해답을 보면 (220p 37번 문제  밑에서 5번 째줄 )

∑(n=0~∞) (n+2)(n+1)a_(n+2)x^(n+2)

= ∑(t=2~∞) (t-1)(t)a_(t)x^(t)

= ∑(n=2~∞) (n-1)(n)a_(n)x^(n) < 여기서  밑에 줄 처럼 n 의 범위를 0부터로 잡아줄 수 있었던 이유가 뭐죠?

= ∑n=0~∞)  (n-1)(n)a_(n)x^(n)    

n = 0 일때와 n=2 일때의 값이 다르게 나오는데 잡아줄수가 있는건가요??

급수는 상수항을 포함해야 하므로 일반적으로 0부터 시작하는게 맞습니다.

n=2부터 시작한다면 Σ안에 있는 모든 n들도 같이 바뀝니다.

1.284p 에서 면적의 질량중심이랑

  285p 맨 위쪽 에 1,2 번 두 공식이 뭐가 다른거죠??

어떤 경우에 284p 의 면적의 질량중심의 공식과 285p 상단 1,2번의 식을 구분해서 써야하죠?

(어떤 문제는 284p 의 면적의 질량중심 공식을 사용했고 어떤문제는 285p 상단 1,2번의 공식을 사용했음)

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그리고 288p 유형3을 보면

이 경우도 285p 의 상단 공식  ,  284p 면적의 질량중심 

두 공식을 각각 사용하여 풀이를  했더라고요

이처럼

모든 질량줌심의 문제를 285p 상단의 1,2번 식에 관계없이

284p 면적의 질량중심 공식처럼 풀면되는건가요?

이 부분이 적분 쪽에서는 마지막 궁금점입니다 ㅠ 

같은 공식입니다. 284쪽에 나와있는 공식은 개념적인 적이고, 285쪽의 공식은 그 개념을 실제화한 공식입니다.

416쪽에 대표기출3 과 그밑에 유형학습1번

두개의 차이점을 잘 모르겠어요

푸는방법은 완전히 다른데

대표기출문제의 뜻이 uv 좌표에서 매개곡면의 넓이인가요?

그리고 밑에 유형학습 문제는 S 곡면 위에서의 벡터함수 F 의 곡면의 넓이를 말하는건가요?

대표기출유형은 단순히 그냥 계산문제입니다.

유형학습1은 벡터장이 곡면에서 하는 일의 양이라고 보면 됩니다.

392페이지 대표기출유형3

문제가 삼중적분이고 1/x2+y2+z2 이껴있잖아요

이것이 의미하는바를 잘모르겠어요..

삼중적분은 그냥 부피를 의미하는건데 저식이 끼어잇는것까지 뭘의미하나요?

정적분이 항상 면적을 나타내는 것은 아닙니다. 여기서도 중적분이 꼭 체적을 나타낸다고 할 수는 없죠.

중적분 안에 있는 함수가 아무런 의미가 없다면 그냥 단순한 계산문제입니다.

페이지 97쪽에 명제 참거짓 유형에서

"정방행렬A 의 행들이 독립이면

AAt(전치) 는 가역이다 "

라는명제가 왜 참인가요?

행렬 A가 가역이면 행렬식값이 0이 아닙니다.

행렬 A의 행렬식과 전치행렬의 행렬식값은 같습니다.

그러므로 주어진 행렬 AA^t의 행렬식값은 0이 아니므로 가역입니다.

y²+z² = a² 의 곡면적이고 x² + y² =a²  이 범위이므로

z² = a² - y²

에서 z를 y로 편미분 해줘서 계산해주면   ( 566p 해답의 2번쨰 줄입니다)

∬√  1+(-y/z)²+0  이 되어야 하는거 아닌가요? 해답에는 (-x/z)² 로 되어있던데 어떻게 해서 x가 되는거죠? 

네 맞습니다. x와 y가 원을 만들고 있으므로 답에는 변화가 없지만, x가 아니라 y가 와야 합니다.

