331p보면

dxdy나 dydx나  전부

rdθdr로 쓰셔서요

직교좌표에서 극좌표로 바꿔서 적분을 할 때, dxdy나 dydx 어느 것이든 상관없습니다. 어차피 극좌표로 바꿔서 계산을 할꺼니까요.

rd세타dr 

이던지

rdrd세타 이던지

둘중에 순서 바뀌어도 상관없나요?

dxdy를 바꿀때요

그러면 적분하는 기준이 달라지지 않나요?

중적분에서는 적분 순서가 중요합니다.

그래서 303쪽에 따로 적분순서를 변경하는 방법을 참고하셔야 합니다.

처음 중적분 식을 쓸때부터 생각할 수 있다면 좋지만, 식을 세운 후 적분이 안될 경우에 순서를 변경하면 적분이 가능해질 때가 있으므로 적분 순서를 변경하는 방법을 꼭 공부하셔야 합니다.

적분 순서는 중요하며, 당연히 기준은 달라지게 됩니다.

2차일때 tanx = t 로 치환한다고 했잖아요

2차일때도 tanx/2 = t 로 치환해도 가능한데 tanx = t 로  치환하는게 더 편해서 그런건가요?

다른이유가 있다면 뭐 때문인지 설명부탁드리겠습니다.

수학 문제를 해결하는데 있어서 <항상, 언제나> 라는건 거의 없습니다.

상황에 맞게 공식을 이용하거나 변형해야 하는 부분입니다. 상황에 맞게 공식을 사용하면 됩니다.

공식집 받고 싶습니다.

온라인 관련 공식집은 학원 측에서 관리하고 있기 때문에 관리자에서 문의해 주시기 바랍니다.

dy/dx 이의미가 햇갈립니다

책에나온의미는 y를 x로 미분 ,x따른 y의변화율, 이런식으로써있습니다..

y를x로미분한다는것이 무엇을의미하는건지..

예를써서 표현해주시면 감사하겠습니다.자세한설명좀부탁드리겠습니다ㅠ문제푸는대 헷갈려서요

또한 d/dx는 x를 미분한다는것같은대..

그럼 y=x^2d/dx= 2x 이렇게된단소리죠?

f프라임(x)와 d/dx 이게 의미가같은거죠?

그럼 f프라임(x) dy/dx 이건다른의미이죠?

그리고 매개변수하고

편미분하고 공식은 다외웠는대 언제써야하는지헷갈립니다

둘다같은 dy/dx 인대 사용방법이 언제인지모르겠습니다

제가 이해한거는 편미분은 0=x,y변수가 같이있으면 사용하고

매게변수는 함수2개가주어진것에 다른변수가있으면 매개변수쓰는거같고..

마지막으로 음함수하고 편미분하고 다른개념인가?

정확한정의를알고싶습니다..설명 한번만부탁드립니다

예를 들어서, 직선의 방정식 y=2x+1에서 기울기 2를 (y증가량/x증가량)으로 찾습니다. 다시 말해서, (y변화량/x변화량)이 기울기가 되겠죠.  

양변을 x로 미분하면 dy/dx=2가 나옵니다. 변화량이 x값에 상관없이 항상 일정하다는 뜻이지요.

포물선 y=x^2 +3x -1 에서 양변을 x로 미분하면,  dy/dx=2x+3이 되고 여기서는 x값의 변화에 따른 y값의 변화가 다르다는 뜻입니다.

즉, dy/dx는 x의 변화량을 굉장히 작게 만들었을 때, y는 얼마나 변하는지를 말한다고 보면 됩니다.

d/dx는 x변화량에 따라 나타나는 변화량이 얼마인지를 얘기합니다. dy/dx는 x 변화량에 따른 y 변화량이 얼마인지를 묻는 것이고, df(x)/dx는 x 변화량에 따른 f(x)의 변화량이 얼마인지를 묻는 것이 됩니다. f'(x)는 df(x)/dx를 간단히 표현한 것입니다. y'= dy/dx 라고 말하는 것과 같지요. y=f(x)라고 한다면 양변을 x로 미분했을 때, y' = dy/dx = df(x)/dx = f'(x)라고 간단히 표현하는 것입니다.

음함수는 식에 x, y를 가지고 있을 때는 아무때나 써도 됩니다. y=............(x에 대한 식)으로 표현하지 못할 때 음함수 미분법을 사용해주면 됩니다.

음함수 미분법에서 편미분을 사용하는 것이지, 개념 자체에 대해서는 같다, 다르다라는 말 자체를 사용하지 않습니다.

행공간의 차원이 같으면 행공간이 같다는 뜻이에요? 벡터공간V 의 차원이 해공간차원이랑 같다고 하셧는데 V는 행렬안에 있는 벡터공간인가요?

