문제1번

벡터의 부분공간이요

W1+W3이 부분공간이되는건 알겟는데

가)랑, 나)가 왜 그런지 이해가 안갑니다. 예를들어주셨으면 좋겠습니다

문제 3번

나), 랑 다) 가 이해가 안갑니다.

나)는 x1 곱 x2 가 0이 된다는 말이면 둘다 0이 될 경우가 있고, x3도 0이 될 경우가 있지 않나요?

다)는 <,>이 것의 의미를 잘 모르겠는데 저는 내적이라고 생각했거든요

내적하면 2,0,0인데  0,0,0을 지나지 않게 되는거 아닌가요???

1번에서 예를 들자면, 

가) 3차원에서 두 평면공간의 교집합은 원점을 지나는 직선으로 나타나죠. 그 직선이 원점을 지나고 있으므로, 공간이 됩니다.

나) 2차원 직교평면공간에서 x축 위에 있는 벡터를 포함하는 공간을 W1이라 하고, y축 위에 있는 벡터를 포함하는 공간을 W2라고 하면 두 공간을 합집합을 하면 (1, 0), (0, 1)이라는 두 벡터가 합집합 안에 들어가 있죠. 이 두 벡터를 더하면 (1, 1)이 되는데 이 벡터는 W1, W2 어느 벡터공간 안에도 없죠. 합집합이라는 건 단지 그 두 공간 안에 있는 벡터들만 가지고 오는 것이기 때문에 합집합 안에는 (x, 0)이라는 형태의 벡터와 (0, y)의 형태를 가지는 벡터만 존재합니다. 

3번은

나)에서는 각 성분원소에 대한 정의가 내려지지 않았기 때문입니다. x가 실수라는 말이 없기 때문에 x3가 0을 포함하지 않을 수도 있습니다.

다) 에서 < >는 내적이 아니라 생성이라는 기호로 사용되기도 합니다. 그 기호 안에 있는 두 벡터가 생성하는 공간을 의미합니다.

홍창의 교수님 인강을 들으면서 22번에 대한 "특수해의 형태가 보조해와 겹치치지 않는다 " 라고

말씀을 하셨었는데 예가 없어서 확실히 이해가 가질 않았었거든요

혹시 22번에 해답지를 보시면  "특수해의 형태가 보조해와 겹쳐치지 않는다 "

라는게 무슨 말이죠?

92쪽 유형학습6번이나119쪽 30번 문제에서 해를 보면, c가 붙은 식과 붙어있지 않은 식으로 보조해와 특수해를 구별하죠.

그런데 이 문제들에서는 보조해와 특수해에 같은 형태의 식이 들어있습니다. 원래 해를 구할 때는 이렇게 구하지 않는다는 거죠.

92쪽 유형학습6번(답이 2번이네요.)에서 초기값에 따라 c가 어떤 값을 가지는지 모르지만, 하나 확실한건 초기값으로 c_2를 구하고 나면(예를 들어, c_2=4라고 합시다.) 식은 y=.....+4xe^x -xe^x+... 으로 표현하는 것이 아니라.

y=.....+3xe^x +...으로 계산해서 나타나기 때문에 보조해와 특수해는 겹치지 않는다. 라고 하는 것입니다.

92쪽 유형학습6번이나119쪽 30번 문제에서는 학생들이 이해를 돕기 위해 보조해와 특수해의 겹치는 부분을 모두 써놨다고 보면 됩니다

x,z의 범위를 잡았는데 y의 범위가 왜 x^2 < y < 1-x 인지 모르겠습니다

1-x가 아니라 1-z입니다. 문제에 오타가 있습니다.

x,y,z를 구면좌표로 바꾸는 건 알겠는데

야코비안 J 가 왜 sin∮ 가 나오는지 모르겠습니다

구면좌표로 바꿨을 때, 원래 야코비언을 ρ^2 sinΦ 라고 배웠을 것입니다.

여기에서 ρ=1이기 때문에 야코비언이 sinΦ로 나왔습니다.

