y²+z² = a² 의 곡면적이고 x² + y² =a²  이 범위이므로

z² = a² - y²

에서 z를 y로 편미분 해줘서 계산해주면   ( 566p 해답의 2번쨰 줄입니다)

∬√  1+(-y/z)²+0  이 되어야 하는거 아닌가요? 해답에는 (-x/z)² 로 되어있던데 어떻게 해서 x가 되는거죠? 

네 맞습니다. x와 y가 원을 만들고 있으므로 답에는 변화가 없지만, x가 아니라 y가 와야 합니다.

공부하는데 혼란을 드려 죄송합니다. 잘못된 부분 적극 반영하도록 하겠습니다.

412p (4) 을 보면

∬ ll X_u x X_v ll dudv 라고 되어있습니다

그리고 415p 유형2번을 보게되면

ll X_u x X_v ll 해준값이 √5 r 이 나왔고

적분변수 dudv  가 극좌표계로 drd세타 로 바꼈는데

직각좌표계를 극좌표계로 바꿔줄 때는 dudv = " r " drd세타 이런식으로 바꿔주는게 아닌가요?

왜 r을 안붙였는지가 궁금합니다 

즉  ∬√5 r² 이 되야하는거 아닌가요?

여기서 r과 θ의 매개변수로 바꿔준 것입니다. 좌표변환에 의한 계산이 아니라, 매개변수로 스칼라함수를 벡터함수로 바꿔줄때는 야코비안을 사용하지 않습니다.

이 페이지 밑에서 2개 그림을 보면

두개다 ∫0~ㅠ 까지로 해줬던데          (ㅠ = pi)

왜 ㅠ 가 되는거죠?

r = acos세타   ( 1.0 ) 에서 반지름이 √a 인 원인데 0~2ㅠ 로 해줘야하는거아닌가요??

원의 중심이 원점에 있을 때만 주기가 2파이 입니다. 한쪽으로 치우쳐 문제처럼 나타날때는 주기가 파이 입니다.

안녕하세요 교수님

24강을 듣다가 질문드려요..

문제풀이에 대한 질문은 아니고

344쪽 유형학습 1 선형변환 L o L 문제가 아직까지는 안나왔는데 나올가능성이 높다고 하셨는데 혹시 올해 시험에 이게 나왔었나요??

그리고 선형변환이란 단어를 계속 합성변환이라고 말씀하셨는데 선형변환이라는 말하고 합성변환이란 말은 같은 말인가요?

유형학습 2 문제도 2013년도에 처음 나왔다고 하셨는데 이 문제가 어느학교 기출문제 인가요?? 학교 이름이 안나와있어서 궁금하네요.

그리고 이 처음 나온 유형도 2014년도에 또 출제된 학교가 있나요??

상의 면적을 구하는 문제는 나온 적이 있지만, 아직까지 선형변환을 두 번 이상 해서 구할 수 있는 상의 면적 문제는 나온 적이 없기 때문입니다.

어느 학교에서 나왔었는지는 지금 당장 기억은 나지 않네요. 기출문제를 풀다 보면 만나게 될 것입니다.

주기가 2 인 주기함수 f 가 구간 [ -1 , 1) 에서

f(x) 

{  1  -1 ≤ x  < 0

{  x   0  ≤ x  < 1

로 정의될때 푸리에 급수를 이용하여 무한급수

1 + 1/3² + 1/5² .... ( tan1) 을 구하는 문제인데요

정리를 해주면

f(x) = 3/4 + ∑ [ { 1/n²x² ( cosnpi - 1 ) }cos(npi) + 1/npi sinnpi ] 가 나오는데요

여기서 연속인 점 x= -1 을 대입시킨다는데

x 가 -1에서 연속인거를 어떻게 알았죠?

이 문제는 중앙대학교 13년도 17번 문항입니다

주기함수를 이용해서 주어진 f(x) 를 그려보면 주기함수 라는 걸 알 수가 있습니다.

그리고 x=-1을 대입하지 않는다면 주어진 문제를 해결하지 못하겠죠.

월리스공식 기억이 안나서 그러는데 교재 몇페이지에 잇나요?

적분학1 51쪽 부터 나옵니다.

행공간 열공간에서

행공간의 차원을 행렬의 계수라 한다고 하는데 여기서

스타편입 수학책 256 쪽 열공간의  차원은 행공간의 차원과 같다 라고 있는데

만약 예를 들어서

3 4 1 0

2 2 9 1

3 5 1 4

란 행렬이 있 다고 가정하면

제 생각엔 열이 4개니까 열공간의 차원은 4고

행은 3개니까 행공간의 차원은 3이 되지 않나요??

이게 아니라면 왜 아닌건가요?

제 생각엔 아닌 이유가 아마 열중에 종속인 열이 있어서 인거 같은데( 맞는 건지 잘 모르겠습니다 ㅠ) 

열끼리 종속 독립인지 찾으려면 어떻게 해야 찾을수 있나요??

내적을 해서 구하는건지 열연산을 통한 랭크를 구해서 구하는건지..;; 자세히는 모르고 두루뭉실하게만 알아서

헷갈림만 커집니다 ㅠㅠ강의에서는 이런거에대한 설명이 없으셔서.. ㅠ 자세한 답변좀 부탁드리겠습니다.

혹시 행렬 강의는 듣지 않았나요?

랭크 계산은 기본행 연산(교재 32쪽)을 통해 이루어집니다.

그리고 행렬의 랭크는 교재 5장에서 다뤄집니다.