고유다항식을 세우면 조던행렬을 구할수있는건가요?  

공간에 대해서는, 어느 부분을 공부하다 나온 질문인지 명확히 해주시기 바랍니다. 문제에 따라서 전혀 다른 설명이 될 수가 있기 때문에 교재의 몇 쪽에서 나온 질문인지 알려주시기 바랍니다.

고유다항식이 아니라, 최소고유다항식을 만들어야지 조던행렬을 구할 수 있습니다. 최소고유다항식을 세워도 조던행렬을 구할 수 없는 경우도 있지만, 기본적으로 최소고유다항식의 차수를 이용해서 조던행렬을 쉽게 구할 수 있는 문제들이 많이 있습니다.

p.210의 유형학습 3번 질문입니다.

(위 그림에서 파란색 화살표로 넘어올 때가 이해가 잘 안 됩니다.)

좌우를 모두 s에 관해 편미분한 것인데,

dx가 어떻게 ∂x/∂s가 된거죠?

오른쪽 식도 ds와 dt가 어떻게 ∂s, ∂t로 바뀐 것도 마찬가지로 궁금합니다.

(저는 양쪽을 모두 ∂s로 나눴다고 생각했어요. 그래서 잘 이해가 안 갑니다..)

교재에서의 해설에서도 '따라서 양변을 ds로 나누면 계수로부터 ∂x/∂s = 1/6이다.'라고 해설이 나와있습니다..

ds로 나눴는데 왜 ∂x/∂s가 되죠..

미분 기호, dx와 ∂x는 사실 같은 기호입니다.

전미분, 편미분을 구별하기 위해 영문자 d를 ∂로 사용하고 있지만, 문제를 해결하는 과정에서는 구별하지 않아도 됩니다.

문제를 푸는데 그래도 헷갈린다고 하면

다음과 같이 처음부터 편미분을 하면 됩니다.

2x dx/∂s + 2y dy/∂s = 2t

2y dx/∂s + 2x dy/∂s = 2s

해답을 보면 4번째 줄에 2r dzd세타dr 이라고 되어있는데

2는 어디서 나온거죠?

공부하는데 혼란을 드려 죄송합니다. 오타입니다.

그냥 r이 되어야 하고, 그래서 답은 1번입니다.

매개변수로 바꿔줄때요

x+1 = 3cost 에서 x = 3cost-1

y-2 = 3sint 에서  y = 3sint + 2 를 넣어주는거 아닌가요?

매개변수로 바꿔서 선적분을 해준다면 그렇게 치환해서 푸는게 맞습니다.

하지만 이 문제는 그린정리로 계산을 하라고 했고, 그린정리를 활용할 수 있는 문제인지 빨리 파악을 해야 문제를 푸는 시간을 줄일 수 있습니다.

4번은 강의에서 다루지 않고 넘어가네요?

문제를 보아하니 크레머 법칙인듯 싶은데, 뒤에 해설이 잘 이해가 가질 않네요

전에 스타편입 선형대수책 p.131. 페이지에서는 2차정방에 관한 크레머 법칙을

푸는 방법은 설명해주셨는데, 문제는 3차 정방이네요

이럴때는 어떤 공식으로 풀면 되나요?

아그리고 계수행렬 A의 행렬식 값이 (a-c)(b-c)(c-a) 라고 써져있는데

어떻게 계산한거죠? 사러스 법칙이랑 인수분해를 해도 저렇게 인수분해를 잘 못하겠네요

인수 분해 과정도좀 부탁드립니다!

행렬 13강 강의를 보면 크래머법칙을 설명하고 있습니다.

2차정방행렬에 이어 3차 정방행렬에서 간단히 설명하고 있습니다. 참고하시기 바랍니다.

한번에 사러스로 계산하려 하지 말고 2행-1행, 3행-1행을 한 다음에 2해의 공통인수 (b-a), 3행의 공통인수 (c-a)를 앞으로 묶어주고 계산하면 훨씬 쉽게 인수분해 할 수 있습니다. 아니면 선형대수 58쪽의 (7)번 공식을 사용해도 됩니다.

이거 답이 4번이고 해설지도 4번인데요 문제에서는 답 5번(rank=4)라고했는데

책 오타인가요?

이거 정오표 어디서다운받을수잇나요?

rank가 3이네요. 제가 가진 책에는 답이 제대로 되어 있어서 오타가 있는 줄 몰랐습니다.

공부하는데 혼란을 드려 죄송합니다.

책의 정오표는 따로 준비되어 있지 않습니다.

p.193 에서

(5)역삼각함수의 합성함수의 주치 범위 및 치역범위 질문입니다.

①역사인 함수의 정의역 및주치범위

-1

-파이/2 < sin-1(sinx)=x < 파이/2 (부등호같다는 컴퓨터상에서 어떻게쓸줄몰라서 생략했습니다)

이렇게 써있습니다

이범위가 sin과 sin-1 의 정의역이죠? 제가이해하한바로는 정의역같아서..아무튼!

