2차곡면 그래프에서

어쩔대 회전체부피 쓰고

어쩔대 원주각 공식 사용하는 건가요?

어떤 문제들을 비교했을때 헷갈리는지를 알려주시기 바랍니다.

조금이라도 명확하려면 직접 문제의 차이점으로 설명하는게 좋을 것 같습니다.

1더해준게 내려온거군요.

죄송합니다.

공식은 수시로 확인합시다.

안녕하세요.

문제를 풀다가 질문이 있어서요.

1+r제곱 미분한게 2r인데 r밖에 없어서 1/2 앞으로 해준건 이해가 되는데여

-2는 왜 생긴거죠?

그냥 (1+r제곱)-1/2제곱 아닌가요?

네. 안녕하세요.

적분학1 32쪽 유형학습1번 문제를 참고하시기 바랍니다.

자주 사용하지 않는 공식은 쉽게 잊어버리기 마련입니다. 공식은 수시로 확인하시기 바랍니다.

G(R) 이란 말은

R영역을 G영역으로 변환해라 라는 말인가요?

여기서 G는 앞에서 배운 영역 G가 아니라

변환하라는 변환 G 이니까

다른 의미인가요??

맞습니다. R 에서 G로 좌표를 변환한다는 뜻입니다.

앞에서 배운 G라 함은? 앞에 개념에서 나온 내용이라는 뜻인가요?

그렇다면 맞습니다. 개념에서 다룬 좌표로의 변환은 아닙니다.

강의 안하시는건가요??

따로 인강으로는 준비된 강의는 없습니다. 현강에서는 조금 다루고 있지만 인강은 준비된 강의가 없습니다.

r을 적분한다는게 무슨 말인가요?

dydx -> rdrdθ 에서의 r을 묻는다면 좌표변환할 때 나타나는 야코비안입니다.

42페이지에 10번하고 43번에 8번을 비교해볼때

                   ∞ 

42p 10번은 ∑ (1-1/n)^(n^2) 이고요

                  n=2

                 ∞

43p 8번은 ∑(1-1/n)^n 인데요

                n=1

42p10번의 1/n을  43p 8번 1/n 처럼  무시하게되면  (1)^(n^2)=1가 되니까 무한대이다 뭐 이렇게 생각할수는 없는건가요??

코시 판정법으로 생각하시기 바랍니다.

n 과 n^2의 지수승은 엄청나게 큰 차이니까 조심해야 합니다.

(n:1~∞)∑1/(n^2) 값이 (∏^2)/6이 나오잖아요 이것을 lnx와 actan(x) 급수전개를 써서 풀려고 했는데 쉽지가 않아요

몇 강에서 이 급수의 계산을 해주던가요? 다시 한 번 확인해 보고 알려드리겠습니다.

구간(0

{ln(x+1)}/(x-1) 도 같은 방법 으로 할수있나요? 로그를 치환하거나 급수전개사용해도 구할수가 없어요 ㅡㅡ

이상적분 강의에 이런 내용이 있나요?

몇 강에서 나온 얘기인지 확인해서 올려주시면 다시 확인해서 답변 드리겠습니다.

싸인1의 근삿값을 소수둘쨰자리까지 구하는 문제가 있는데,

그러면 이건 sin을 급수로 전개 한다음에 1을 넣잖아요

근데 소수 둘째자리라면 1/5!는 1을 120(=5!)으로 나누면 0.008나오는데 그러면 이거 계산안하고 무시해야되는거아닌가요? 

문제를 풀다가 이문제가 나왓는데, 이거까지 해서 소수셋째자리까지 구하고 반올림하면 된다고 나와잇네요.

극삿값을 구할 때, 어떤 항을 기준으로 끊고 계산하는 것은 그 항에서부터 기하급수적으로 값이 작아지기 때문입니다. 문제에서 기준이 애매하게 나온다면 답을 보고 결정해야 합니다.

