19강 강의에서 교수님께서

336 쪽 53 번 문제를 설명해주실때

행렬 A  

2 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3 

에서 행렬 B = (A-2I)^2(A-3I)^2 는 최소 고유다항식이고 최소공배수 람다 자리에 A 넣으면 거기 rank가 0 이라고 알려주셨는데 무슨 뜻인지 이해를 잘 못하겠습니다. ㅠㅠ

왜 랭크가 0이 되나요?? 확실 하지 않은데요 제 생각엔 책 309쪽의 최소고유다항식의 정의 [A-람다E] 에서 f(A)=0 을 만족하는 최저다항식 이라는 것 때문에 rank = 0 이라는 건가요?? 자세히 설명좀 부탁드리겠습니다.

f(A)=0에서 0은 영행렬입니다.

그래서 rank가 0이 됩니다.

답이요 분자 8 되지 않나요? 내적하는게 좀 이상하네요

네. 계산상의 실수가 있었습니다. 정정해 주시기 바랍니다.

보기1번에 =도 가능하지 않나요? 전 그래서 1번이 답이 아닐거라거 생각했거든요

그리고 미분가능, 연속, 역함수가 존재한다는말은 단조함수라는 뜻이 성립하나요?

=이 들어가면 역함수가 존재하지 않게 됩니다. 역함수는 일대일 대응에서만 나타날 수 있습니다.

단조함수는 역함수가 존재하지 않을 수도 있습니다.

문제 푸는 법은 알겠는데, 각의 부호 정하는 것을 모르겠어요~

이게 단위고유벡터를 구해서 코사인, 사인으로 이뤄진 행렬이랑 비교하는거잖아요~

비교할 때에 고유벡터의 순서는 상관 없는건가요?

순서가 상관 없다면 우변의 코사인, 사인으로 이뤄진 직교행렬과 비교시에 부호가 달라질 수도 있어서요~

부호는 행렬 비교랑 상관없이 좌표축의 이동방향에 따라서만 결정되는건가요? 

당연히 좌표축의 회전은 두 방향이 나옵니다.

만약 문제에 주축형의 상태가 주어진다면 모르겠지만, 그렇지 않은 경우에는 두 각 모두 답에 있도록 문제가 나오지는 않습니다.

해답을 보니까

a=1 , b=c=0 을 해서 계산해준 후 좌표 벡터를 구했더라고요

여기서 a=1 , b=c=0 그리고 b=1 , a=c=0 이런식으로 정해줄 수 있었던 이유가 뭐죠? 

기저 α를 성분원소로 표시했습니다. 1=(1, 0, 0),  x=(0, 1, 0), x^2=(0, 0, 1)

라) 번에 u = x f(y/x)  이면 x (∂z/∂x) = y (∂z/∂y) = z 이라는 거를 증명해야 하는데요

오일러 법칙말고 그냥 풀어볼려고하는데

편도함수의 연쇄법칙을 쓸때 f(y/x) 앞에  ' x ' 도 u를 x 관해 편미분할때 같이 해줘야 하나요?

즉  ∂z/∂x = f(y/x) + x* f_x(y/x) * y/x² 이런식으로 풀어줘야하는건가요?

만약에 이렇게 푸는게 맞다면 그 다음에는 어떻게 해야하죠??

 ∂z/∂x 까지만 구했으니 이제  ∂z/∂y를 구해서 주어진 식에 대입해 봐야합니다.

T_x =

[1 1 1]

[1 1 2]

[1 1 4]

에서 (1 1 1) , (1 1 1) , (1 2 4 ) 가 좌표벡터를 나타내는거 아닌가요?

임의의 벡터 (x y z )가 있을때

기저를 구하려면 일차독립으로 표현해 줘야하니까

각 좌표벡터를 임의의 벡터에 곱하게되면

x+y+z = 0

x+y+z = 0

x+2y+4z = 0 이 되는거 아닌가요?

여기서 계산을 어떻게 해줘야하죠?

혹시 제 방법이 잘못됬으면 어디가 잘못됬는지좀 가르쳐주세요 ㅠ

p.s

해답을 보니 AX = B 이거 T_x = A 로 두고 첨가행렬로 X를 구했더라고요

왜 X 가 치역이 되는거죠??

X가 치역이 아닙니다. B가 치역이죠.

그리고

x+y+z = 0

x+y+z = 0

x+2y+4z = 0 이 되는거 아닌가요?

왜 0이 되죠? 여기서 잘못한거 같은데..

