225p 5,6

5번 해답 2번째 줄에서 3번째 줄 넘어가는 과정에서요

2번째줄)-y/x² / (√1 - y²/x²)  *2u    + 오른쪽 식

3번째줄)=-y/(√x²-y² )* 2u     +  오른쪽 식

라고 되어있는데  2번째줄에서  *x 를 해줘서 3번째 줄이 나온거 아닌가요?

그렇게 되면 3번째 줄에서

(-y/x)/(√x²-y² )* 2u 이런식으로 나와야 하는거아닌가요?

6번 에서는 2번째 식에서 3번재 식으로 넘어가는 과정을 못하겠네요 ㅠ

2rsin2∂ * x/√x²+y² + 2r²cos2∂ * -y/x²+y²

= 4x²y/x²+y²  - 2(x²-y²)y/x²+y² 이 부분이 어떻게 되는 건지가 궁금합니다 ㅠ 

228p 18 

야코비안 행렬은 공학수학 책에 나와있는건가요?

house holder matrix 라는 행렬도 있던데

위 두 행렬은 공학수학 책에 나와있는 건가요? 

249p 19

법선벡터 x=(-1 , 0 , -1)

접선방향비 y=( 1 , 1 , 1)

에서 두 벡터의 cos 을 구하려면 내적을 해줘야하잖아요

내적이 cos∂ =x o y/lxllyl 여기서

cos은 예각이 나와야 하므로 x o y 에 절댓값을 씌워 주는거 아닌가요?

그래서 답은 2/√6 = √ 2/√3 이렇게 양수가 나와야하는거 아닌가요?

여기서는 왜 음수가 나오는거죠?

1) 편도함수에 있고요. house holder matrix는 행렬에 있습니다.(한양대 한 번 나왔습니다.)

2) 249쪽 19번 문제는  예각을 구하는 것이 원칙이나 둔 각도 각이므로 표현 된 것에서 구하여야 합니다.

그래서 음수로 표현한 것입니다.

제가 정말기초가없어서 질문또합니다..

제가 이해를못하고있는건지..

유형48에 실전문제 2번입니다.

3번중적분을하는대

순서가 dx dz dy 이 순서인대,처음에 dx가나왔는대

x가없는대 왜 y를 미분하는지 아니면 미분을안하고 다른걸한건가요?

처음 적분했을때 ye^y^2(Z^2+1) 여기말하는겁니다. 처음적분했을때.

중적분 적분변수 이외의 변수는 상수취급합니다.

그런에 x에 대한 적분이 아무 것도 없으므로 적부눅간의 상한에서 하한을 빼면 y 가나옵니다.

먼저 1변수 음함수 공식에서

u = f(x,y) = g(x)

du/dx = eu/ex*dx/dx + ey/ex*dy/dx   (e 는 라운드라고 하겠습니다)

여기서 dx/dx = 1 이므로

ey/ex + ey/ex*dy/dx 가 나오는데요

여기서 dy/dx 또한 y 와 x 는 서로 독립변수이므로 0 이 되는거아닌가요? 왜 안없애고 놔두는 거죠?

2변수 음함수 공식

u = f(x,y,z) = g(x,y)

ey/ex = eu/ex*ex/ex + eu/ey*ey/ex + eu/ez*ez/ex

에서 ex/ex = 1 ey/ex = 0 이라고 했는데 여기서는 왜 0이 되는거죠? ( 음함수에서는 0 이 아니었습니다)

그리고 ez/ex 를 살리는 이유는 z는 x,y 에 종속이기 때문에 살리는건가요?

y가 x의 함수이나 표현이 힘들어 f(x,y)=0 로 표현한 것이 음함수입니다. 따라서 y는 x의 함수 입니다.

2변수 함수의 음함수에서 f(x,y,z)=0에서 z이 x,y함수이므로 x와 y는 독립변수 입니다.

상황(조건)에 따라 다른 것입니다. 조건에서 y는 x의 함수일 때와 y는 x의 함수가 아닌 독립변수 일 때 가정을 달리하는 것입니다. 

50분 ~ 50분 50초 까지 동안의 질문입니다.

교수님 께서 케일리헤밀턴의 정리에 의해 f(A)=(A-3I)제곱 x (A-5I) = 0 이라고

하시며 rank(A-3I)제곱 x (A-5I) = 0 이라고 하셨는데

어떻게 해서 이런 결과가 나오는지 이해가 되질 않습니다.

f(A)=0 이 것이랑 rank=0 인게 무슨 관계인지도 이해가 안되네요

설명 부탁드립니다.

다음부터는 책의 페이지를 알려주셔야 답을 할 수 있습니다.

질문의 보면 케일리 해킬턴 정리는 f(L)=|A-L I|에서 (여기서 L은 고유치 람다 표현)

L 대신에 A를 대입하면 즉 f(A)=|A-LA I|=0 입니다.

