건대 30번문제입니다. 이 벡터외적의 내적은 라그랑지항등식을 외워서 풀어야 하는지 궁금합니다!!

기하적으로 풀 수 있는 방법은 없을까요?

참고로 제가 볼 때 건대 출제자는 벡터문제를 편입스로운 풀이를 전제로 내지 않습니다.

대부분 해설과 강의에서는 편입스러운 풀이로 어기로 끼워맞추는데, 시험장에서 절대 할 짓이 못되죠.

수능 기하벡터처럼 아래처럼 풉니다.

그런데!! 문제는 우리가 이 문제를 풀기 위해서 수능 기벡을 다시 할 수는 없잖아요?

시험장에서는 그냥 스킵하셔야합니다.

아니면 사면체의 좌표 

A(1,1,1) B(1,0,0) C(0,1,0) D(0,0,1)을 직접 집어넣고 푸는게 최선입니다.

기하 풀이 아래 참조.

해설의 야코비안 값은 4(x^2+y^2)인데 원랜 1/4(x^2+y^2)아닌가요? 

그렇게 되면 문제지의 답과는 멀어지게 되네요..

이 문제...정말 화나는 문제에요.

보통은 x,y 를 u,v 로 치환하죠? 야코비안 값을 붙이고요.

그런데 문제를 다시 보시면 이 문제는 이미 u,v 이고 이걸 x,y 로 치환한 문제입니다.

그래서 평소와 다르게 역수를 취해야합니다.

교재 136번의 기출유형 5번에서 , 크기가 5 X 5 인 행렬 A에 대해서 다음 설명중 틀린것은?

4) A의 모든 4 X 4 소행렬의 행렬식이 0이면 A의 rank는 3이다.

5) A의 한 4 X 4 소행렬의 행렬식이 0이 아니면 A의 rank는 4이상이다.

여기서 A의 모든 4X4의 소행렬의 행렬식이 0이면 A는 rank가 언제나 3이하라고 했는데 왜 그런지 이해가 안됩니다.

만약에 5 X5 의 소행렬의 행렬식이 0이면 A의 rank는 4이하인가요?

좀 어려운 보기에요. 과한 문제다 생각해서 수업 때는 스킵을 했는데요.

소행렬식을 쉽게 말하면 행렬 안의 블록 행렬의 행렬식이죠.

5x5 이니가 4x4 이하의 4x4, 3x3, 2x2, 1x1 블록 행렬의 행렬식이 존재합니다. 

여기서 4x4의 행렬식이 0 이면 5x5 안에서 4x4 모든 묶음 행렬들의 행렬식은 0 이 나와야 합니다.

그렇게 나오려면 어떤 모양일까요?

최소 5x5 테두리 밖은 0 으로 채워져 있어야 합니다. 

0 0 0 0 0

0 1 2 3 0

0 5 6 8 0

0 5 2 9 0

0 0 0 0 0 

처럼요. 이 행렬의 랭크는 3 이죠? 하지만 

0 0 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

도 4x4 블록행렬식은 0 입니다. 그래서 3이하라고 해야합니다. 

5x5는 자기 자신이라 소행렬식이라 하지는 않지만 당연히 5x5가 행렬식이 0 이면 어딘가에 0 줄이 있고 랭크 4이합니다.

작년 11월즈음에 파이널자료들 올려주신 것 같은데 올해는 언제쯤 올라올까요..?

그리고 해설강의 업데이트는 언제쯤 될까요...?

안녕하세요. 

자료들이 늦은 점 미안해요 ㅠ

해설강의는 업데이트가 좀 늦을 거 같습니다. 

마음으로는 현강 바로 찍어서 유튭으로라도 올려주고 싶은데 해커스 인강은 검수 과정도 있어서요. 

대신에 파이날 자료(기출분석,기출예상) 자료를 공지 링크 달아서 내일 안으로 올리겠습니다!

라그랑지를 쓸 때 저 두식을 다 만족시키는 x값y값z값을 구하는 것인데 저 19아주대 45번문제의 경우에는 

x=0이면 당연히 그라디언트f=람다*그라디언트g의 식을 부정하는건데 그러면 애초에 라그랑지를 쓸 때 

그라디언트f=람다*그라디언트g 와 제약조건g(x,y,z)=0 이 두 식을 무조건 다 만족시키는 건 아닌건가요?

당연히 저는 이때까지 라그랑지를 풀 때 저 두 식에 무조건 아다리가 맞아야 그 값을 f의 x,y,z에 대입해서 최댓값 또는 최솟값을 구해왔는데 저 문제는 라그랑지를 쓸 때 두 식이 충족하는 값을 구해서 집어넣은게 아니라 

그라디언트f=람다*그라디언트g 와 제약조건g(x,y,z)=0 두 식 중 하나만 만족시켜서 f의 x,y,z에 대입해서 값을 구해서 

헷갈립니다. 

x=0 이라고 해서 그래디언f=람다*그라디언g 식이 부정되지 않습니다. 

x=0, 4x^2=y^2 이 부정되는 것입니다.

x=0 이면 그냥 y=람다y, 0=람다2y 일 뿐입니다.