상공간을 찾아야 하므로 0으로 가면 안됩니다.

그람 슈미트 정리가 구하려는 벡터에서 정사영시킨 벡터를 뺀 것이잖아요,

직교행렬을 구할 때 사용되던데, 직교행렬은 크기가 1이잖아요...

만약 수직하지 않은 두 벡터 X1, X2를 구해서 그 두개의 그람슈미트를 쓰면

한 벡터(X1)는 놈으로 나눠서 단위벡터를 구하고, 다른 나머지는 정사영벡터를 빼서 구하잖아요~

그때 정사영시킨 벡터(프로젝션?)를 구할 때 내적 할 때 꼭 놈으로 나눈 단위벡터를 쓰지 않고,

그냥 처음에 구한 벡터 (X1)를 쓰던데 이거 꼭 그래야 하는 건가요?

단위벡터랑 내적하면 나중에 벡터를 구한 다음 놈으로 안나눠줘도 되는가 싶어서 해봤더니 안되더라구요...

왜그런거죠? 꼭 단위벡터 말고 처음 구한 벡터에 정사영 시킨 벡터를 구해야하는건가요?

아 두서없어서 알아 들으시려나 모르겠네요 ㅠㅠ

어차피 정사영할 때 X벡터의 크기를 제곱해서 나눠주지요.

정사영 식에 보면 X 벡터가 두 개 나옵니다. 크기가 두 개이므로 한개씩 나눠주면 결국엔 단위벡터가 나옵니다.

행렬A가 직교행렬이면 A의 트랜스포즈(행과열바꾼)행렬도 직교행렬인가요?

그렇습니다. 전치 시켜도 직교행렬입니다.

문제 보기 중 가,나는 이해 가는데 다가 이해 안가서요...

보기 나에서 주어진 식의 외적이 나오는 방향만 있기 때문에 행렬식이 1이면,

보기 다의 "고유치는 1혹은 -1이 반드시 있다" 가 성립 안하는 것 아닌가요?

만약 고유치가 1, 1, -1이면 행렬식값이 -1이 되니까 성립하지 않아서요.

이해가 안되서 질문드립니다.

이 문제는 삼중곱과 직교행렬에 대한 문제입니다.

가. 주어진 1행, 2행, 3행이 서로 수직이고 크기가 1이기 때문에 직교행렬입니다. 맞습니다.

나. 여기서는 행렬A를 만들어주는 삼중곱을 생각하면 됩니다. det(A)=uㆍ(v×w)=wㆍ(u×v)=wㆍw=1

다. 직교행렬의 성질입니다.

세타 의 범위가 pi/3 ~  pi/2  까지라는데 pi/2 인거는 어떻게 아는거죠?

주어진 x 의 범위가 0부터이기 때문에 y축과 루트3y 사이의 각을 찾으면 됩니다.

해설강의없나요...?

18회, 19회 해설강의는 없습니다. 공부하다가 모르는 내용이 있으면 질문에 올려주시기 바랍니다.

분자 구할떄요 r^2을 적분하면 3분의 1이 나오잖아요 그러면 r이 1에서 3까지이면 26/3이 나와버려서 

보기에 답이 없지않나요?

해설이 이해가 안갑니다

죄송합니다. 해설이 잘못 되었습니다.

적어준 것과 같이 계산하는게 맞습니다.

답이 이상한거같아요 c=4가 나와야하는거 아닌가요?

그리고 a -b +c 인데 b가 -1 이면  

결국 a + 1 +c 가 되어야하잖아요~

제대로된 답이 무엇인가요~

공부하는데 혼란을 드려 죄송합니다.

풀이가 틀린거 맞습니다.

x²+y² = 1 인 원이 있습니다

∫(0~a) ∫ (0 ~ √1-x² )

1사분면 까지의 원(즉 원의 1/4)

∫(0~a) ∫ (-√1-x² ~ √1-x² )

4사분면에서 1사분면까지의 원(즉 반원)

∫(-a~a) ∫ (0 ~ √1-x² )

1사분면에서 2사분면 까지의 원 ( 즉 반원)  

∫(-a~0) ∫ (-√1-x² ~ √1-x² )

3사분면에서 2사분면 까지의 원(즉 반원)

∫(-a~a) ∫ (-√1-x² ~ √1-x² )

1사분면에서 4사분면 까지의 원 ( 즉 원)

이게 헷갈려서 그런데  전부 맞는건지 확인 좀 부탁드릴게요..ㅠ

네. 전부 맞습니다.