유형 50번, <직각좌표계를 극좌표계로 변경> 중 "편입실전문제" 1번

동영상강의에는 편집하다 짤렸는지 식을 변형하는 법이 안나와서요,

왜 범위를 변경하면 0에서 2분의 파이가 되는 것인지 알고싶습니다.

이 식이

이렇게 변하는 과정에 대한 설명이 동영상에 누락되어있습니다.

알려주세요!

스타적분학2 330쪽을 참고하면 자세히 나와있습니다. 그리고 거기 동영상에도 유도하는 것이 나와있으므로

스타 중적분에서 자세히 나오서 식을 유도하여 푼 것입니다.

분수꼴 미분공식을 언제 적용해야하는지 정확하게 이해하고 싶어서 질문드려요...

내용이 글로 작성하기 어려워서 사진으로 올립니다. 양해 부탁드릴께요.

꼭꼭 알고 싶습니다. 공식은 다 외웠는데 언제 적용될지 정확히 모르면 안될 것 같아서요.

지금 로피탈의 정리와 분수함수의 미분을 혼돈하고 있내요.

로피탈 정리는 극한값을 구할 때 이용합니다. 즉  앞에 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)이고요 (참고:스타 미분학63쪽)

분수함수의 도함수를 구할 때는 lim이 없고요. 그냥 f(x)/g(x) 미분은 미분공식을 이용하면 됩니다.(참고 스타미분학159쪽)

42번에서 해설지보면

밑에서 sinx가 0으로 가기때문에 x로 취급했는데

저렇게 분모만 부분적으로 x로 바꿔도 되는건가요??

(예를 들면 다른경우에 분자만, 또는 분모의 일부분이라던가요..)

11번에서는 x의 n제곱이기 때문에 x의 범위를 나누었는데

x>1 일때 해설지에서는 ax/1+x² 이렇게 돼있는데

저는 무한대로 가니까 작은차수 항들은 다 무시하고 최고차항(x의n제곱)의 계수인 a/x 라고 생각했습니다ㅠㅠ

지금 프리트를 가지고 있지 않아서 확인하여야 할 것 같습니다.

그리고 맨 처음에는 x가 영으로 갈 때 삼각함수의 극한 부분 모시면 lim_x->0 sinx/x= 1을 이용하면 sinx->x로 놓고 풀어도 됩니다. 단 곱의 형태만요.

11번은 문제가 없어서 lim_n->inf  x^n인 경우는

 x의 범위를 |x|<1 :  lim_n->inf  x^n =0

                  |x|>1 :  lim_n->inf  x^n =inf(무한대) 이므로 작은 항은 무시함면 됩니다.

스타편입수학 25쪽 참고하시기 바랍니다.

14번에 ① sinx/x 에서 분모가 0이 되는 값이 범위에 포함되면 불연속아닌가요? 무조건..그런건아닌가요

                          만약 아니라면 연속성따지기위해서 극한값이랑 함수값이 같아야 하는데

                         좌극한 우극한이 1인건알겠는데 함숫값은 어떻게 구하나요. 함숫값은 0/0이라서 그냥 0인가요?

25번에에서 f'(x)를 구하라고 했는데 f'(x)를 구하는 미분계수 공식이 2가지가 있짢아요

                 x가 a로 가는 식이랑 h가 0으로 가는식 그중 해설에서는 h가 0으로 가는식을 사용했는데

                 특별한 이유가있나요? 두가지를 사용할때 구분해서 사용해야하나요?

1)번 연속의 정의는 극한값과 함숫값이 같으면 연속입니다.

   즉 함숫값은 정의되지 않지만 극한값은 정의되므로 연속으로 정의 할 수 있습니다. 무조건 연속이 아니라 연속으로 정의 할 수 있습니다.

2) 특별한 이유가 아니라 주어진 조건에서 f(a+b)= 3f(a)f(b)를 이용하려고 그런 것입니다.

   상황에 따라 구분하여 이용하지요. 위의 문제처럼 f 내부에 항이 두개인 경우는 h가 영으로 가는 것을 이용하는 것입니다.

블록행렬로 풀어주셨는데.

C(D l E) = (F l G)

라고 하셨는데.