여기서 y=0이 나올 뿐입니다. 

하지만 x=y=0 일순 없으니 결론적으로 x=0 이란 조건은 제외해야 합니다.

애초에 4x^2=y^2 이 나온 이유가 처음 구한 관계식에서 x와 y를 곱해서 만들어진 식인데

x=0 이면 이 식자체가 부정되기 때문이에요.

그래서 x=0 경우에는 4x^2=y^2 를 쓸 이유가 없습니다.

지금 구한 S'은 부피의 변화율이에요!

인테그랄 pix^2이 회전체 부피잖아요?!

문제에서 물의 부피가 아닌 가장 위에 있는 수면 넓이를 구하라고 했으니!

쌤께서 그래디언트 쓸때 음함수를 이용해야 한다고해서 위와같이 풀었는데, 문제의 해설에서는 양함수인채로(15-x^2-2y^2)으로 풀어서 4루트2로 답을냈더라구요. 근데 저는 z까지 고려해서 한변으로 몰아서 음함수를 만든다음에 거기서 그래디언트를 구해서 그래디언트의 크기를 구했는데, 그러면 책의 해설과 풀이가 틀려지네요... 어떻게 생각해야할까요?

음함수를 이용해야하는건 맞는데

fz=-1 까지 집어넣으면 답이 없죠?

결론적으로

이 문제는 3차원(x,y,z)이 아닌 2차원(x,y)까지의 방향 값만 요구한 것입니다.

그럼 z까지 요구하냐 안하냐는 어떻게 아냐?

일단 수험생 입장에서 z까지 한 답이 없으면 x,y만 물어보는구나 라고 판단하는게 제일 속편하구요.

다시 문장을 세세히 읽어보면 문제에서 동쪽(x),남쪽(y)만 언급하고 있으니 x,y만 신경쓰면 되겠구나 판단해야겠습니다.

결과론적인 풀이죠.

무한급수 값을 알고 싶을 떄는 그냥 집어넣어서 푸는게 젤 속편해요!

n=1 일 떄 5/6

n=2 일 때 11/24 대충 1/2

n=3 일 때 19/120 대충 1/6

이후부터는 너무 작아지니 여기까지 더해보면

대충 5/6+1/2+1/6=9/6=3/2

물론 저 문제는 그냥 펼쳐서 보기 그대로 집어넣어서 풀긴했지만

해설지에서는 지수에 무한대갔을 때 상수를 지워서 풀이 한거같은데

지수 2n+4에서 n이 무한대로 갈 때는 지수만큼은 4를 무시 못한다고 배웠는데 풀이가 이상한건가요??

해설에 지수 +4를 지웠나요?..

그러면 안됩니다. 말대로 지수는 무시하기엔 너무 큰 녀석이라... 틀린 해설 같은데요?

수열파트에서 an 이나 an+1이나 결국 극한값을 같다라는 내용을 기억할까요?

쉽게 말하면 1억번째 수열이나 1억1번째 수열이나 극한값은 크게 차이가 없는 알파값이다!

그럼 an+1=루트(2+an) 에서 n 무한대를 취급해서 

알파=루트(2+알파) 인데 알파가 2라는 것을 알 수 있겠네요.

그리고 첫항이 root2 이고 극한값이 2니까 커지니까 위로유계 판단할 수 있구요.

ㄴ도 마찬가지로 해설을 극한을 취하면 3-루트5/2가 나옵니다. 0으로 가는지 안가는지까지는 끝까지 해보지 않은 모르는거라 단순히 작아진다고 해서 0이라 판단은 못합니다.

ㄷ도 해보면 2에서 3으로 증가하니 증가는 맞지만, 같이 3으로 존재하니 수렴이라 틀린 말이구요.

ㄹ은 예를 집어넣고 푸는게 더 좋겠습니다 잘했습니다.

x로 시도해보고 안되면 y

y도 안되면 x,y를 시도하는겁니다.

막무가내로 적어서 적분인자를 구하는게 맞긴한데

그래도 착한 문제들은 보통 x에서 주겠죠. 물론 중대 문제는 아닌거 같지만요...

그래서 보통 보기를 이용하는데, 이 문제는 보기를 이용하지도 못 하게 구성했는데요.

저라면 주어진 식이 지수니까 그냥 적분인자도 지수겠지하고 몇 개 만들어서 끼어맞춰서 했을 거 같습니다.

대신 그러려면 감이 좋아야하고 경험이 많아야겠죠.

일단 이 문제가 최소제곱의 해의 오차식을 이용해서 푸는지 판단하는 건 쉽지 않았을 거 같네요..