그래서 영행렬이므로 행렬의 rank를 0이라 한 것입니다. 

유형문제 1번에

fxy값을구할때 -2x가어떻게나온건지 잘모르겠습니다.

편도함수는 미분하는 변수 이외에는 상수  취급하고 미분하는 것입니다.

f=2x^2 +y^2 _ x^2 y

f_x = 4x - 2xy  -> f_xy = -2x 가 나옵니다.

잘 이해가 않되면 다시 편도함수 부분을 보시기 바랍니다.

유형45번 입니다.

p.349에서 (3)추이행렬에서 기저{f}에서 {e}로의 추이행렬을

P에다가 위쪽에 f, 아래쪽에 e라고 적혀있습니다.

p.361의 유형학습에서 [T]라고 적혀있고 위쪽에 β, 아래쪽에 α 라고 적혀있습니다.

그렇다면 기저{β}에서 {α}로 변환시켜줘야한다는 의미 아닌가요??

따라서

행렬표현에 따라

T(w1,0,0) = 0(0,1,1) + 1(1,0,1) -2(1,1,0)

T(0,w2,0) = 1(0,1,1) + 2(1,0,1) +6(1,1,0)

T(0,0,w3) = 1(0,1,1) + 7(1,0,1) +0(1,1,0)

이렇게 되구..

β={w1,w2,w3}로 표현되는 것을 T를 통해 α={(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}로 바꿔서

a(0,1,1)+b(1,0,1)+c(1,1,0) 꼴로 표현해야하는거 아닌가요??

-------------------

아니면 행렬표현이 [T]라고 적혀있고 위쪽에 β, 아래쪽에 α이 아니라,

위쪽에 α, 아래쪽에 β 가 맞는 것인데 반대로 인쇄된건가요??

추이행렬은 다른 변환에서 또 다른 변환으로 갈 때 그 변환을 표현하는 행렬 표현 입니다.

기저 alpha 에서 beta로 가는 변환이면 A_말파^베타 라 해야 됩니다.

p.349에서 (3)추이행렬에서 기저{f}에서 {e}로의 추이행렬을

P에다가 위쪽에 f, 아래쪽에 e라고 적혀있습니다. f와 e가 바뀌 었습니다.

풀이과정중 람다=-1 일때

x+2y-z=0 에서 X1=(1,0,1) , X2=(0,1,2) 이 어떻게 되는 지 이해가 안되네요

교수님께선 되도록 0을 넣고 숫자를 낮추라고 말해주시고

X1에선 x변수에 1을 넣으시고, X2에서 x변수에 0 을 넣으 셨는데

왜 둘이 다르게 대입하는지도 잘 모르겠습니다.

비례관계가 계속 이해가 잘 안되네요

상세한 설명 부탁드립니다. 되도록 구체적인 예시를 들어주시면 정말 감사 하겠습니다.

평면의 방정식을 생성하려면 두 개의 기저가 필요합니다.(1차 독립인 두개의 벡터)

그래서 x+2y-z=0 을 만족하는 영이 많이 들어간  1차 독립인 벡터를 임으로 X1=(1,0,1) , X2=(0,1,2) 놓은 것입니다. 

다른 것으로 놓아도 됩니다. 즉 x_1 =(2.4,10), x_2 =(3,2,7) 그러나 이 렇게 잡으면 직교행렬을 구할 때 계산이 복잡하므로 간단히 잡은 것입니다.

가역행렬에서 주대각원소를 제외한 나머지원소들을 모두 0으로

만들어주면 대각행렬이 되나요?

교재에선 이런 설명이 없는데 교수님께서 문제를 푸시면서

이런 과정으로 푸시는것 같아서 질문드립니다.

참조 299쪽과 300쪽 참고하시고요.

대각행렬은 고유치를 주대각선원소로 같는 행렬입니다. 나머지 원소는 모두 영이고요.

각역행렬은 이용하여 구하려면 D=P^-1 A P를 이용하여 구하여야 합니다 이 때 P는 고유벡터를 열로 같는 가역행렬 입니다.

이

p128 44번문제인데요

해설에서

이것이 x+y-1=0과 일치하므로 에서 그다음 과정이 어떻게 나온건지 잘 모르겠습니다.

자세히 설명해주세요~~

두 직성이 일치하려면 계수의 비가 같아야 해요.

즉 x,y 및 상수 앞의 계수 끼리 나눈 비가 같아야 해요.

비로 계산 한 것입니다. 그냥 같다고 하면 않됩니다.

비례관계에서 헷갈리는 부분이 있어 질문드립니다.