절댓값x^n에서 x가 3인 경우 x=0에서의 좌극한은 -x^3 우극한은 x^3이 되는데도 미분가능인가요? 첨점아닌가요?

x=0에서 미분계수의 정의를 이용해서 좌미분계수와 우미분계수를 구해보면 0으로 같은 값을 가집니다.

sin x함수 미분할 때 x가 0으로 가면 sin없애고 x라고 생각해도 되자나요

그런데 x가 0으로 갈 때 sin(3x+2)나 sin(1/x)에서는 sin 없애면 안되나요??

x가 0으로 간다고 해서 sin 을 없앨 수 있는 것이 아닙니다.

sin안에 있는 함수의 극한값이 0으로 갈 때 없앨 수 있습니다.

미분 불가능한 곡선 중 하나로 야에서 무한대 또는 마이너스 무한대로 접근하는 수직접선이라고 나와있는데 예로 어떤 곡선인지.....

y=1/x 또는 y=lnx와 같은 곡선들은 y축과 평행하기 때문에 x=0에서 미분이 불가능하죠.

델타=min{a,b}라고 보기에 있는데

a는 k에 집어넣으셨는대요

정확하게 저 min{a,b}의미를 모르겠어요

k는 x+2에서 임의로 만들어준 상수 아닌가요?

엄밀한 의미에서 극한은 공식과 숫자의 계산이 아니라, 의미 그 자체를 알고 있어야 문제가 해결됩니다.

min{a, b}로 임의로 잡아주고 정의를 한 것이 아닙니다. 

극한의 정의는 x->a일 때, f(x)-> f(a)를 만족하는지 알아볼 때, a주변에 있는 값들이 모두  f(a) 주변에 모여있는지를 알아보는 것입니다. 주변에 있다면 임의의 반경 안에 그 값들이 다 모여있을 것이고, |f(x)-f(a)|<ε를 만족하는 반경 ε에 대하여 그 반경 반경안에 모두 들어갈 수 있는 a의 반경 δ를 잡는 것입니다. 그래서 부등식을 만족하려면 a와 주변의 값을 포함해야 하므로 반경 δ로 a의 주변값(|x-a|<δ)을 나타내고, 반경으로 식을 해석하기 때문에 반경 안에 들어가는 δ값을 찾는 방법으로 min을 이용합니다.

a3구할 때 A위에 있는 2개를 B에 차례로 옮기고 가장 밑에 하나를 C에 옮긴 뒤 B에있는 2개의 원판을 다시 C로 옮기면 a3는 5라는 더 작은 수가 나올 수 있지 않나요??

작은 원판 위에 큰 원판이 올 수 없습니다.

적분인수 구할때

x 에 대해서 구하는지 y 에 대해서 구하는지는 어떻게 빠르게 알 수가 있죠?

적분인수는 하나만 존재하는 것이 아니라, x만의 함수로 이루어져 있을 수도, y만의 함수로 이루어져 있을 수도 있습니다.

Φ를 구할 때 나눠주는 P, 또는 Q를 보면 됩니다. 56쪽 유형학습 1번을 보면 P가 복잡합니다. 그래서 Q를 이용하는 x만의 함수라고 생각하면 됩니다.

언제나 항상 그렇지는 않지만, 간단한게 계산해서 값을 구할 수 있는 쪽으로 문제가 나온다고 생각하고 문제를 해결하면 빨리 접근할 수 있습니다.

이 문제 크래머 공식말고 다른거로는 못푸나요?

그리고 크래머공식은 배우지 않았습니다;

크래머는 선형대수에서 공부한바 있습니다.

이 문제는 두 번째 식에 D를 곱한 다음에 만들어지는 D^2y를 첫번째 식에 대입해서 첫번째 식이 x와 t에 대한 비제차 미분방정식이 되게 한 다음 풀어도 됩니다. x의 해를 먼저 구할 수 있기 때문에 나온 x를 두번째 식에 넣어서 두번째 식에 대입하여 y를 구하면 됩니다.

해답처럼 y에 대해 정리해서 해를 구하면

te^-t + 2t - 5/3 이 나오잖아요

해답에는 y의해를 x에 대입시켜서 풀었더라고요

그렇게 말고 그냥 x도 y 처럼 풀어줬더니

te^-t + t - 4/3 이 나오던데 e^-t 는 왜 안나오는거죠?

이 문제만이 아니라 139p 5번도 이런 식이던데

어떤 개념이 적용되서 이러는 거죠?

x=te^(-t) + t - 4/3 를 구한 다음에 y를 구하려고 식에 대입하면, te^(-t)를 한번 미분하게 되므로, 두 함수곱 미분에 의해 e^(-t)가 생깁니다.

