301p 의 개념설명에서요. 'A와D는 언제나 고유벡터가 같지 않다' 에서 궁금한 질문입니다.!

1. 닮은행렬이 고유벡터가 같지 않다는 것은 고윳값에 따른 고유벡터가 여러개 나오기 때문인가요?

2. 그렇다면 닮은 행렬의 고유공간은 같나요?

요즘 한창 바쁘실텐데 죄송하고 감사합니다..!

답변이 늦어 죄송합니다.

홍창의 교수님께서 목디스크로 한동안 컴퓨터 작업을 하지 못하십니다. 그래서 다 나으실 때까지 답변을 제가 대신 달아드리도록 하겠습니다. 저는 해커스편입 수학강사 최원혁입니다.

고윳값이 같다고 해서 고유벡터까지 같을 수는 없습니다. 서로 다른 행렬에서도 같은 고윳값을 가질 수는 있지만, 그에 따른 고유벡터는 다르게 나타납니다. 294쪽 유형학습2번을 보면 고윳값이 3, 0, 0 이므로 대각행렬을 만들 수 있습니다. 보기 (가)는 행렬 A의 고유벡터이지만 대각행렬의 고유벡터가 안됨을 쉽게 알 수 있을 것입니다.

즉, 서로 다른 행렬에서 고윳값이 같다고 해서 고유벡터가 항상 같지는 않습니다.

대각화가 가능하다면, n차원에서 n개의 고유벡터가 나오겠지요. 그렇다면 고유벡터가 만들어내는 공간은 같은 차원에서는 항상 같은 공간을 만들어냅니다. n개의 고유벡터가 서로 일차독립이기 때문입니다.

n이 무한대로갈때 {n/(n+1)}^(n^2) 의 값이 0이되는거맞나요? 맞다면 왜그런지 설명부탁드릴께요~

답변이 늦어 죄송합니다.

홍창의 교수님께서 목디스크로 한동안 컴퓨터 작업을 하지 못하십니다. 그래서 다 나으실 때까지 답변을 제가 대신 달아드리도록 하겠습니다. 저는 해커스편입 수학강사 최원혁입니다.

질문한 부분은 1의 무한대 제곱이기 때문에 극한값 e의 정의를 이용합니다. 미분학교재 107쪽에 그 내용이 나와 있습니다. 극한값 e의 정의를 이용하면 0이 맞습니다.

 l i  j  k l

 l 1 2 3 l

 l 1 2 0 l    = -6j -3i 이렇게나오는데

어떻게 계산을하는건가요? 찾아봐도잘모르겟네요

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

선형대수학 52쪽을 참고하십시요.

방향은

방향벡터라고 봐도 무방한가요

그라디언트 f 를 구하는게 방향을 구하는것하고 같다고 생각하면 되는건가요?

방향 도함수는 단위벡터하고 내적을 해야 하지만

방향을 구하라는건

그라디언트 f (경도) 를 구하는것과 같다고 설명하셨는데 

문제에서 방향을 구하는건 그라디언트 에프의 단위벡터만 구하면 된다.. 인지 헷갈립니다.

결론은 그라디언트 f 자체가 '방향' 이 되는건가요?

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

방향벡터는 벡터의 비를 나타내므로 단순히 모든 베거가 같은 벡터가 아니라 비가 같은 벡터입니다.

크기는 다를수 있습니다. 

단위벡터를 구하는 것은 크기를 1로 만들어주는 것이고요. 방향 벡터는 관계 없습니다.

하지만 방향도함수에서는 방향을 쓰는 것이 아니라 단위벡터를 이용해서 그렇습니다.

그라디언트가 방향비가 되는 것입니다.

백터의 성분의 비가 방향비라 생각해도 됩니다.

방향을 구하라는 문제는 단위벡터를 구하나 그냥 벡터를 구하나 관계 없습니다.

9월 중순쯤에 인강이 다 끝납니다.

10월까지 기본교제 여러번 풀고,

교수님 프리패스이긴 한데 실강으로 마무리 정리하고 싶어서

11월쯤에 열리는 강좌가 있는지요?

또 제가 이렇게 공부하는게 맞는건지 늦는건 아닌지 궁금합니다 ^^

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

저는 강의만 찰영해서 실강이 열리는지는 알 수 없습니다.

11월 부터는 실강을 듣는 것이 좋을 듯 합니다.

강의하실 때 x를 0으로 보내면 x^5가 x^7보다 더 크기 때문에 밑에 꺼를 다 날리셨는데요

x가 좌극한인지 우극한인지를 모르는데

우극한일 때는 저게 맞더라도

좌극한일 때는 저게 반대이지 않습니까?