벡터에서 사용되는 많은 내용들이 행렬에서 공부한 행렬의 연산을 바탕으로 이루어 집니다.

행렬을 공부하지 않고 벡터로 넘어갔다면 행렬을 모두 공부한 다음에 벡터로 다시 넘어가길 바랍니다.

페이지 457 대표기출유형1

 스톡스정리 curlF 도트 n dS 를 정리하면

 curlF 도트 (-fx-fy,1) dxdy 가 되잖아요

그런데 이문제에서 좌표공간이 구 x2+y2+z2-16=0 음함수로보고

음함수의 법선벡터 구하는 방법으로해서 ( 2x , 2y, 2z ) 이라고 보고 풀면 왜 안되나요??

면적분에서 벡터n은 단위벡터입니다.

그리고 (-fx-fy,1)로 두는 이유가 z=f(x, y)로 두기 때문에 ( 2x , 2y, 2z )로 두면 풀이 방법 자체가 달라집니다.

안녕하세요 교수님

고유벡터의 실수배에 대해서 질문드립니다.

320쪽 유형학습 7에서

문제 풀이과정중

람다 = 3 일때

2x+2y = 0 에서

u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 인데 여기서 u1 은 원래 고유벡터가 실수배가 있어서 -로 부호를 바꿔도 관계가 없다( 22강 44분 18

초) 라고 하셨는데 그 앞에서도 고유벡터는 실수배가 가능하다고는 말씀해주셨지만 이게 정작 왜 실수배가 가능한지에 대

해서는 자세히 설명을 안해주셔서 그냥 받아들이기가 찜찜합니다.

왜 고유벡터는 실수배가 가능한건가요??

실수배가 가능하다면 그렇다면 u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 실수배 -1 말고도 2를 하든 3을 하든 문제를

풀이하는데 있어서 영향이 없는건가요?

x가 고윳값λ에 고유벡터라면 Ax=λx를 성립합니다. 고유벡터에 실수(a)배를 해주면

A(ax)=a×Ax= a×λx=λ(ax) 가 되어

ax도 고유벡터가 됨을 알 수 있습니다.

p315에서의 회전각 공식에는

1/2 역함수 tan 2b/a-c 라고 되어있지만, p319 와 p320  해설에서의 공식은 2b가 아니라 그냥 b가 쓰여있어서

무엇이 정확한건지 헷갈립니다.

p319에서는 2b=루트3 이라고 하고 b=루트3/2 라하여 풀면 답과 같지만,

p320에서는 2b=4라 하고 b=2 라하여 풀면 문제의 풀이와 달라지네요.

회전각 공식을 잘 사용하지는 않습니다.

공식보다는 이차형식으로 변형한 다음에 각도를 구하는 연습을 많이 해두시기 바랍니다.

보기 (다) 질문인데요

책에 써져있는 해설과정에서

직교행렬의 성질에 의해 A의 역행렬=A의 전치행렬 에서 고유벡터의 성질을 이용하여

양변에 X를 곱해주는 것 까진 이해가 되지만  

λ의 역행렬 x X행렬 = λ x X행렬 이부분부터 이해가 되질 않습니다.

X가 고유벡터라고 하면 행렬A 대신에 λ를 가지고 올 수 있다는 걸 배웠을 껍니다.

안녕하세요 교수님

교수님 스타편입 수학 선형대 315쪽

5) 이차방정식과 회전각 부분에서

이차방정식을 회전시켰을때 나오는 식에서

책의 설명중에서 ..

이때 A의 고유치는 람다원, 람다투 일때 주어진 이차방정식은 다음과 같이 표현된다.

람다원x프라임^2 + 람다원y프라임^2 +d프라임x프라임 + e프라임y프라임 + f = 0 식이라고 나와있는데요

여기서 람다원y프라임^2 가 아니라 람다투 여야 하지않나요?? 가벼운 오탈자인거 같긴 해도

이거 하나때문에 교수님이 설명해주시는거에 큰 혼동이 오네요ㅠ (잘 보시면 교수님 편입수학 공식사전에서도 오탈자가 있습니다.)

공부하는데 혼돈을 드렸다면 죄송합니다.

책과 강의의 내용이 다르다면 강의에 맞춰서 공부하시기 바랍니다.

오탈자는 다음 개정에 꼭 반영하도록 하겠습니다.

1.2초가 아니고 0.5초라고 문제가 정정되어야할거같아요~

감사합니다. 꼭 반영하도록 하겠습니다.

19강 강의에서 교수님께서

336 쪽 53 번 문제를 설명해주실때

행렬 A  

2 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3 

에서 행렬 B = (A-2I)^2(A-3I)^2 는 최소 고유다항식이고 최소공배수 람다 자리에 A 넣으면 거기 rank가 0 이라고 알려주셨는데 무슨 뜻인지 이해를 잘 못하겠습니다. ㅠㅠ

왜 랭크가 0이 되나요?? 확실 하지 않은데요 제 생각엔 책 309쪽의 최소고유다항식의 정의 [A-람다E] 에서 f(A)=0 을 만족하는 최저다항식 이라는 것 때문에 rank = 0 이라는 건가요?? 자세히 설명좀 부탁드리겠습니다.

f(A)=0에서 0은 영행렬입니다.

그래서 rank가 0이 됩니다.

답이요 분자 8 되지 않나요? 내적하는게 좀 이상하네요

네. 계산상의 실수가 있었습니다. 정정해 주시기 바랍니다.