안녕하세요 적분1 질문좀 드릴게요.

1. p.60에서 대표 3번, 2번보기가 도저히 이해가 안되네요.

  설명해주실땐 감마(n+1)=n*감마(n)에서 여기에서 감마(n+1)을 In이라 두고

   감마(n)을 I(n-1)이라 둔다고 되어있는데, 그러면 감마(n)앞의 n도 자동적으로 n-1이 되야되는거아닌가요?

2.p.248에서 대표 2번, 해설하실때 t = V/(V/T)라고 하시고 V/T(분모 T, 분자 V)를 3이라고 하셨는데 

   문제에서 나와있는 건 dv/dt가 3아닌가요? dv/dt를 v/t라고 할수가 있는건가요?

3. p.289 대표 4에서 중심 중적분으로 구할 순 없나요? 구하면 어떻게 하면될까요?

4. p.232 대표 2에서 왜 그전에 하던것 처럼 해면 왜 안되는건가요? 그리고 정확히 "어떤 때에" 이런식으로 y와 x를 바꾸고 이런식으로 하는건가요?

5. p.260에서 개념으로 생각을 하면 곡선을 회전시킨게 더 크고, 거기서 직선을 회전시킨걸 빼야지 원하는게 나올거같은데... 왜 대체 항상 위에서 아래껄 뺸걸 회전한다고 생각하는건가요? 일부러 위에서 아래꺼 뺀거 회전해야한다고 생각은 하고잇는데, 이해가 안되서요..

강의 잘듣고있습니다 감사드립니다 수고하세요!

1. 감마와 I에 대한 관계로 보는 것이 아니라, 감마함수의 정의로 봐야 합니다.

Γ(n+1)=nΓ(n) 이고, Γ(n+1)=I_n 이기 때문에 Γ(n)=I_n-1 이 됩니다.

그러므로  I_n = n×I_n 이 됩니다.

2. 혹시 빨리 돌려보기로 보신건가요? 강의에서는 3이라는 것을 V/t라고 하였습니다. 물이 들어가는 속도를 의미하면서 말하였습니다. 강의를 다시 참고하시기 바랍니다.

3. 같은 공식입니다. 평면에서 회전을 이용하여 평면을 공간으로 만들었을 때와 공간 곡면에 대한 공식이 주어졌을 때로 나뉠 뿐이지, 같은 공식입니다. 중적분을 이용해서 계산하려면 공간곡면에 대한 식으로 바꿔야 합니다.

4. 계산이 안될 때, 이렇게 바꿔줍니다. 계산이 되면 어떤 공식으로 계산을 해도 상관 없습니다.

5. 개념으로 생각을 해도 위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 빼는게 맞습니다. 면적을 구할 때 위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 빼는 것과 마찬가지 입니다.

안녕하세요 고생많으십니다 질문좀 할게요 

1. p.96 역행렬을 나타낼때 크게 크래머랑 가우스조단을 쓸 수 있는 것 같은 데, 보통 어떨 때, 크래머를 쓰고 어떨 때 가우스조던을 쓰는게 좋은 건가요?

2. AB = E라고 해서 무조건 A와 B가 역행렬인건 아니죠?

3. p.134에 제일 밑에 있는 계수와 행렬식과의 관계에 대한 질문인데. 글 봐도 잘 감이 안와서(이걸 이용해서 문제도 많이 안풀어봐서) 계수와 행렬식 관계를 간단하게 어떻게 이해하면 될까요?

4. p.204 유형 1에서 평면에서 (1,1,-1)이랑 (2,1,0)의 거리가 같다는 건 어떻게 알 수 있는건가요?

5. p.299 유형 2에서 행렬 A와 그 대각행렬인 D가 계수가 같다는 건 알겠는데 그렇다고 해서 A-I와 D-I도 계수가 같다고 할수 있나요? 그냥 숙지하고 있으면 되는건가요?

6. p.320 유형 2에 어떻게 이런 풀이를 착안하는 건가요..?; 실제로 시험에서 이런 문제를 만나면 이런 생각을 할 수 있을까 걱정되네요. 다른 풀이는 없는 건가요?