이 문제는 둘째자리까지 구하라고 했지만, 사실 두번째 항도 소수둘째자리까지만 값이 있는 것이 아니라, 1/3!=0.1666666666666666666666666...이기 때문에 둘째자리까지만 구할 때도 반올림을 이용해서 구해야 합니다. 그래서 세번째 항까지 계산을 해서 반올림 한 것입니다.

x^2 + y^2 - z^2 >=1 

의 그래프가 

공간에서 왜 비스듬하게 올라가는지 모르겠습니다.

그리고 y = root (x^2-1) 에서

왜 그렇게 표현되는지 명확하지가 않아요 ㅠㅠ

공간곡선의 그래프는 중적분에서 굉장히 중요한 부분입니다.

식만 봐서 그래프가 잘 그려지지 않을때는 앞에 나오는 공간곡선의 그래프를 외워야 합니다.

앞에 나온 그래프의 유형을 꼭 외워야 합니다.

162p 10 번

(나) 에 대해서 질문을 드렸었는데요

확실히 이해가 가질않아서 그런데 설명좀 해주실수 있나요?

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224p 17번

해답을 보면 S₁의 넓이를 보면

이 넓이는 213p 의 대표기출1 번 숙명여대 의 그래프와 같은 모양인데

따라서 ∫(e^t -1)(-sint)dt 로 해주는거 아닌가요?

해답에는 ∫(cost*e^t)dt 가 나왔던데 어떻게 해준거죠?

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224p 22번

1 + sinx = sinx/2 + cosx/2 가 나왔던데 어떻게 풀어준거죠?

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266p 1 번

먼저 해답을 보면

4(2-y) 라고 되어있는데

정사각형 단면적이 s = a² 아닌가요 ?

그리고 이 그래프를 그리고 y축에 수직( x 축평행) 인 평면으로 자른 단면이 정사각형 이라고 했으니

∫(0~ √2) (2-x²)² dx 라고 써줘야하는거아닌가요? 해답의 식이 어떻게 나오게 된거죠?

269p 20번

해답 1번째 줄에서 2번째 줄로 넘어가는 식에서요 dx 를 dt로 치환해준건 알겠는데

범위를 보면 0~a 까지를 어떻게 2/pi ~ 0 으로 바꿔준거죠?

함수는 f(a)와 f(b)의 평균값을 구하면 f(a)와 f(b)를 연결한 선분의 중간에서 값이 나타납니다.

아래로 볼록인 함수는 이 선분의 아래쪽으로 함수가 그려집니다. 그래서 이러한 성질을 가집니다.

위로 볼록인 함수는 반대의 성질을 가지고 있으므로, 아래로 볼록이고 위로 볼록인 그래프를 직접 그려서 판단해 보는 것도 좋은 방법입니다.

224쪽 17번

면적을 계산할 때, x축에 대해서 적분을 할 수도 있고 y축에 대해서 적분을 할 수도 있습니다. 이 문제는 y축으로 면적을 계산했습니다.

22번 문제는 다시 확인해 주시기 바랍니다.

266쪽 1번

접근방법이 틀렸습니다.

정사각형의 한변의 길이는 2x가 됩니다. 그리고 x에 대해서 적분하는 것이 아니라, y에 대해서 적분을 해야 맞습니다. x축에 평행하게 단면을 자르기 때문에 자르는 단면이 y축을 따라 움직이지요.

269쪽

코사인은 감소하는 함수입니다. 그래서 0에서 시작하지 않고, 0로 거꾸로 가야 합니다.

항상 수고하십니다. 미방 질문좀 드릴게요 답변은 빨리 안달아주셔도 되니 자세히만 부탁드립니다..

1.p.52에서 밑에 루트 x제곱 + y제곱의 전미분을 소개하실때 루트 x제곱 + y제곱을 그냥 t라고 독립변수로 두고 따로 적분해도 된다고 하셨는데 , t가 y로 구성되있어서 y의 영향을 분명 받을텐데, 왜이렇게 해도되는건가요?