공부하는데 혼란을 드려 죄송합니다. 잘못된 부분 적극 반영하도록 하겠습니다.

412p (4) 을 보면

∬ ll X_u x X_v ll dudv 라고 되어있습니다

그리고 415p 유형2번을 보게되면

ll X_u x X_v ll 해준값이 √5 r 이 나왔고

적분변수 dudv  가 극좌표계로 drd세타 로 바꼈는데

직각좌표계를 극좌표계로 바꿔줄 때는 dudv = " r " drd세타 이런식으로 바꿔주는게 아닌가요?

왜 r을 안붙였는지가 궁금합니다 

즉  ∬√5 r² 이 되야하는거 아닌가요?

여기서 r과 θ의 매개변수로 바꿔준 것입니다. 좌표변환에 의한 계산이 아니라, 매개변수로 스칼라함수를 벡터함수로 바꿔줄때는 야코비안을 사용하지 않습니다.

이 페이지 밑에서 2개 그림을 보면

두개다 ∫0~ㅠ 까지로 해줬던데          (ㅠ = pi)

왜 ㅠ 가 되는거죠?

r = acos세타   ( 1.0 ) 에서 반지름이 √a 인 원인데 0~2ㅠ 로 해줘야하는거아닌가요??

원의 중심이 원점에 있을 때만 주기가 2파이 입니다. 한쪽으로 치우쳐 문제처럼 나타날때는 주기가 파이 입니다.

안녕하세요 교수님

24강을 듣다가 질문드려요..

문제풀이에 대한 질문은 아니고

344쪽 유형학습 1 선형변환 L o L 문제가 아직까지는 안나왔는데 나올가능성이 높다고 하셨는데 혹시 올해 시험에 이게 나왔었나요??

그리고 선형변환이란 단어를 계속 합성변환이라고 말씀하셨는데 선형변환이라는 말하고 합성변환이란 말은 같은 말인가요?

유형학습 2 문제도 2013년도에 처음 나왔다고 하셨는데 이 문제가 어느학교 기출문제 인가요?? 학교 이름이 안나와있어서 궁금하네요.

그리고 이 처음 나온 유형도 2014년도에 또 출제된 학교가 있나요??

상의 면적을 구하는 문제는 나온 적이 있지만, 아직까지 선형변환을 두 번 이상 해서 구할 수 있는 상의 면적 문제는 나온 적이 없기 때문입니다.

어느 학교에서 나왔었는지는 지금 당장 기억은 나지 않네요. 기출문제를 풀다 보면 만나게 될 것입니다.

주기가 2 인 주기함수 f 가 구간 [ -1 , 1) 에서

f(x) 

{  1  -1 ≤ x  < 0

{  x   0  ≤ x  < 1

로 정의될때 푸리에 급수를 이용하여 무한급수

1 + 1/3² + 1/5² .... ( tan1) 을 구하는 문제인데요

정리를 해주면

f(x) = 3/4 + ∑ [ { 1/n²x² ( cosnpi - 1 ) }cos(npi) + 1/npi sinnpi ] 가 나오는데요

여기서 연속인 점 x= -1 을 대입시킨다는데

x 가 -1에서 연속인거를 어떻게 알았죠?

이 문제는 중앙대학교 13년도 17번 문항입니다

주기함수를 이용해서 주어진 f(x) 를 그려보면 주기함수 라는 걸 알 수가 있습니다.

그리고 x=-1을 대입하지 않는다면 주어진 문제를 해결하지 못하겠죠.

월리스공식 기억이 안나서 그러는데 교재 몇페이지에 잇나요?

적분학1 51쪽 부터 나옵니다.

행공간 열공간에서

행공간의 차원을 행렬의 계수라 한다고 하는데 여기서

스타편입 수학책 256 쪽 열공간의  차원은 행공간의 차원과 같다 라고 있는데

만약 예를 들어서

3 4 1 0

2 2 9 1

3 5 1 4

란 행렬이 있 다고 가정하면

제 생각엔 열이 4개니까 열공간의 차원은 4고

행은 3개니까 행공간의 차원은 3이 되지 않나요??