7. p.296  유형 5인데, uv가 서로 수직이고 w도 그 두 벡터에 수직인 벡터인거 알겠는데 실제로 A를 보면 이걸 직교행렬인지 확인하려면 1열(세로줄, 용어가 갑자기 헷갈려서) 2열의 성분끼리 곱해서 더하면 1이 되야하는거 아닌가요?

근데 이걸 1열과 2열만 해봐도 u1u2 + v1v2 + w1w2 = 1이라고 할수 있는건가요? 오히려 A의 전치여야지 직교행렬이라고 할 수 있는거아닌가요?

8. p.306 유형 6에서 평소에 D구하는 과정에서 P구할때 그냥 고유벡터만 쓰다가 여기서는 직교행렬이라고 해서 따로 그람슈밋쓴건가요?

9. p.307에서 대표 2에 4번보기에 고유값이 진동인건 알겠는데 그렇다고 A의 n제곱은 왜 존재하지 않는건가요?

10. p.350에서 풀이 제일 마지막에 b=2a일때 해가 무한개 존재한다고 했는데 그럼 4번에 무한개 존재한다는건 어쨋든 맞는 말아닌가요?  꼭 (a, -2a)라고 해줘야되나요? 무한개 있는건 어차피 맞는거 아닌가요?

11. p.208에서 4번에 n차원공간의 다각형의 크기를 구하는 공식인데 저번에 이게 어떤 도형이냐고 했는데 그냥 다각형 공식이라고 하셨는데, 정작 문제에선 다각형의 크기를 구하라고 나오는게 아니라 p.216 유형 5처럼 여기선 평행사변형이라고 나와있는데 암튼 이런식으로 문제가 나와있는거잖아요. 그러면 그냥 두 벡터를 알고있으면 이거로 결정되는 모든 다각형을 저 공식하나로 다 구하는건가요?

12. p.206에서 대표 4번에 보기중에 유클리드 내적이란 용어가 있는데 이건 뭔가요?

13. p.302에서 문제에 A가 주어지고 PAP의 역행렬이 주어졌는데 저게 대각행렬이려면 P의역행렬AP가 되야 말되는거아닌가요? PAP역행렬은 아무것도 아닌거 아닌가요?

한번에 질문하니 질문이 많네요. 마음같아선 직접 가서 여쭤보고싶은데 집이 지방이라 어쩔수없네요.ㅠ 답변 잘좀 부탁드리겠습니다 감사드립니다.

1. 역행렬을 나타낼 때 어떤걸 써야한다는 기준은 없습니다. 하나 확실한 건 한 줄(행 또는 열)만 찾을 때는 확실히 크래머를 사용하는게 편합니다.

2. 역행렬이 맞습니다. A와 B는 둘 다 행렬식 값이 0이 아니지요. 그래서 역행렬이 존재하므로 서로 역행렬 관계라고 볼 수 있습니다.

3. 간단히 설명하기 힘들죠. 예를 들어서 4차 정방행렬이 있는데, 이 행렬식 값이 0이라고 합시다.

그러면 이 행렬의 계수는 절대 4는 아닙니다. 그럼 0, 1, 2, 3 중에 하나가 될텐데, 4행과 4열을 지워서 3×3 소행렬을 만들고 이 행렬식을 계산해 봤더니 0이 아니었다. 그러면 행렬의 계수는 3이 됩니다.

4. 질문이 잘 이해가 되지 않습니다.

점(1, 1, -1)에서 평면까지의 거리, 점(2, 1, 0)에서 평면까지의 거리. 이 두 거리가 왜 같은가를 묻는거죠?

벡터(2, 1, 0)에서 벡터(1, 1, -1)까지 정사영 내린 벡터가 (1, 1 -1)이므로 당연히 평면까지 거리가 같습니다.

5. 닮은 행렬이면 같은 고윳값을 가지고, 같은 고유벡터를 가지지는 않지만 같은 수의 고유벡터를 가집니다. 그러므로 A-I와 D-I는 계수가 같습니다.

6. 착안할 수 없다면 문제를 어떻게 푸는지 꼭 알아야 합니다. 꼭 반드시 이 문제를 스스로 해결할 수 있어야 합니다.