설명을 분명 들었는데 이해가 안되네요

2.p.55 대표 2 이거 그냥 원래 적분인수구하는 것 처럼 계산하면 안되는건가요? 계속 해봐도 파이의 분모가 0이 나와서요

3. p. 83쪽에 있는 것들처럼 물리에 관한것들 공식 숙지 해야될거 뭐있나요? 물리에 관한것만 나오며 되게 긴장하게 되서 아예 풀리지가 않네요. 

4. p. 97 유형 3번에 이 문제 자체가 되게 이해가 안되네요.

자명하지 않은 두 일차독립인 해가 뜻하는게 뭔지, 그리고 왜 이렇게 풀이하는지 w를 왜 미분하는지 

착안을 어떻게 하는건가요?

5. p. 103 이건 왜 론스키안으로 푸는건가요? 물론 선생님께서는 비제차로 풀어주셧는데 론스키안도 되있길래요.

6. 론스키안은 정확히 어떨떄 쓰는거라고 알아두면 될까요? 책에는 sec , cot, ln이라고 나와있고 문제 풀이하다가 선생님께서 뭐 지수함수랑 분수함수랑 섞이면 또 쓴다고 하셧는데 그밖에도 또 쓰는 경우가 있나요?

7. p.109에 유형 3번 이문제는 애초에 왜 급수형태를 도입해서 푸는 건가요? 단서가 있는건가요.? 다른 풀이는 없나요?

8. p.126에서 선생님께서 풀이해주신것말고 종속변수 소거법으로 몇번이나 풀었는데 계속 y1과 y2가 바껴서 답이 나오는데 왜그런건가요? 몇번이나 풀어봤는데 계속 같은게 나오네요. y1 y2바꾸면 답이 되긴한데

9. p.129에서 y의 특수해를 먼저구하고 x = (D+2)y -3t에 그냥 y의 특수해만 넣으면 x의 특수해가 나오는건가요? 왜이런건가요? y= yc+yp해야지 y가 되는거아닌가요?

10. 라플라스 변환에서 t축, s축이 정확히 어떤건가요? 공식같은거 숙지도 하고 쓸수도있는데, 이것의 정의를 모르니까 궁금하네요. 수업시간에도 그냥 t축 s축하고 그냥 넘어가신것같은데, 따로 그래프로 표현하는건가요? 

오늘 질문을 한꺼번에 많이 올렸는데. 괜히 죄송하네요 한번에 몰아해서; 그래도 답변 자세히 달아드릴거라고 믿습니다. 강의 정말 잘듣고 있고 많은 도움이 되고있습니다. 감사드립니다.

1. 치환적분의 일종입니다. 전미분 관련하여 치환을 이용하는 일은 극히 드뭅니다. 강의에서도 나와 있는 부분은 없구요. 이렇게 하는 방법도 있다는 설명입니다.

2. 완전제곱식의 형태로 바꿔서 적분인수를 구하려면 식의 형태가 바뀌게 되고, 완전제곱식의 형태가 되었다는 건 P와 Q가 있다는 말인데 파이가 0이 나올 수가 있나요? 계산을 잘못 한 것 같습니다. 다시 도전해 보기 바랍니다.

3. 물리에 관한 식은 어떤게 나올지 전혀 짐작할 수가 없습니다. 그래서 기존에 나왔던 문제들을 기준으로 그에 대한 내용들만 추가적으로 설명이 된 부분입니다. 학교들이 시험범위를 정해줄 때에도 물리에 대한 얘기가 없이 물리 문제가 출제되기 때문에 이에 대한 내용은 전혀 알 수가 없습니다.

4. 선형대수를 공부할 때 함수를 벡터로 나타내었을 때 일차독립인 것을 보이는 방법에 대한 얘기를 했었습니다. 그 얘기가 사실은 여기 론스키얀입니다. 론스키얀을 구하는 방법이므로 이 풀이 방법은 외워야 합니다.