이게 아니라면 왜 아닌건가요?

제 생각엔 아닌 이유가 아마 열중에 종속인 열이 있어서 인거 같은데( 맞는 건지 잘 모르겠습니다 ㅠ) 

열끼리 종속 독립인지 찾으려면 어떻게 해야 찾을수 있나요??

내적을 해서 구하는건지 열연산을 통한 랭크를 구해서 구하는건지..;; 자세히는 모르고 두루뭉실하게만 알아서

헷갈림만 커집니다 ㅠㅠ강의에서는 이런거에대한 설명이 없으셔서.. ㅠ 자세한 답변좀 부탁드리겠습니다.

혹시 행렬 강의는 듣지 않았나요?

랭크 계산은 기본행 연산(교재 32쪽)을 통해 이루어집니다.

그리고 행렬의 랭크는 교재 5장에서 다뤄집니다.

벡터에서 사용되는 많은 내용들이 행렬에서 공부한 행렬의 연산을 바탕으로 이루어 집니다.

행렬을 공부하지 않고 벡터로 넘어갔다면 행렬을 모두 공부한 다음에 벡터로 다시 넘어가길 바랍니다.

페이지 457 대표기출유형1

 스톡스정리 curlF 도트 n dS 를 정리하면

 curlF 도트 (-fx-fy,1) dxdy 가 되잖아요

그런데 이문제에서 좌표공간이 구 x2+y2+z2-16=0 음함수로보고

음함수의 법선벡터 구하는 방법으로해서 ( 2x , 2y, 2z ) 이라고 보고 풀면 왜 안되나요??

면적분에서 벡터n은 단위벡터입니다.

그리고 (-fx-fy,1)로 두는 이유가 z=f(x, y)로 두기 때문에 ( 2x , 2y, 2z )로 두면 풀이 방법 자체가 달라집니다.

안녕하세요 교수님

고유벡터의 실수배에 대해서 질문드립니다.

320쪽 유형학습 7에서

문제 풀이과정중

람다 = 3 일때

2x+2y = 0 에서

u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 인데 여기서 u1 은 원래 고유벡터가 실수배가 있어서 -로 부호를 바꿔도 관계가 없다( 22강 44분 18

초) 라고 하셨는데 그 앞에서도 고유벡터는 실수배가 가능하다고는 말씀해주셨지만 이게 정작 왜 실수배가 가능한지에 대

해서는 자세히 설명을 안해주셔서 그냥 받아들이기가 찜찜합니다.

왜 고유벡터는 실수배가 가능한건가요??

실수배가 가능하다면 그렇다면 u1 이 ( 루트 2 분의 1 , - 루트 2 분의 1 ) 실수배 -1 말고도 2를 하든 3을 하든 문제를

풀이하는데 있어서 영향이 없는건가요?

x가 고윳값λ에 고유벡터라면 Ax=λx를 성립합니다. 고유벡터에 실수(a)배를 해주면

A(ax)=a×Ax= a×λx=λ(ax) 가 되어

ax도 고유벡터가 됨을 알 수 있습니다.

p315에서의 회전각 공식에는

1/2 역함수 tan 2b/a-c 라고 되어있지만, p319 와 p320  해설에서의 공식은 2b가 아니라 그냥 b가 쓰여있어서

무엇이 정확한건지 헷갈립니다.

p319에서는 2b=루트3 이라고 하고 b=루트3/2 라하여 풀면 답과 같지만,

p320에서는 2b=4라 하고 b=2 라하여 풀면 문제의 풀이와 달라지네요.

회전각 공식을 잘 사용하지는 않습니다.

공식보다는 이차형식으로 변형한 다음에 각도를 구하는 연습을 많이 해두시기 바랍니다.