 182페이지의 기출유형 1번 f(x,y,z) =x^3-y^2+xyz^2에 대하여 (1,-1,2) 에서의 경사도는?  이 문제는 3변수 함수의 그래디언트를 구하는거 아닌가요? 독립변수가 3개이면 곡면이 아니라 공간이 되는거 아닌가요? 책에도 3변수 함수의 경사도 구하기라고 적혀있고요....

또 아래 유형학습 1번 2변수 함수 f(x,y)=x^2+y^2일때, 점(1,2)에서의 f(x,y)의 기울기를 구하면?이라는 문제에서 

제가 알기로는 음함수로 표현해서 그래디언트를 구해야 하는데 그냥 그대로 편미분 x, 편미분 y를 구하고 (1,2)를 단위벡터 구해서 내적을 하면서 풀었던것으로 기억합니다.

정리하자면, 2변수함수의 그래디언트는 음함수로 표현이 되어서 z를 포함해 좌표가 3개가 나와야 하는데 2개인게 궁금하고 , f(x,y,z)= xyz 같은것은 3변수인지 2변수인지(곡면인지 공간인지)가 궁금합니다.

또한 방향도함수의 좌표가 2개일때 제가 알기로는 그래디언트가 좌표가 3개여야 하는데 2개로 설정하고 구하는지 모르겠습니다..

제가 설명한 기준은 3차원 공간에서 2차원 곡면 z=x+y 같은 상황을 가정한 것이고

보다시피 물어본 f(x,y,z)=xyz 이런것들은 3변수인 4차원입니다. w=xyz 이런 것이죠.

182 유형1번 이 경우도, 문제에서는 3차원공간은 전제로 하지 않고 물어봤끼에 fx,fy까지만 그레디언으로 물어봤습니다.

2~4차원을 넘나들면서 표현하기에 기하학적으로 이해하기 굉장히 힘들기 때문에 

너무 이부분에서는 디테일하기 이해하지말고 표면적으로 구하라는 것 구하는게 좋습니다.

적어도 k를 넣고 뺴고해서 혼동주는 문제는 없을겁니다.

안녕하세요 선생님 위에 나온 문제는 중앙대학교 2018년도 12번 문제입니다

특수해 구하는 과정에서 세제곱이 나와서 그런데 혹시 유리함수처럼 분해해서 풀어야되는 건가요? 아니면 다른 공식 같은게 있나요?

미분연산자 3차 표현을 말하는거죠? 3차는 좀 생소하긴 한데

지수야.

1/(D^3-D^2) * 3e^x 에서 분모의 D^3-D^2=D^2(D-1) 로 인수분해가 되고 

알다시피 0 이 되는 항을 뒤로 보내면 

1/D^2*3e^x*1/D = 3e^x*x가 됩니다!

지수는 기본 미분연산자풀이랑 똑같이 풀면됩니다. 

이걸 물어본게 아닌거 같고 -2와 같은 다항식을 말하는 것이지요?...

2차는 공식을 만들어드렸지만....3차도 억지로 만들어볼수 있지만 복잡하고 잘 안나오니 무의미한 거 같구요.

그냥 해설처럼 급수형태로 푸는 수 밖에 없습니다.

유리함수처럼 분해해서 풀어도 되는데 분해하고도 어차피 다시 또 공식을 쓰면 그것 역시 시간이 많이 걸리고 

실수도 할 수 있기에 그냥 분해하지말고 첨부터 급수로 풀는게 좋습니다.  

문제 지문에 '생성' 이라는 글을 보고 저는 1차결합으로 문제에 접근해 보았습니다.

그리고 C1과 C2라는 미지수를 처리하려고 그냥 1을 대입해 보았습니다.

결과 선택지 4번을 제외하고 전부 내적 값이 0이 나왔습니다.

우연의 일치인가 싶어 C1과 C2에 아무값이나 넣어봤습니다.   예(C1에 1 , C2에 0)

그러나 결과는 같았습니다.

이게 왜 이렇게 되는 건지 궁금합니다.

그리고 이렇게 풀어도 맞는 풀이 인지도 궁금합니다.