5. 선형미분방정식을 푸는 방법은 한가지로 정해져 있지 않습니다. 미분방정식 한 문제에 여러개의 풀이방법이 존재한다는 얘기입니다. 그 중에 하나를 골라서 문제를 해결하면 됩니다.

6. 대수함수와 지수함수의 곱으로 이루어진 경우를 제외하고는 거의 모든 문제를 론스키얀을 이용해서 풀어주면 됩니다.

7. 분모가 이차식이므로 분자도 이차식일 확률이 높습니다. 그래서 급수해를 이용하면 계산할 수 있을 거라고 보면 됩니다.

8. 이 문제는 변수 소거법으로 풀면 보기와 같은 답을 구할 수 없습니다. 풀이에 나온대로 풀어야 정확한 답을 구할 수 있습니다.

9. 보조해라는 것은 말 그대로 보조적인 역할만 하는 해 입니다. 제차방정식에서 보조해를 가지고 오는 이유가 좌변에 보조해를 넣으면 0이 되기 때문입니다. 그래서 x의 특수해는 y의 특수해를 이용해서 구할 수 있습니다.

10. t축, s축이라고 하는 것은 우리가 흔히 사용하는 x, y축과는 다른 축입니다. 중적분에서 좌표변환할 때 처럼 x, y와는 또 다른 축이라고 생각하면 됩니다.

안녕하세요  적분 2 질문좀 드리겠습니다

1. 정확히 전미분은 어떤 경우에 사용하는 건가요? 오차 구할때 빼구요.

2. p.88 유형1에서 테일러 다항식을 이용하라고 했는데 마음대로 a=0인 테일러 다항식이라고 설정하고 매크로린 급수를 써도 되는건가요?

3. 라그랑지있잖아요. 정확히 메뉴얼화해서 알 수있을까요? 대충 방법은 알겠는데 매번 할떄마다 갈피를 못잡겠네요 뭐부터 체크하고 그래야할지요. 예를 들어서 x=0이 아닌걸로 먼저 가정하고 람다를 구하고 뭐 이런식으로 순서같은 게 없나요?

4. p.259의 유형 2에서 L3, L4는 어차피 L2와 L1과 각각 같은거랬는데. 이게 그냥 단지 경계선상만 따져서 되는건가요? 그러니까 예를 들어 L3랑 L2가 같다고 하신게 단순히 L3는 X가 0에서 2까지 이고 Y가 2고 L2는 Y가 0에서 부터 2까지고 X가 2잖아요. 근데 이것만 따져서 한건가요. 아니면 여기에 추가로 원래 f가 x와 y를 바꿔도 같으니까 이게 성립한건가요?

5. p.264 유형 1에서 구 내부에서 최대최소 값기는 쉽지 않다고 하셧는데. 그럼 앞으로 그냥 구에서 최대최소나오면 그냥 외부만 한다고 생각해도 되나요?

6. p.301 대표 1인데, 원래 그전에 배우기로는 아무리 적분구간이 -무한대에서 +무한대 까지라도 이거 두개를 같은 걸로 보면 안되고 따로 a b둬서 각자 무한대 보내야 된다고 배웠는데.(무한대라고 같은게 아니라고 하시면서요) 근데 여기서는 우함수라고 그냥 2곱하고 0부터 무한대까지로 고쳤는데 이럼 안되는거아닌가요?

7. p.309 유형1에서 계산할때 ln(x+1)dx를 적분하는데 dx를 그냥 d(x+1)로 해도된다고 하셧는데 그러면 적분값도      (x+1)ln(x+1)-(x+1)로 뒤에것도 x+1이 나와야 하는거아닌가요? 근데 풀이는 그냥 x로 되잇는데 왜그런거에요?

