10번문제는 x=0에서 연속이고, x=0을 제외하곤 불연속인가요 ?

네, x=0 에서만 연속입니다.

(나)번 문항에서 x=0인 지점에서 미분가능한 것은 이해가 되었습니다. 하지만 왜 x=0인 지점에서만 미분가능이 아니라 모든 실수에서 미분가능인가요 ???

다항식, 지수로그, 삼각함수 <- 이런 식들은 미분가능성을 확인하지 않아도 모든 실수에서 미분가능한 것을 압니다.

마찬가지로 미분가능성이 의심되는 점에서만 확인을 해주면

(예를 들어, 가우스나 절댓값기호가 포함되던가, 함수가 두개이상으로 나뉘는 경우)

모든 실수에서 미분가능한 것을 알 수 있습니다.

109쪽 2번 문제에서 교수님이 말씀하시는 가법공식이 무엇이고 탄젠트 아크탄젠트2가 왜 2인지 모르겠습니다.

tan 의 가법공식입니다.

지금 공식을 다 칠 수 없으니, 네이버에 '삼각함수 공식' 검색하면

나오는 공식을 모두 필요하니 암기해주세요.

탄젠트와 아크탄젠트는 역함수관계로

f 와 f^-1 를 합성하면 항등함수 x 가 나옵니다.

따라서 tan(tan^-1(2)) = 2 가 나온 것입니다.

(나)번에서 분모인  2x5x8x....(3n+2)가   비 판정법에 따라   n+1인 것도 만들면  왜   2x5x8x....(3n+2)(3n+5) 처럼 하나가 더 추가되는 거죠? 그냥 2x5x8x....(3n+5) 이지 않나요? 

2x5x8x....(3n+5) 와 2x5x8x....(3n+2)(3n+5) 는 같은 것입니다.

쭉 곱하다가 3n+2 다음 3n+5 가 곱해지는 것입니다.

미분학 1

37p 유형학습 참고에 수열 an이 수렴하면 lim an = lim an+1 = α라고 쓰여 있는데 왜 그런가요?

 lim an+2 도 lim an+3도 α로 같아진다고 판단해도 되는건가요? 

네, a_n 이던 a_n+1 이던 수열의 진행은 같으므로 극한값이 존재한다면 같습니다.