7. 1열과 2열이 수직으로 만나야 하므로 1열의 원소와 2열의 원소의 곱이 0이 되어야지요. 열 뿐만 아니라 행으로 직교행렬임을 확인할 수도 있습니다.

8. 네 맞습니다. 고유벡터를 이용해서 서로 수직하고 크기가 1이 되도록 만들어야 합니다.

9. 어떤 행렬인지 모르기 때문에 주대각선 원소가 -1, 0, 1 인 대각행렬이라고 볼 수도 있습니다. 대각행렬에서 짝수승에서는 1, 0, 1 로 나타나지만, 홀수승에서는 -1, 0, 1이 됩니다. 그래서 극한값이 없습니다.

10. 예를 들어서 a=1, b=3이면 해가 존재하지 않습니다.

11. 네. 벡터 두 개가 주어지면 평행사변형의 이웃하는 두 개의 변으로 볼 수 있고, 평행사변형의 면적을 계산할 수 있습니다.

12. 유클리드 공간에서의 내적을 의미합니다. 유클리드라는 말을 빼고 내적만 보면 됩니다.

13. P라는 것이 단지 가역행렬을 말합니다. 우리가 그 중에 고유벡터를 이용해서 P를 만들어주는 것이지, 고유벡터를 이용해서 P의 역행렬을 만들어 준다면 충분히 가능합니다.

안녕하세요 고생많으십니다 

1. p.120 유형 1번에서 준식을 무한 등비급수의 합으로 표현했는데  왜 0을 넣으면 성립 안하는 건가요?

2. p.303 유형 1번에서 h(g(x))니까 h에 영향을 주는 건 g그래프의 y값인데,  y값 기준으로 f,g가 같은 증감을 하는 범위를 찾는 문제인거같은데, 답은 [0,2]라고 되있는데 [0,1]은 g는 감소하는데 f는 증가해서 이 부분은 빼야되는거 아닌가요?

3. p.338 유형 3번에서 x=0말고 다른점에서 극값을 갖지 않는다는 건 어떻게 알 수 있고, H'(x)가 왜 [0, 파이/2]에서 감소인지 잘 모르겠어요. 준식을 봐도

4. p.352 유형 4번에서 (나)에서 f'3이 0에서 1보다 큰데, 그뒤에 바로 꺽여서 내려가서 f3이 1이 안될순 없는건가요?

5. p.383 유형 11번 같은 문제, 그래프 말고 풀수 있는 방법은 없는건가요? r을 같이 놓으면 안된다고 하셔서..

  그래프 그리면 꼭 놓치는 부분도 있고 헷갈리는게 잇어서 많이 헷갈리네요..

6. p.413 유형 3에서 Y가 정확히 뜻하는 것도, 어떻게 잡아야되는지도 모르겟어요. 혼자풀땐 그냥 공간의 곡률공식에 나와있는 X이용하는 걸로 풀긴 풀었는데 선생님께서 Y를 이용하는게 좋다고 하셔서 필기는 했는데 봐도 이해가 전혀 안되네요. 설명좀 부탁드려요

7. 복소수 강의는 언제 올라오는지 알수없나요? 올라오긴하는건가요?

*질문이 많은데 한번에 제대로 부탁드릴게요. 

감사합니다

120쪽

 x가 0일 때와 0이 아닐 때로 구분한 것입니다. 그래서 같은 수도 있고, 다를 수도 있습니다.

303쪽

아닙니다. g가 증가하고 감소하는 부분을 따지는 것이 아니라, g는 항상 감소하고 있기 때문에 그냥 단지 g(x)의 값을 구하면 됩니다.

338쪽

미분을 통해서 증가, 감소를 알 수 없는 경우도 있습니다. x를 무한대로 보냈을 때 0으로 가까이 가고, 극점이 0에서 나타난다는 것을 알고 있기 때문에 계속해서 감소한다는 걸 알수가 있습니다.

352쪽

꺽여서 내려간다는 건 무슨 말인가요? 혹시 내려간다는 말인가요? 증가함수 입니다. 그래서 내려갈 수 없지요.

383쪽

그래프를 암기하거나 그릴 수 있어야 합니다. 단지 반지름이 같다는 것으로만 풀기에 극곡선은 너무 복잡합니다.