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

분모의 차수와 분자의 차수가 같으므로 좌,우극한값은 관계 없습니다. 분모, 분자가 생략되므로

벡터랑 같이 듣고있는데 한번에 질문좀 할게요

1. 145페이지 유형 2번에서 수업하시다가 해 문제는 무조건 한 행은 0으로 잡아도 된다고 하셨는 데 왜 그런 거에요?

2. 208쪽에 n차원공간에서 다각형의 크기 공식이라고 나와있는 거 뭐 따로 몇각형 그런거 없나요? 

3. 262쪽에 대표기출유형 3번에 벡터공간의 차원은 행공간의 차원이라고 나와있는데, 앞에서 나와있기론 벡터공간의 차원 = 해공간 + 행공간의 차원이라고 봤는데 아닌가요?

용어가 너무 헷갈리네요 ㅠ;

4. 274쪽에 대표기출유형 5에서 부분공간의 차원은 관계식의 독립인 변수의 개수라고 나와있는 데 이것도 그전에 보기에 해공간의 차원이 독립변수의 갯수라고 했는 데, 여기선 왜이렇게 된건가요?;

5. 296쪽에 유형 5번에 이게 직교 행렬이면  A에서 u1*u2 + v1*v2 + w1+w2 = 0 이런거 되야 되지 않나요? 근데 A전치면 저게 되는거같은데 지금 저 상태는 안되는 거 아닌가요? A전치가 직교라고 했으면 이해가 바로 됬을 텐데 A는 잘모르겟어요..

6. 317쪽에 유형 2번에 '단위 구 위에서' 라는 말이랑 해설에 이차형식을 이용한다는 말 저런건 어떤 의미가 있는 건가요?

7. 355쪽에 대표기출유형 3에서 p = a + bx + cx제곰 으로 잡고 하다가 (a+b+c)+(a)t+(a-b+c)t제곱 에서 표현행렬로 바꿀 때 왜 영어는 없어지고 그 계수만 적는 건가요??

복습하면서 한번에 질문하려고 하니 되게 많네요 부탁좀 드릴게요 그리고 카톡으로 수학질문할수있다고 공지에 있던데 어디로 하면되나요?

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

1) 해가존재하려면 첨가행렬에서 만들 수 있는 행렬식이 모두 영이어야 합니다.

   즉 계수행렬과 첨가행렬의 계수가 같음을 이용하는 것입니다. 이해 못하면 근원적인 방법을 이용하면 됩니다.

2) 말 그대로 다각형 공식 입니다.

3) 벡터공간의 차원이 행공간의 차원이 아니라 독립인 벡터의 개수를 구하려면 행렬의 rank를 이용해서 그런 것입니다.

4) 두 부분공간이 해공간을 의미하는 것입니다. 벡터공간의 의미가 해공간입니다.(여기 표현에서요.)

    조건제시법을 이용해보면 그 공강이 무슨 의미인지 알 수 있습니다.

5) 직교행렬의 정의를 다시 보십시요. 그 동영상릉 다시보면 알 수 있습니다.(행(열)이 서로 수직이고, 크기가 1입니다.)

6) 312쪽 내용을 다시 보십시요. 그기에 자세히 나와있습니다.

7) 앞 내용 동영상을 다시보면 알 수 있습니다. 변환식을 행렬로 표현하는 방법 동영상이 있습니다.

문제에서 특수해를 구하라고해서

Yp=1/D(D-3)x(8e3x+4sinx) 8e3x는 익스퍼낸셜 삼엑스승입니다.

먼저 1/D(D-3)8e3x 구할때요 D랑 D-3 순서가 바뀔때 같이 다르게 나오잖아요

교수님께서 수업때 관계없다고 하셨는데 이문제에서는 답이 다르게 나오는것 같아서요

D 먼저하면 깔끔하게 8xe3x/3 으로 나오는데

D-3먼저하면 8xe3x/3-8e3x/9 가 나와서 보기에 답이없게되는데

제가 뭘잘못알고있는건지 모르겟네요

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

특수해는 상수가 존재하지 않는 것이기 때문에 그렇게 보이는 것입니다.

만일 일반해를 구하다면보조해+특수해 이므로 어떻게 구하느냐는 관계 없습니다.

그래서 유시한 형태를 찾으면 됩니다.

t일후의 불순물의 양은 y/1000씩 줄어 든다고 하셨는데요

문제에서 매일 10m^3의 깨끗한 물을 일정하게 공급, 혼합한 후 같은 양의 물을 배출시킨다고 했습니다.