위에서는 sin-1의 정의역범위가  -파이/2에서 파이/2까지라고 써있는대

p196쪽에 나와있는 대표기출유형 1번에서

보기1번인

sinx 함수의 역함수 f(x)의=sin-1x는 정의역이 [-1,1]이다

이게참으로되있는대..

p193에서 아크사인 정의역범위가  -파이/2에서 파이/2라고써 있는대

제가이해를못하고있는건가요?

이해가잘안됩니다ㅠ 

정의역이란게x값의범위인대  

아래그림 1번에서는 정의역이  -파이/2에서 파이/2 아닌가요..?

x선그대로를읽어서..

그림 2번에서는

x선그대로 읽게되면..정의역이 -1에서1 값이 아닌가요?

제가이해하고있는 정의역은 x값의범위이고

치역은 y값의범위인대 제가잘못알고있나요?

삼각함수에는 각도가 들어가서 삼각합수값이 나옵니다.

즉, y=sinx라고 하면 x는 각도, y는 값이 됩니다.

그래서 사인을 좌변으로 보낼 때, sin^-1 y=x가 됩니다. 여전히 x는 각도, y는 값이지요.

역삼각함수는 x와 y를 바꾼 것이므로, y=sin^-1 x가 되고, 여기는 x와 y가 바뀌었으므로 y가 각도, x가 값이 됩니다.

193쪽에서는 sin(sin^-1 x) 는 sin함수입니다. 그래서 각도가 아니라 값이 나올 수가 있겠지요. 괄호 안의 (sin^-1 x)에서 x안에 들어갈 수 있는 것은 위에 설명했듯이 각도가 아니라 값이 들어갈 수 있습니다.

193쪽의 식을 잘 살펴보면

-1<sin(sin-1x)=x <1 

-파이/2 < sin-1(sinx)=x < 파이/2 

빨간색 글자에서 x의 위치를 잘 살펴보시기 바랍니다.

중간쯤 보면 dA = l X_u x X_v l dudv 는 평행사변형의 면적이고

n = 1 / l X_u x X_v l  * (X_u x X_v) 이런식으로 되어있는데요

여기서 n은 단순히 법선벡터아닌가요?

 따라서 X_u x X_v 이처럼 그냥 두 벡터를 외적해준게 n 이 나오는거 같은데

왜  n = 1 / l X_u x X_v l  * (X_u x X_v) 이렇게 표현하는거죠?

법선벡터에서 방향만 가지고 오기 위해서 크기를 1로 만든 단위벡터 입니다.

y_p = 1 / (D-2)(D+3)) * e^2x  이거 푸는 방법이

e^2x * 1/D * 1/(D + 5 ) * 1

=  e^2x * 1/D * ( 1/5 * 1 )   < 5를 빼내고 대수함수가 1 이므로 1을 적은 후 1을 미분시키면 0 이 되므로 그대로 1이 나옴

=  (e^2x)/5  * 1/D *1   < 1/5 를 앞으로 빼준 후 대수함수 1을 한 번 적분해준다

= (e^2x)/5 * x  

= (xe^2x)/5    < 따라서 이 값이 나온다

번거로우시겠지만 한 번 봐주시길 바랄게요 ...ㅠ 별것도 아닌데 헷갈리네요.. 

그리고 10번 처럼 한쪽이 0 이 나오는 경우에는 두개를 전부다 지수함수의 차수로 더한 다음에 해주는 거 맞나요?

아니면 걍 한쪽이 0이든 둘다 0이 아니던 둘다 0이던 하나씩 풀어주면 되는건가요?

네. 푸는 방법이 맞습니다.

Q. 10번 처럼 한쪽이 0 이 나오는 경우에는 두개를 전부다 지수함수의 차수로 더한 다음에 해주는 거 맞나요?

맞습니다. 위에서 계산한 것처럼 그렇게 해주면 됩니다.

Q. 아니면 걍 한쪽이 0이든 둘다 0이 아니던 둘다 0이던 하나씩 풀어주면 되는건가요?

직접 해보면 알겠지만, 한꺼번에 계산하는게 조금 더 편할꺼라 생각합니다.

그리고, 0 이 되지 않더라도 지수함수 혼자 있지 않고 대수함수 같은 함수를 데리고 있는 경우는 무조건 D+a를 한 다음에 지수함수가 앞으로 넘어가야 합니다.

해답을 보면 2x - y = 2 2x -y =0 이고 2x-y = u 가 나오니

2> u > 0 라고 하면안되나요? 왜 1> u > 0이라고 하는거죠?

계산을 할 때 실수를 한거 같네요.

2x-y=2u입니다.