(참고로 마지막에 내적계산시 숫자가 -10이 있는데 -3을 실수로 잘못적은것입니다)

잘했어요! 다만 왜 그렇게 되는지 이해할 필요가 있겠죠?

문제는 u와 v로 만들어진 공간W가 직교, 즉 내적시 0인 값을 찾으면 됩니다.

당연히 u와 v 그 자체도 W 위에 있고 u,v로 1차결합한 것도 W 위에 있으니 당연히 내적이 0이 보기 답은 모두 내적0이 됩니다.

반구와 y=x^2은 다릅니다.

아래처럼 원을 이용해서 풀어야합니다.

가장 최선은 문제를 어느정도 파악하고 그래프를 그리던 집어넣던해서 찍는 것이구..

그게 아니면 적어도 보기 숫자를 보고 그럴듯(?)해보이는 숫자를 찍는게 좋겠습니다.

아시다시피 편입시험 보기는 정말 그럴듯(?)해보이는 보기가 있습니다. 이건 평소 찍으면서 감을 키우는 수 밖에 없습니다.

그게 아니라면 그냥 한번호로 미는게 최선입니다. 

수능처럼 답 숫자 균등히 배분하지 않은 경우가 많고 

무엇보다 본인이 푼 문제가 다 맞는 경우를 해야하기 때문에 편입시험에서는 그렇게 좋은 방법은 아닌 거 같습니다.

추가적으로, 중적분에서 치환하는 문제들은 다 야코비안으로 간주해서 야코비안행렬식붙여줘서 계산해주면 될까요 교수님?

극좌표 치환은 단순히 표현을 바꿔주는 이상으로 의미가 있는 치환입니다.

세타는 반시계로

무엇보다 r을 '원점 중심'으로부터 거리로 정한 표현이니까요.

그래서 x=1/2+rcos세타 표현의 r은 '원점 중심'이 아닌 '중심 (1/2,0)' 이기에 평소쓰던 극좌표 치환은 아닙니다.

물론 이것도..이렇게저렇게 추가적인 조치를 치하면 쓸 수는 있습니다만....

중적분 치환문제는 야코비안행렬식을 반드시 붙여서 보정해줘야합니다.

교수님 이해를 아무리 하려고 1시간이상동안 해봐도 잘 안돼서 그러는데

이동경로가 폐곡면 일 때 주어진 함수가 포텐셜함수면 당연히 값이 0이 되고 (처음과 끝이 동일하니까 값0)

또 그린정리식 자체가 포텐셜함수가 포함되어있기에 이때 주어진 함수가 포텐셜이면 당연히 선적분한 값은0이 되는건 맞습니다.

또 이럴 때 그린정리식이 어쨋든 이동하는 경로의 밑면적이기에 이 밑면적이 만약에 원점을 지나고 그 힘F라는 식에서 분모에 원점을 집어넣었는데 0이되면 그린정리를 쓸 수 없고 원래의 선적분식으로 쓰는 것도 잘 알고있습니다.

반대로 이동하는 경로의 밑면적이 원점을 지나지 않는다면 그린정리를 쓸 수있겠죠. 마침 거기에 포텐셜함수라면 어차피 그린정리 식값은 당연히 0이 될 수밖에 없습니다. 물론 그 그린정리 식의 밑면적에 분모에 0이 되는 점이 있어서 힘의 값들이 정의가 안된다고 하더라도 포텐셜이기에 적분경로를 새롭게 바꿔주면 됩니다.

더 할말이 많지만 이렇게 개념을 잘 이해하고 있습니다.

그런데도 교수님께서 하신 말씀이 잘 이해가 안갑니다.

너무 복잡하게 생각한 거 같군요.

건대 시험장을 가정하고, 낯선 문제는 풀지 않는 것이 원칙이고 (특히 중적분 파트) 

k=1 인 형태의 F가 원점을 지나지 않는 선적분시 0인 걸 알았기 떄문에 단순히 k=1 선택한 겁니다.

다른값은 되는지 안되는지 풀어본 적도 없고 그래서 검증하지 않은 것이구요.

확실한 건 k=1이 되는 것이니까요.