4번에서요 해설에보면

1/2 + 1/3 +1/4+ 1/5 .. +1/n < 적분1~n까지 1/x < 1+ 1/2 +1/3 +..+1/n-1 여기까지는 이해가 갑니다

그런데 그 밑에

갑자기 좌변과 우변이 왜

ln(n) + 1/n 과 ln(n)+1로 바 뀌는지 모르겠네요

제가 생각했을 때는

좌변이 ln(n)-ln2 우변이 ln(n-1) 이렇게 생각했었거든요...!

궁급합니다 자세한설명 부탁드립니다.

쉽게 이해를 하려면 우선 두 개의 그래프를 봅시다. 두 번째 그래프만 봅시다.

1) 이 그림에서 오른쪽으로 n다음에 직사각형을 하나 더 추가하면 직사각형의 넓이는 1/n입니다.

2) 1부터 n까지 적분한값은 ln(n)이 되고,

3) 두 번째 그림에서 곡선의 윗부분을 다 더한값은  1보다 작습니다.

부등식의 왼쪽은 2)번에 1)번의 추가한 넓이가 1/n인 직사각형만 더한 값이고

부등식의 가운데 두번째 그래프에다 1)번 의 그래프에 추가한 그래프까지 다 더한 넓이이고,

부등식의 오른쪽은 2)번에 3)번을 더한 값입니다.

그림으로 비교를 해보면 바뀐 식이 이해가 될 것입니다.

f(x,y)와 h(u,v)가 왜 같다고하는건가요??

문제를 보면 미분가능한 함수 h(u, v)에 대하여.. 라고 나와있지요.

그리고 둘째줄에 f(x, y)=h(ye^x-1, a-2y)라고 되어 있습니다. h(u, v)=h(ye^x-1, a-2y)이기 때문에

f(x, y)=h(u, v)라고 할 수 있습니다.

 1/(D-1)(D-2) * ze^2z 에서

a = 2 이고 이 값을 D-2 에 넣어주면 0 이 나오니 계산이 되질 않으니

D-1 에만 2 를 넣어주어서

e^2z* 1/D * z 를 계산해주면

c(1)x + c(2)x^2 + 1/2 x^2(lnx)^2 이렇게 나옵니다

이 방법은 제가 인강을 통해서 홍창희 교수님께 배운방법인데 어디 부분이 잘못됬나요? ㅜㅜ

만약에 최원혁 교수님 말씀처럼 D-2 에다가 a = 2 를 넣어주면 0 이나오는데

어떻게 계산을 해주어야 하는 건가요?

::x^2 - x^2lnx 는 어떻게 구한거죠?""

답변이 계속 이해가 안되었다니 미안할 따름입니다. 홍창의 교수님께서 아직 완쾌하지 않으셔서 제가 한동안 답변을 계속 달아야 하는데, 공부하는데 도움이 될 수 있도록 제가 더 노력하겠습니다.

문제 올려준 식에서 D-1에 2를 넣고 D-2에는 D+2를 넣는 것이 아니라, 모든 D에 같은 계산을 하고 지수함수가 앞으로 넘어가야 한다는 것입니다.

90쪽 유형학습2번에서처럼, 보조방정식의 인수를 하나씩 해결하고 넘기는 것은 지수함수 하나만 있을 때, 유용한 계산입니다.

지수함수와 대수함수(또는 초월함수)가 같이 있을때는 모든 D에 D+2를 넣은 다음 지수함수를 앞으로 보낸 다음에 남은 대수함수(또는 초월함수)를 계산 하는 것이 덜 복잡해 집니다.

같은 얘기를 계속 말로만 설명하는거 같으니.. 직접 풀이를 보겠습니다.  

1/(D-1)(D-2) * ze^2z= e^2z * 1/{D(D+1)}z = e^2z * 1/D * {1/(D+1) * z} = e^2z * 1/D * {z-1}

=e^2z * 1/2 *(z^2)-z

혹시 1/{D(D+1)}z = 1/D 로 계산하지 않았나요? 보조방정식에 상수항이 있을 때는 대수함수보다 큰 차수를 무시하고 계산할 수 있지만, 여기서는 상수항이 없기 때문에 무시하고 계산할 수 없습니다.