(CD CE) = (F l G)

이렇게 되고

(CD C) = (F l G)

이렇게 되고

근데 왜 C = G가 되는건지 이해가 안되요.

행렬의 상등에서 대응된 위치의 원소가 같다를 이용하면 됩니다.

즉 C위치에 우변의 행렬에는 G가 위치하고 있어서 상등성질에 같은 것 입니다.

13강 로그미분법/함수의극대극소 중 49페이지실전문제2번에

사진에 동그라미 친부분이 짝수제곱이여서 0보다 작을수가 없다고 하셨는데

동그라미친부분은 4루트x의 3제곱 이니깐 홀수제곱아닌가요??

짝수 제곱근을 이야기 한 것입니다.

짝수 제곱근 내부가 음수일 수 없습니다..

p.285 맨 아래에 원주각 공식을 이용하여 하는 부분에 대해

개념부분에 있어서 질문이 있습니다.

강의에서 말씀하신대로 (37강의 25분쯤) 사실은 Zcm이 아니라 Ycm이 맞는다고 말씀하셔서 이제 이해가 가게 되었습니다.

1. 그렇다면 사실상 x와 z의 질량중심이 0이 맞는 것이죠?(책에서는 Xcm=0, Ycm=0이라 되있어서 헷갈리네요..)

2. 그리고, 책에서 "왜냐하면 x,y의 질량중심은 축에 대칭이므로 z축상에 놓여있기 때문이다"라는 말도 정정해야 하는게 맞나요? ("x,z의 질량중심은 축에 대칭이므로 y축상에 놓여있기 때문이다"로 바꾸면 되나요?)

(설명을 위해 그림 참조했습니다. 제 생각엔 x,z의 질량중심이 다 0이 맞는거같아서..)

중적분에 가면 입체의 부피는 보통 z=f(x,y)로 표현합니다. 그래서 중심도 z를 종속변수로 생각해서 그런 것입니다.

회전체도 입체이므로 y축을 중심이라해도 되는데 문제에서

어떤 표현을 해주었느냐에 따라서 학교마다 서로 다른 표현으로 나오기 때문에 여러가지 방법으로 설명을 한 것 입니다. 

샘이 강의 할 때에도 표현에 따라 y_cm 도 맞고 z_cm도 맞다고 하였습니다.(대학들의 표현방법에 따라서)

 관점을 어디에  놓느야에 따라서 중심을 생각할 수 있습니다.

그래서 시험지 문제에서 y축으로 회전한 입체의 중심을(0, y_cm, 0)으로 표현하면 중심을 y_cm으로 생각하시면 되고요.

또 시험지 문제에서 y축으로 회전한 입체의 중심을(0, 0, z_cm)으로 표현하면 중심을 z_cm으로 생각하라는 의미에서 그렇게 설명을 한 것 입니다.

편입수학기초편미적분학기초

28페이지에 8번에

(sin2ㅁ)미분한것이 sin^(n-1)ㅁ x cosㅁ x ㅁ프라임      (x를 곱하기로ㅁ를네모값으로썼습니다.)

이라고써있는데 2곱해야하는거아닌가요?

(sin^n □) 프라임 = nsin^n-1  □ cos□ □프라임 입니다.

책에 오타이네요?-_-

27강에서 문제풀이 듣다가 질문드립니다.

풀이가 2가지 있는데, 그 중에서 부채꼴 넓이 이용해서 빨리 푸는 방법에 대해서 말씀하시더라구요.

그런데 이게 연대 문제에서 이렇게 푼다면 점수를 완벽히 주지 않는다고 살짝 언급하시던데 정말인가요?

두 가지 풀이 모두 오류 하나 없고 논리적으로 알맞은 방법 아닌가요?

정말 연대에서는 적분을 안쓰고 넓이를 이용해 이렇게 풀면 점수를 다 주지 않나요?

그렇다면 그 이유는 무엇인가요?

연대에서는 풀이 과정을 원하기 때문에 대학 방식을 원합니다.

그래서 고등학교 배운 방법보다 정적분의 방법을 원하기 때문에 정적분으로 풀어야 점수를 완벽하게 받을 수 있습니다. 