문제에서 먼저 10을 공급했으니 10010m^3에서의 불순물의 양이 10g이 되어야 하는거 아닌가요?

y/1000씩 줄어드는게된다면

문제가 매일 10m^3을 빼고 깨끗한 물을 그만큼 공급했다고 해야 하지 않나요?

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

항상 변화율을 계산 할 때에는 동시에 나오는 것과 들어가는 것이 동시에 이루어진다고 생각하여야 합니다.

언제나 그러한 것을 기본으로 하니 그렇게 생각하셔야 합니다.

만일 그런식으로 하면 하루를(신간, 초당) 어떻게 나누어 생각할 수 없기 때문입니다.

271p 유형학습 6번 풀다가 궁금해진것 인데요

1. 행공간을 구하고 싶으면 반드시 기약행사다리꼴로 만들어야 하나요?

2. 행공간하고 열공간하고 같을 때(차원말고)는 언제 인가요?

늦게 답변해드려서 미안합니다. 샘이 목디스크가 걸려서 당분간 컴퓨터를 볼 수 가 없었습니다.

꼭 기약행 사다리꼴은 만들어서 구하는 것이 원칙 입니다.

행공간과 열공간은 언제나 같은 공간은 아니지만 차원은 항상 같은 차원 입니다.

주로 공간이 같을 때는 서로 독립인 벡터의 갯수 성분이 같은 경우 입니다.

  31번 문제에서는요 ..  사진에서 풀이 과정과 같이 저는 여태껏  회전행렬의 역행렬을 곱해서 풀었었는데요.

     부호가 다르게 나오더라요..    회전행렬의 역행렬을 곱해서 풀면 안되는건가요 ㅜ?

몇회 문제 31번 인가요?

프린트가 너무 많아서?  아님 문제를 정확히 올려주시던가요?

플이만 올려주셔서 어떤 것인즐 알 수 가 없네요?

z가

높이를 말하는것인지

선생님께서 설명하시길

z는 곡면의 방정식이다 라고 하셨는데

z가 높이가 되어야 하는것 아닌가요? ㅠ 헷갈립니다.

2변수 함수는 z=f(x,y) 는 고면의 방정식이면서 z는 곡면의 x-y평면에서 높이를 나타내는 것입니다.

 1..    31번 문제에서는요 ..  사진에서 풀이 과정과 같이 저는 여태껏  회전행렬의 역행렬을 곱해서 풀었었는데요.

     부호가 다르게 나오더라요..    회전행렬의 역행렬을 곱해서 풀면 안되는건가요 ㅜ?

2.   27번 문제에서는  마지막 지문에서 "흐르는 액체의 양은 몇 퍼센트나 증가하엿는가?" 이 말이 잘 이해가 안갑니다

     왜  dv/v  로 나오는지 모르겠어요..

  감사합니다 ^^;; 

제가 위의 사진을 볼 수 가 없어서 답변이 힘드네요.

흐르는 양이 몇 퍼센트이니 백분비오차이기 때문에 그렇게 하는 것입니다.

어떤것은 2변수 함수로 보고

어떤것은 3변수 함수로 보는데

어떤 기준이 있는 건가요?

기하학적 의미의 2변수와 3변수의 차이를 명확히 알고 싶습니다.

예를들어 177페이지 유형학습2번 문제에서

곡면의 방정식을 f(x,y,z)로 놓는 이유는 무엇인가요?

곡면의 방정식을 표현하는 방법은 z=f(x,y)로 표시 할 수도 있고 s=h(x,y,z)=f(x,y)-z=0게 표현하는 것은 같은 곡면이나 표현 방법에 따라 2변수 음함수라 합니다. 2변수 함수는 독립변수가 2개인 함수이고요 3변수 함수는 독립변수가 3개인 함수이므로 3변수 함수는 4ㅏ차원을 이야기 하는 것입니다. 즉 예를 들면 온도 u=T(x,y,z)라 하면 온도는 공간에 따라 다르므로 4차원이 되는 것입니다. 

핵의 차원을 구하기위해 L(A)=0 으로 둬서

A전치 = -A가 되기 때문에 A가 반대칭 행렬이라는 것은 알겠습니다.

그 다음에

행렬(a  b/c  d )= a(1  0/0  0) + b(0  1/0  0)+c(0  0/1  0) +d(0  0/0  1)로 표현되므로

기본행렬이 4이므로 생성된 벡터공간의 차원이 4입니다. 즉 변수의 개수가 생성된 벡터공간의 차원 입니다

그래서 주어진 핵공간의 차원도 변수의 갯수가 a한개 이므로 1차원 입니다.