해설부분에서 람다가 1일경우 x+y=0 이 되어 x=-y 가 되는데 여기서

비례관계로 표시할때 해설처럼 벡터 (1, -1) 로도 표현되지만 반대로 벡터 (-1,1)로도 표현 될수 있는것 아닌가요

x=1을 기준으론 y=-1 이 될 수 있고, 반대로 y=1로 기준으로 하면 x=-1 이 될 수 있는데

정확히 어떤 방식인지 궁금합니다.

어떻게 해도 됩니다. 벡터는 실수배가 들어가므로 어떻게 해도 답니 되나

직교행렬을 구하기 위해서는 cos세타>0이 되도록 부호를 정해주어야 합니다.

참조 직교행렬(315쪽 맨끝)

갑자기 편적분이 나오는데 편적분은 어디서 배우는건가요?

편적분의 부분은 없고요.

1변수함수의 미분의 역이 적분이듯이

다변수함수의 편미분의 역이 편적분이라 합니다. 다시 말하면 중적분과 같은 개념이라 보시면 됩니다.

중적분을 할 때 그 변수이외의 변수는 상수 취급하여 적분을 하듯이 편적분도 그렇게 적분하시면 됩니다.

20강 (7분10초~20초) 질문이 있습니다.

(교재 페이지: p.313의 (2)행렬이 양정치가 될 조건)

보통은 (모든 고윳값들의 곱=그 행렬의 행렬식)이 성립하는 것은 알고 있었습니다.

-그런데 (원래 행렬식이 nxn이며, n>=m일때)

왜 '부분대각행렬식(mxm일때)=m개의 고윳값들의 곱' 이 성립하는거죠??

(증명 부탁드려요 될까요..)

-그리구 부분대각행렬식의 정의가 무엇인가요?

1) P313 참조 :

                       고유치의 곱이 행렬식의 값이므로

                       고유치가 하나인 경우는 1차 정방행렬의 행렬식의 값이 양이다.

                        고유치가 두개인 경우는 2차 정방행렬의 행렬식의 값이 양이다.

                        고유치가 세개인 경우는 3차 정방행렬의 행렬식의 값이 양이다.

   즉 주대각행렬식의 값이 모두 양이면 됩니다.

2) 부분대각행렬 : 주대각선 원소를 행렬로 갖는 행렬 입니다. 313쪽 참조하세요.

19강 40-42분 사이 질문이 있습니다.

rank(A-3I)를 통해 중복도를 알수있다고 하셨는데, 잘 이해가 안 갑니다.

rank를 통해서 A의 (대수적) 중복도를 알수있나요?

그리고 기하학적 다중도(중복도)에 대해서도 질문이 있습니다.

책에서 보면 λ=α에 대응되는 1차독립인 고유벡터의 수를 기하학적 다중도라고 적혀있더라구요.

이게 무슨 뜻인지 잘 모르겠습니다.. 예시를 통해 설명부탁드려요

rank(A-λE)가 (λ=α 일 때) 그럼 곧 기하학적 다중도라고 해도 되나요??

1) 중복도는 고유다항식으로 고유치의 중근이 몇개 인가로 판단 할 수 있습니다.(P302쪼 참조)

    rank를 가지고 대수적 다중도를 알 수 없습니다.

2) 벡터방정식 AX=LX (L이 고유치, X고유벡터)일 때 해가 ㄱ고유벡터이므로 이연립방정식의 해의 독립인 것의 개수 즉

   rank(A-3I)X=0에서 차원 정리를 이용하여 고유벡터의 차원을 구하면 됩니다

3) rank(A-λE)가 (λ=α 일 때)은 기하학적 다중도 아닙니다.

    기하학적 다중도는 = n - rank(A-λE) 입니다.

2x-6 = 4-y = z-6

에서 x의 계수가 2 이므로

2로 나누게 되면

x-3 = (4-y)/2 = (z-6)/2 에서

방향비가 1.-1/2,1/2 가 나오는거 아닌가요 ?

어떻게 1/2 , -1 , 1 이 나오게 되는거죠?

x-3 = (4-y)/2 = (z-6)/2 에서

방향비가  1.-1/2,1/2 가 나오는거 아닙니다. 분모의 계수비 입니다. 1 : -2 : 2 입니다.

책(235쪽 참고하세요.)

1/1-t(j) = 1/(1-t(1) ... 에서 통분을 시키면

(1-t(1)) .... (1- t(n-1))

-------------------

(1-t(1)).......(1- t(n))  이라고 나와있는데

분자에서는 왜 (1- t(n-1)) 까지만 해주는거죠?

그리고

푸리에적분 뿐아니라

다른 복소수 부분만 모아서 따로 강의해주지는 않나요?

통분은 분모는 분모들의 최소 공배수로하고 분모에 없던 항은 분자에 곱해주면 됩니다.

예를 들어 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac+ab)/abc을 이용하면 그 식도 그렇게 됩니다.