8. p.361에서 제일 마지막 그래프 이거 정확히 어떤 모양인건가요? 도저히 이해가 안되서.

9. p.376 유형1에서 F를 거치면 x,y가 u,v가 되는거니까 J는 x, y를 u,v로 미분해서 구성해야 맞는것아닌가요? 이 문제만 딱 이해가 안되서요 제가 알고있는 걸로.

10. p.384 유형1에서 이거 자체를 어떻게 착안해서 저렇게 치환하는지 도저히 모르겠어요. 왜 저렇게 치환하고 저러는지를.. 이부분을 배웠어도 저기서 조금만 꼬아서 내도 손도 못쓰고 못풀거같은데.. 어떡하면 될까요?;

11. 스칼라 함수랑 벡터함수가 정확히 뭔가요?

12. p.442에서 유형 4에서 이게 도대체 왜 준식을 포텐셜함수라고 생각하는건가요? 그 과정을 좀 알고싶어요. 바로 포텐셜함수라고 딱 하셔가지구.

13. 가장 중요한건데 제가 지금 중적분 중에서도 책으로 치면 5,6,7단원만 정말 제대로 5번이상을 봤는데 문제만 나오면 진짜 손을 못대겠어요. 풀이를 나중에 보면 되게 쉬운건데도 보면 바로 패닉이 온다고해야되나. 풀이를 아무리 보고 익혀도 막상 그때가 지나면 완전 아예 모르겠는데 어떡하면 좋을까요 진짜 미치겠네요 ㅋ

선적분도 원래 그랬는데 선적분은 그나마 나아졌는데 나머지들이 너무너무 힘드네요.; 

한번에 질문하려고 하니까 질문이 되게 기네요.. 그렇게 급하게 답변 안달아주셔도 되니까 귀찮으시더라도 답변 자세히 부탁드릴게요  감사합니다 

1. 전미분은 언제 사용해야 한다는 건 없습니다. 당연히 문제에서 전미분을 이용하라고 나오면 전미분을 이용해야겠지요. 편미분도 사실 전미분을 한 다음에 독립변수 간의 변화율 관계만 0으로 바꾸어 버리는 것입니다. 그래서 간혹 편미분을 하라고 할 때 전미분을 이용하기도 합니다.

2. 네. 맞습니다. x=0.1이기 때문에 0에 가깝습니다. 그래서 x=0인 테일러급수는 맥클로린 급수와 같기 때문에 맥클로린 급수를 이용해도 됩니다.

3. 라그랑지는 문제에 따라서, 사람에 따라서 잡는 기준이 다르기 때문에 순서를 정하기가 어렵습니다. 모든 경우의 수를 다 따져야 하기 때문에 기준을 잡기 어려운 것입니다.

4. 죄송합니다. 어떤 문제인지 다시 확인하고 질문을 올려주시기 바랍니다.

5. 네 맞습니다. 변수가 3개이기 때문에 그렇습니다.

6. 원래 정적분이라고 하는 것이 범위가 무한대가 들어갈 수 없기 때문에 a나 b로 바꾼 다음에 무한대로 가는 극한으로 바꿔서 계산을 했지요. 하지만, 결과적으로 마지막에 무한대를 대입해서 계산합니다. 그래서 계산할 때는 그냥 무한대로 두고 계산해도 됩니다.

7. 정적분에서 적분상수 c를 빼고 계산하는 것과 같습니다. 정적분 계산에서 상수는 어차피 사라지니까요.

8. 구와 원기둥의 만남을 생각하면 됩니다. 원기둥이 지름이 구의 반지름과 같을 때 두 도형이 어떻게 만나는지를 생각하면 됩니다.

9. 야코비안이라고 하는 놈은 x, y에서 u, v로 가는, 또는 u, v에서 x, y로 가는 어느 한 방향만 말하는 것이 아닙니다. 좌표변환이 일어날 때 변하는 정도를 그냥 야코비안이라고 하는 것입닌다. 선형대수에서 도형을 선형변환했을 때 행렬식을 곱해주는 것과 같습니다. 여기서는 선형변환으로 잘 생각해보면 됩니다.