413쪽

414쪽에 있는 별해를 참고하시기 바랍니다. Y를 이용해서 어떻게 해결하는지 나와 있습니다. 이 부분은 단순히 함수의 식으로 설명하기에는 무리가 있습니다. Y를 어떻게 잡아서 어떻게 전개가 되었는지를 확인하시기 바랍니다.

복소수 강의는 따로 올라오지 않습니다. 2WEEKS 강의에 복소수 강의가 포함되어 있습니다.

중복되는 항이 있으면 한 번만 쓰는 것입니다.

p.266의 대표기출유형 질문입니다.

f=x^2 + y^2 + z^2

g1=x^2 + y^2 -1 = 0

g2=x+y+z-1 = 0

3변수함수이므로,

▽f = λ▽g1 + μ▽g2 로 두고 푸는게 정석으로 알고 있습니다..

그런데 저는 아예 g1를 f에다가 집어넣어서

f=x^2 + y^2 + z^2 = 1+ z^2 으로 바꾸었습니다.

이후에 이렇게 변형한 f를 g2 랑만 비교하려고 하여

▽f = λ▽g2 로 두고 풀었습니다.

정리하면, (0,0,2z) = λ(1,1,1) 이라서

λ=0, z=0 이 나왔습니다.

이렇게 나온 λ와 z를 g1과 g2에 대입하니,

(x,y,z)=(1,0,0), (0,1,0) 이렇게하여 같은 답이 나올 수 있었습니다.

---------------------------------

요지는,

 이렇게 제약조건(g1,g2)이 2개일 때에 f의 최대 최소를 구할 때에 있어서

▽f = λ▽g1 + μ▽g2 로 하는 대신에

g1 또는 g2를 f에 대입하면 라그랑지미정계수법 역시 제약조건이 1개인 경우로 하여 풀어도 옳은 것인가요?

(f에 g1이나 g2 중 제약조건 하나를 대입했다는 것 자체가

 f라는 식이 그 대입한 제약조건(g1 또는 g2)을 만족하기 때문에 저는 가능하다고 생각이 드네요;;)

주어진 조건의 함수를 만족하는 x, y, z 에 한정시켜 f의 값을 찾는 것이므로 대입하여 문제를 풀어도 가능합니다.

2변수함수 극점을 구할때

△=(fxx)(fyy)-(fxy)^2 이 0보다 크면 극값이 존재하고

fxx가 0보다 크면 극소, 0보다 작으면 극대잖아요?

질문1)△에서  fxy 대신 fyx를 써도 상관없나요? [ (fxx)(fyy)-(fyx)^2 로 ] (이유도 알려주세요..ㅠㅠ)

질문2)fxx로 0보다 크고 작은지를 판단을 하는 것 대신에, fyy가 0보다 크고 작은지로 판단해도 되나요?

            (된다면, fyy가 0보다 크면 극소, 0보다 작으면 극대인가요?)

            (그리고 왜 그런지..)

질문3) △이 0보다 클 때에, fxx = 0 이 나온다면 이것은 무엇을 의미하는건가요??

           (아니면 fxx=0 이 나올수는 없는건가요?)

이변수함수의 극점을 구하는 방법은 3차원 공간에서의 방향도함수를 이용해서 증명하고 있으므로, 증명에 대한 이야기는 넘어갑니다.

fxx 대신에 fyy는 안됩니다. 사용하는 일이 없도록 합시다.

fxy=fyx는 클레로 정리를 통해서 알 수가 있습니다.

fxx=0일 때  △이 0보다 클 수는 없습니다.

3강 챕터2 대조방식 패턴 2 문제 4번에서 분사가 삽입된 구문은 부사구문이랑 비슷하게 생략된 접속사를 유추하며 읽어야 하나요?

분사구문이나 분사구문이 중간에 삽입된 문장이나 문장 분석할때 차이점이 있나 헷갈려요 

공부하느라 수고가 많습니다.

분사가 삽입된 구문은 부사구문이랑 비슷하게 생략된 접속사를 유추하며 읽어야 하나요?

질문에 대한 답은,

언제나 유추해 가며 읽을 필요는 없지만, 유추할 수 있는 훈련을 해 두는게 필수입니다. 

분사구문의 생략된 접속사 유추 자체가 시험의 빈칸에 해당할 때도 있기 때문입니다.

