안녕하세요 교수님

고유벡터의 실수배에 대해서 질문드립니다.

320쪽 유형학습 7에서

문제 풀이과정중

람다 = 3 일때

2x+2y = 0 에서

u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 인데 여기서 u1 은 원래 고유벡터가 실수배가 있어서 -로 부호를 바꿔도 관계가 없다( 22강 44분 18

초) 라고 하셨는데 그 앞에서도 고유벡터는 실수배가 가능하다고는 말씀해주셨지만 이게 정작 왜 실수배가 가능한지에 대

해서는 자세히 설명을 안해주셔서 그냥 받아들이기가 찜찜합니다.

왜 고유벡터는 실수배가 가능한건가요??

실수배가 가능하다면 그렇다면 u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 실수배 -1 말고도 2를 하든 3을 하든 문제를

풀이하는데 있어서 영향이 없는건가요?

x가 고윳값λ에 고유벡터라면 Ax=λx를 성립합니다. 고유벡터에 실수(a)배를 해주면

A(ax)=a×Ax= a×λx=λ(ax) 가 되어

ax도 고유벡터가 됨을 알 수 있습니다.

p315에서의 회전각 공식에는

1/2 역함수 tan 2b/a-c 라고 되어있지만, p319 와 p320  해설에서의 공식은 2b가 아니라 그냥 b가 쓰여있어서

무엇이 정확한건지 헷갈립니다.

p319에서는 2b=루트3 이라고 하고 b=루트3/2 라하여 풀면 답과 같지만,

p320에서는 2b=4라 하고 b=2 라하여 풀면 문제의 풀이와 달라지네요.

회전각 공식을 잘 사용하지는 않습니다.

공식보다는 이차형식으로 변형한 다음에 각도를 구하는 연습을 많이 해두시기 바랍니다.

보기 (다) 질문인데요

책에 써져있는 해설과정에서

직교행렬의 성질에 의해 A의 역행렬=A의 전치행렬 에서 고유벡터의 성질을 이용하여

양변에 X를 곱해주는 것 까진 이해가 되지만  

λ의 역행렬 x X행렬 = λ x X행렬 이부분부터 이해가 되질 않습니다.

X가 고유벡터라고 하면 행렬A 대신에 λ를 가지고 올 수 있다는 걸 배웠을 껍니다.

안녕하세요 교수님

교수님 스타편입 수학 선형대 315쪽

5) 이차방정식과 회전각 부분에서

이차방정식을 회전시켰을때 나오는 식에서

책의 설명중에서 ..

이때 A의 고유치는 람다원, 람다투 일때 주어진 이차방정식은 다음과 같이 표현된다.

람다원x프라임^2 + 람다원y프라임^2 +d프라임x프라임 + e프라임y프라임 + f = 0 식이라고 나와있는데요

여기서 람다원y프라임^2 가 아니라 람다투 여야 하지않나요?? 가벼운 오탈자인거 같긴 해도

이거 하나때문에 교수님이 설명해주시는거에 큰 혼동이 오네요ㅠ (잘 보시면 교수님 편입수학 공식사전에서도 오탈자가 있습니다.)

공부하는데 혼돈을 드렸다면 죄송합니다.

책과 강의의 내용이 다르다면 강의에 맞춰서 공부하시기 바랍니다.

오탈자는 다음 개정에 꼭 반영하도록 하겠습니다.

1.2초가 아니고 0.5초라고 문제가 정정되어야할거같아요~

감사합니다. 꼭 반영하도록 하겠습니다.

19강 강의에서 교수님께서

336 쪽 53 번 문제를 설명해주실때

행렬 A  

2 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3 

에서 행렬 B = (A-2I)^2(A-3I)^2 는 최소 고유다항식이고 최소공배수 람다 자리에 A 넣으면 거기 rank가 0 이라고 알려주셨는데 무슨 뜻인지 이해를 잘 못하겠습니다. ㅠㅠ

왜 랭크가 0이 되나요?? 확실 하지 않은데요 제 생각엔 책 309쪽의 최소고유다항식의 정의 [A-람다E] 에서 f(A)=0 을 만족하는 최저다항식 이라는 것 때문에 rank = 0 이라는 건가요?? 자세히 설명좀 부탁드리겠습니다.

f(A)=0에서 0은 영행렬입니다.

그래서 rank가 0이 됩니다.

답이요 분자 8 되지 않나요? 내적하는게 좀 이상하네요

네. 계산상의 실수가 있었습니다. 정정해 주시기 바랍니다.

보기1번에 =도 가능하지 않나요? 전 그래서 1번이 답이 아닐거라거 생각했거든요

그리고 미분가능, 연속, 역함수가 존재한다는말은 단조함수라는 뜻이 성립하나요?

=이 들어가면 역함수가 존재하지 않게 됩니다. 역함수는 일대일 대응에서만 나타날 수 있습니다.

단조함수는 역함수가 존재하지 않을 수도 있습니다.

문제 푸는 법은 알겠는데, 각의 부호 정하는 것을 모르겠어요~

이게 단위고유벡터를 구해서 코사인, 사인으로 이뤄진 행렬이랑 비교하는거잖아요~

비교할 때에 고유벡터의 순서는 상관 없는건가요?