그게 시험장이라면 더더욱...언급이라도 해주지 ㅠ

아무튼 지금 칠반에 적힌 식 자체가 가짜해 x,y와 진짜해와 오차입니다.

그리고 가짜해는 그래도 그나마 여러 가짜해중에서 최대한 오차가 적은 값일테구요.

그래서 최솟값을 의미합니다. 

21 가천대 22번 

4x제곱과 4y제곱이 같은 이유(->같은취급함) 를 모르겠습니다

z만 z^2으로 다르니 x축 회전을 위한 2차 그래프를 그릴 때

x와 z로만 그래프를 구성하고 x와 y로 표현하신 건가요?

회전체 부피 개념에 대해 웬만큼 알고 있다고 생각했는데

위의 내용이 틀린 거라면 타원에 대한 개념이 부족한 걸까요,,?

예를 들어, 구라는 식은

3차원상 x^2+y^2+z^2=1 이죠

2차평면에서 구를 만든다하면 y=root(1-x^2) 반원을 돌리면 됩니다. x2 까지해서. 

이 부분은 이해 되시죠?

y축이 z축이 되고,

x가 돌면서 원이 그려지니 x^2+y^2=1 이 생기고 구와 같은 형태 나옵니다.

가천대 문제같은 경우 구가 아니죠.

만약 이 문제가 4x^2 과 y^2  이었다면 

root(1-4x^2) 을 돌리면 4x^2+4y^2 식이 나와 y^2 다르기에 저렇게 풀기 힘들었을겁니다.

다행히 4x^2 과 같은 4y^2이라 돌려도 같은 모양이니 2pixy로 풀수 있었던 것이죠.

교수님 W가 x+2y+3z+4w=0이라고 말씀해주셨는데 

W가 왜  x+2y+3z+4w=0 인건가요?? 문제에서는 W가 x+2y+3z+4w=0 이다!라고 적힌 게 아니라  x+2y+3z+4w=0의 '해'공간이 W라고 적혀있는데 왜  x+2y+3z+4w=0의 해공간이 W가 아니라  x+2y+3z+4w=0이 W인건가요?

AX=0을 만족시키는 X값과 A와의 관계는 수직관계 아닌가요?  x+2y+3z+4w=0의 해공간이 W라고 했는데 x+2y+3z+4w=0이 W라면 사실 그러면 AX=0을 만족시키는 X값과 A와의 관계는 수직말고도 평행도 되는건가요?그것도 이상한데

W위치가 평면의 법선벡터처럼 써있는게 아니라  x+2y+3z+4w=0의 해공간이라고 했으니까 당연히 수직한거아닌가요..? W공간이 x+2y+3z+4w=0의 해공간이라고 했으니까 당연히 W 공간에 있는 벡터들도 x+2y+3z+4w=0에 수직인건 당연한거 아닌가요? 그리고 W를 법선벡터로 착각한 것이 아니라.. ax+bx+cz=0에서 평면의 법선벡터가 (a,b,c)라고 배웠듯이 

x+2y+3z+4w=0에 대한 법선벡터가 (1,2.3,4)이고 이때 법선벡터는 W공간이잖아요.

결론: 문제에서는 W가  x+2y+3z+4w=0의 '해'공간이라고 명시되어 있는데  x+2y+3z+4w=0 가 W인 이유를 모르겠습니다. 그러면  x+2y+3z+4w=0 을 W라고 적어야지 문제에서는 왜  x+2y+3z+4w=0 의 해공간을 W라고하자 라고 적은건가요?

재질문의 재질문이 많다보니 저도 답을 한방에 못 했네요. ㅠ ㅋㅋ

이제 무엇이 헷갈린지 확실히 이해되었어요.

주어진 식을

(1 2 3 4)(x y z w)^T=0 

으로 쓸 수 있죠?

이게 바로 AX=0 이고 영공간은 X 입니다

X는 (x y z w) 이고 바로 평면이 해공간이 되겠네요.

사실 물어본대로 제일 좋은 건 x+...=0 을 W라고 바로 했으면 되었죠.

그리고 일반적인 다른 문제에서 대부분 그렇게 적어놨구요. 

그래서 저도 딱히 문장에 오해될 소지 있는지까지 따져보지 않았는데 충분히 오해될만 표현 같습니다.

출제자도 그렇게까지 고민하는 수험생이 있을 거 라는 건 생각 안한 거 같습니다. 

그래도 출제자를 변론하자면

공간 x+..=0 의 영공간! 이라고 말 안하고

방정식 x+..=0 의 해공간!이라고 표현했기 때문이라고 생각해볼 수 있겠네요.

사실 영어로 줬다면 덜 헷갈렸을텐데.

이렇게 설명했는데 아마 이해가 좀 안될 수도 있단 생각이 드는데요.

결론적으로 이런 정사영 행렬 문제는 그냥 주어진 식에 정사영 구한다고 생각하면 맘편하겠습니다.