분사구문이나 분사구문이 중간에 삽입된 문장이나 문장 분석할때 차이점이 있나 헷갈려요 

질문에 대한 답은,

일반적으로 차이 없습니다.

[lnx/(1+x)]이나 [ln(1+x)/x]는 정적분 공식 어떻게 유도하지요?

[lnx/(1+x)] 나  [ln(1+x)/x] 와 같은 로그함수는 로그 성질을 이용해서 적분하면 됩니다.

lnx/(1+x) = lnx - ln(1+x) 가 되므로 여기에서 적분공식을 이용해서 적분을 하면 됩니다.

ln(1+x)/x = ln(1+x) - lnx 가 되므로 여기에서 적분공식을 이용해서 적분을 하면 됩니다.

테일러 급수 전개후에

적분 하기 전에 10^-7이 나오기 까지의 항 을 비교하는 것인지

아니면 적분을 행한 후 10^-7이 나오기 까지의 항 을 비교하는 것인지

궁금합니다

적분을 한 다음에 오차의 한계를 구하는게 맞습니다.

1).피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우에 그냥 정적분으로 풀면되고

2).피적분함수가 불연속인 경우는 불연속인 경우를 제외하고 풀잖아요

그리고

1)인 경우에 피적분함수가 불연속이라고 했지만 원함수가 연속인 경우는 피적분함수가 불연속이기 때문에

불연속인 구간을 제외한 후 결과를 보니 원함수가 연속이더라.  따라서 1)의 경우이다

라고 도출해낼 수 있는 거 아닌가요?

그렇다면 대표1번이  '피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우' 이지만

'피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우' 라는 걸 몰랐을 경우

1) 번과 2)의 방법 중  직감점으로 어떤 방법으로 풀어야하는지를 아는 방법이 궁금합니다 

그리고 대표1번 같은 경우에 저는 2)의 방법처럼 불연속인 구간을 제외하고 풀었더니 답은 똑같이  나오더라고요..

그렇습니다. 원시함수가 연속인지 불연속인지 판단이 서지 않는다면, 구간을 나눠서 풀어주면 됩니다.

(나) 에서 해답을 보면 위로 볼록이라서 성립하지 않는다는데 왜 그런거죠

(나)는 아래로 볼록인 함수의 그래프의 성질입니다.

위로 볼록인 함수는 부등호의 방향이 반대입니다.

(나)는 함수의 기본적인 성질에 대한 얘기를 묻고 있습니다.

교재 6p 유형2번에 로피탈을 두번하면 lim {n(n-1)*x^(n-2)/e^x}잖아요

로피탈을 계속해서 분자가 n!이 된다던데.. 그럼 분자의 x는 왜 없어져요? 그것도 계속 남아야 되는거 아니에요?

x^2을 한 번 미분하면 2x가 되고, 한번 더 미분하면 2가 됩니다.

x^3을 세 번 미분하면, 3×2×1이 됩니다.

x^n을 n번 미분하면 n×(n-1)×(n-2)×....×2×1=n! 이 됩니다.

적분순서가

바깥쪽이 세타고

안쪽이 안쪽이 r에 관한 거잖아요

근데 이걸 바깥쪽을 r 과 관련된 범위로

안쪽을 세타 관련된 범위로 바꿔도

상관이 없는건가요?

순서가 바뀌어도 상관이 없습니다.

그런 종류의 문제는

세타 먼저 하고

그다음에 안쪽 적분을 r에 관해서 하는건가요

즉, 이런 원이 아닌 삼각형 적분문제에서는

dr이 왜 안쪽으로 들어가는건지 모르겠어요

특별한 이유가 있나요?

아니면 순서가 바뀌어도 상관이 없나요? 

적분 순서가 바뀌어도 상관이 없습니다.

그런 종류의 문제는

세타 먼저 하고

그다음에 안쪽 적분을 r에 관해서 하는건가요

즉, 이런 원이 아닌 삼각형 적분문제에서는

dr이 왜 안쪽으로 들어가는건지 모르겠어요

특별한 이유가 있나요?

아니면 순서가 바뀌어도 상관이 없나요? 

순서가 바뀌어도 상관 없습니다.