순서가 상관 없다면 우변의 코사인, 사인으로 이뤄진 직교행렬과 비교시에 부호가 달라질 수도 있어서요~

부호는 행렬 비교랑 상관없이 좌표축의 이동방향에 따라서만 결정되는건가요? 

당연히 좌표축의 회전은 두 방향이 나옵니다.

만약 문제에 주축형의 상태가 주어진다면 모르겠지만, 그렇지 않은 경우에는 두 각 모두 답에 있도록 문제가 나오지는 않습니다.

해답을 보니까

a=1 , b=c=0 을 해서 계산해준 후 좌표 벡터를 구했더라고요

여기서 a=1 , b=c=0 그리고 b=1 , a=c=0 이런식으로 정해줄 수 있었던 이유가 뭐죠? 

기저 α를 성분원소로 표시했습니다. 1=(1, 0, 0),  x=(0, 1, 0), x^2=(0, 0, 1)

라) 번에 u = x f(y/x)  이면 x (∂z/∂x) = y (∂z/∂y) = z 이라는 거를 증명해야 하는데요

오일러 법칙말고 그냥 풀어볼려고하는데

편도함수의 연쇄법칙을 쓸때 f(y/x) 앞에  ' x ' 도 u를 x 관해 편미분할때 같이 해줘야 하나요?

즉  ∂z/∂x = f(y/x) + x* f_x(y/x) * y/x² 이런식으로 풀어줘야하는건가요?

만약에 이렇게 푸는게 맞다면 그 다음에는 어떻게 해야하죠??

 ∂z/∂x 까지만 구했으니 이제  ∂z/∂y를 구해서 주어진 식에 대입해 봐야합니다.

T_x =

[1 1 1]

[1 1 2]

[1 1 4]

에서 (1 1 1) , (1 1 1) , (1 2 4 ) 가 좌표벡터를 나타내는거 아닌가요?

임의의 벡터 (x y z )가 있을때

기저를 구하려면 일차독립으로 표현해 줘야하니까

각 좌표벡터를 임의의 벡터에 곱하게되면

x+y+z = 0

x+y+z = 0

x+2y+4z = 0 이 되는거 아닌가요?

여기서 계산을 어떻게 해줘야하죠?

혹시 제 방법이 잘못됬으면 어디가 잘못됬는지좀 가르쳐주세요 ㅠ

p.s

해답을 보니 AX = B 이거 T_x = A 로 두고 첨가행렬로 X를 구했더라고요

왜 X 가 치역이 되는거죠??

X가 치역이 아닙니다. B가 치역이죠.

그리고

x+y+z = 0

x+y+z = 0

x+2y+4z = 0 이 되는거 아닌가요?

왜 0이 되죠? 여기서 잘못한거 같은데..

상공간을 찾아야 하므로 0으로 가면 안됩니다.

그람 슈미트 정리가 구하려는 벡터에서 정사영시킨 벡터를 뺀 것이잖아요,

직교행렬을 구할 때 사용되던데, 직교행렬은 크기가 1이잖아요...

만약 수직하지 않은 두 벡터 X1, X2를 구해서 그 두개의 그람슈미트를 쓰면

한 벡터(X1)는 놈으로 나눠서 단위벡터를 구하고, 다른 나머지는 정사영벡터를 빼서 구하잖아요~

그때 정사영시킨 벡터(프로젝션?)를 구할 때 내적 할 때 꼭 놈으로 나눈 단위벡터를 쓰지 않고,

그냥 처음에 구한 벡터 (X1)를 쓰던데 이거 꼭 그래야 하는 건가요?

단위벡터랑 내적하면 나중에 벡터를 구한 다음 놈으로 안나눠줘도 되는가 싶어서 해봤더니 안되더라구요...

왜그런거죠? 꼭 단위벡터 말고 처음 구한 벡터에 정사영 시킨 벡터를 구해야하는건가요?

아 두서없어서 알아 들으시려나 모르겠네요 ㅠㅠ

어차피 정사영할 때 X벡터의 크기를 제곱해서 나눠주지요.

정사영 식에 보면 X 벡터가 두 개 나옵니다. 크기가 두 개이므로 한개씩 나눠주면 결국엔 단위벡터가 나옵니다.

행렬A가 직교행렬이면 A의 트랜스포즈(행과열바꾼)행렬도 직교행렬인가요?

그렇습니다. 전치 시켜도 직교행렬입니다.

문제 보기 중 가,나는 이해 가는데 다가 이해 안가서요...

보기 나에서 주어진 식의 외적이 나오는 방향만 있기 때문에 행렬식이 1이면,

보기 다의 "고유치는 1혹은 -1이 반드시 있다" 가 성립 안하는 것 아닌가요?

만약 고유치가 1, 1, -1이면 행렬식값이 -1이 되니까 성립하지 않아서요.

이해가 안되서 질문드립니다.

이 문제는 삼중곱과 직교행렬에 대한 문제입니다.

가. 주어진 1행, 2행, 3행이 서로 수직이고 크기가 1이기 때문에 직교행렬입니다. 맞습니다.

나. 여기서는 행렬A를 만들어주는 삼중곱을 생각하면 됩니다. det(A)=uㆍ(v×w)=wㆍ(u×v)=wㆍw=1

다. 직교행렬의 성질입니다.