특히 연대에서는 풀이 방법을 제시하는 경우가 있습니다. 다른 방법은 점수를 주지 않는다고 제시하는 경우가 가끔 있으므로 완벽하게 합격하기 위해서는 대학방식으로 풀이를 하는 것 이 좋습니다.

치환하고 정리한것까진 이해가 되는데요.

별표해주시고

완전제곱하고

d(t + 4/5) 이건 왜한건가요?

그리구 3/5는 아크탄젠트 앞에 왜 곱하는거고 어떤 공식이 적용된지 이해야 안되요.

미분정의에 의해서 d(t+4/5)= dt이므로 붙이지 않아도 됩니다. 

역삼각함수 공식을 암기하지 않아서 그래요. 모든것을 유도할 수 없으므로 대표적 공식은 암기하세요.

맨처음 부분 다시 공부하시고요. 공식은P29 2번 공식 입니다.

IMG1289.jpg

 교수님이 쓰신 다른 교재를 병행하면서 풀고있는데요!

해설을 봐도 모르겠어서 질문드립니다 ㅠㅠ

무엇을 질문 한 것이가요.

주어진 극한값을 모른 다는 것인 가요? 아님 전체를 설명해달라는 것인가요?

동영상에 있는데 여기에 다 풀이하기는 힘든데요?

가) 번만 설명하면

문제조건에서  f(0^+)=  2, 이고 f(0^-) = 3 이라는 것입니다.

따라서 x -> 0^+ 일 때 x^3 < x 이므로 f(0^-) = 3 이어서 참입니다. 다른 것도 같은 방법으로 하시면 됩니다.

치환하고 풀다 보니 다음과 같이 됩니다.

여기서 맨 아래 식의 중괄호 안 맨 좌측에 무한대 분에 무한대인 항이 나오는데,

문제의 답이 2인걸 보니 이 무한대/무한대 항이 0이 되는 것 같더라구요. 왜 그런건지 알고 싶습니다.

혹시나 시험장에 갔는데 문제를 풀다가 같은 방식으로 막히면 굉장히 당황스러울 것 같아서요.

궁금합니다!

주어진 식을 변형하면 즉 t=-x라 놓으면

lim_(t->inf) t e^t = lim_(x-> -inf ) (-x)(e^-x) =lim_(x-> -inf) -x/e^x = 0

로피탈을 이용하면 극한 값이 0이 됩니다.

185쪽 유형학습4번을 보다가요

적분의 값이 존재하지 않는다는 말이 나왔는데

발산한다는말과 같은건가요? 아님 그것과는 다른개념인가요? 

적분값이 존재하지 않는 다는 말을 발산한다는 것이라 해도 됩니다.

값이 존재하는 경우는 수렴하는 것이고요.(일정한값)

값이 존재하지 않으면 수렴하지 않은 것이므로 발산이라고도 합니다.

등식이 성립하지 않을때가 언제인가요?

 |0^+ | = | 0^- | 이 성립할 때는 부호만 다르고 크기가 다른 경우고요. 

 |0^+ | ≠ | 0^- |이 되는 경우는 부호만 다른 것이 아니라 크기도 다르기 때문입니다.

즉 좌축에서 영으로 접근하는 것과 우축에서 영으로 접근하는 것이 언제나 똑 같지 않아서 그런 것입니다.

앞에서 왜 한없이 가까워지는지를 범위로 나타내주어야 하는지 설명해주셨고

엄밀한 극한의 정의에 대하여 약속하고 받아들이자라고 하셨었던것이 기억이 납니다.

수학자들이 엄밀한 극한의 정의를 x와 y의 구간으로써 정의했는데 왜 이렇게 정의를 만들게 되었는지

추론을 한다면

함수값은 독립변수인 x에 의해 영향을 받게 되므로 x의 구간크기를 을 계속 줄여줄때, 함수값도 어떤 일정한

값에 가까워진다면 그 함수값이 수렴한다고 볼 수 있기 때문입니까?  

예 변수x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 함수의 값도 일정한 범위에서 합수값도 일정한 값에 가까워지는 것입니다.

그래서 수렴하는 것이라 보면 됩니다.