10. 인테그랄 안에 있는 식에서 유추해 내야 합니다. 적분이 가능하도록 치환합니다. 다양한 문제를 통해서 연습을 많이 해보시길 바랍니다.

11. 스칼라 함수는 f(x, y, z)=2xy+x+ycosz처럼 우리가 흔히 알고 있는 함수식을 생각하면 되고,

벡터함수는  f(x, y, z)=(x^2y, 2yz, z) 처럼 벡터의 형태로 나타낸 함수식을 생각하면 됩니다.

12. 어차피 주어진 식을 미분한 다음에 적분해서 계산하겠지요. 그럼 다시 이 식으로 돌아옵니다. 그래서 포텐셜함수입니다.

13. 이 부분이 가장 어려운 부분이 맞습니다. 문제 유형을 익혀야 합니다. 문제 유형별로 사용되는 공식이 어떤 것인지를 구분해서 문제를 해결하는 것이 좋습니다.

안녕하세요 적분1 질문좀 드릴게요.

1. p.60에서 대표 3번, 2번보기가 도저히 이해가 안되네요.

  설명해주실땐 감마(n+1)=n*감마(n)에서 여기에서 감마(n+1)을 In이라 두고

   감마(n)을 I(n-1)이라 둔다고 되어있는데, 그러면 감마(n)앞의 n도 자동적으로 n-1이 되야되는거아닌가요?

2.p.248에서 대표 2번, 해설하실때 t = V/(V/T)라고 하시고 V/T(분모 T, 분자 V)를 3이라고 하셨는데 

   문제에서 나와있는 건 dv/dt가 3아닌가요? dv/dt를 v/t라고 할수가 있는건가요?

3. p.289 대표 4에서 중심 중적분으로 구할 순 없나요? 구하면 어떻게 하면될까요?

4. p.232 대표 2에서 왜 그전에 하던것 처럼 해면 왜 안되는건가요? 그리고 정확히 "어떤 때에" 이런식으로 y와 x를 바꾸고 이런식으로 하는건가요?

5. p.260에서 개념으로 생각을 하면 곡선을 회전시킨게 더 크고, 거기서 직선을 회전시킨걸 빼야지 원하는게 나올거같은데... 왜 대체 항상 위에서 아래껄 뺸걸 회전한다고 생각하는건가요? 일부러 위에서 아래꺼 뺀거 회전해야한다고 생각은 하고잇는데, 이해가 안되서요..

강의 잘듣고있습니다 감사드립니다 수고하세요!

1. 감마와 I에 대한 관계로 보는 것이 아니라, 감마함수의 정의로 봐야 합니다.

Γ(n+1)=nΓ(n) 이고, Γ(n+1)=I_n 이기 때문에 Γ(n)=I_n-1 이 됩니다.

그러므로  I_n = n×I_n 이 됩니다.

2. 혹시 빨리 돌려보기로 보신건가요? 강의에서는 3이라는 것을 V/t라고 하였습니다. 물이 들어가는 속도를 의미하면서 말하였습니다. 강의를 다시 참고하시기 바랍니다.

3. 같은 공식입니다. 평면에서 회전을 이용하여 평면을 공간으로 만들었을 때와 공간 곡면에 대한 공식이 주어졌을 때로 나뉠 뿐이지, 같은 공식입니다. 중적분을 이용해서 계산하려면 공간곡면에 대한 식으로 바꿔야 합니다.

4. 계산이 안될 때, 이렇게 바꿔줍니다. 계산이 되면 어떤 공식으로 계산을 해도 상관 없습니다.

5. 개념으로 생각을 해도 위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 빼는게 맞습니다. 면적을 구할 때 위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 빼는 것과 마찬가지 입니다.