p.376 1번 풀이에보면

S(t)의식이 어떻게해서 PR길이의 제곱과 PQ길이의 제곱의 차가 QR의 제곱으로 나오는지 궁금합니다 

S(t)인 단면적을 z축의 길이로 적분하면 부피인것은 알겠으나 

단면적S(t)를 어떤원리로 저런식을 도출한지 모르겠습니다.

회전체의 부피의 단면은 원입니다.

회전체의 입체를 볼 때 축에서 부터 거리가 가장 긴 것에서 가장 짧은 것을 돌린 회전체를 구하면 되므로

pi{(PR)^2 - (PQ)^2} 로 구하면 됩니다.

PQ 와 QR 이 직각이므로  피타고라스 정리를 이용하여  (QR)^2 가 된 것입니다.

이차곡선에서 대각행렬을 구하기 전에 고유벡터를 구하기위해 고유치를 구하는데, 고유 방정식(혹은 다항식)을 통해 고유치를 구한 이후에 식을 전개했을 때, 우변이 0이 아닌 경우 고유치를 대입하여 행렬을 풀어쓰면 우변이 어떻게 되는 지 궁금합니다.

21강에 나오는 문제, 이차곡선 q(x)=5x^2-4xy+8y^2-36=0 에서 

q(x)는 X전치AX로 표현 가능하고 이때 A는 a11=5, a12=-2, a21=-2, a22=5 로 표현이 가능합니다.

그리고 고유 방정식은 (lamda-9)(lamda-4)=0 가 되어서 고유치는 9 또는 4가 됩니다.

교수님께서 9,4라는 람다를 가지고 수식을 전해하실 때 다음과 같이 진행하셨습니다.

1)lamda=9인경우

a11=5-9, a12=-2, a21=-2, a22=8-9 

5-9 -2 x 36

x =

-2 8-9 y 36

따라서 -4x-2y=36

          -2x-y=36

우변을 36이라는 이차형식의 우변 상수를 그대로 적으셨습니다.

물론 앞선 강의에서 대각행렬 D는 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2로 전개된다는 것은 증명했으나,

-4x-2y=36 -2x-y=36 이렇게 놓고 실제로 P를 구하고 아래와 같은 형태가 됩니다.

D=P역행렬AP로 구하면 실제로 대각행렬이 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2 와 같이 나오는 지 궁금합니다.

답을 내는데는 큰 문제가 없을 것 같은데, 수학과 편입 준비중이라 증명 과정까지 확인중에 질문 드립니다.

답변 부탁드립니다. 고맙습니다.

고유벡터를 구할 때는 lamda=9인 경우에 우변이 36 36이 아니라 0 0으로 해야 맞습니다.

그 연립방정식을 만족하는 x y를 구해서 고유백터를 구하고

lamda=4인 경우에도 똑같은 방법으로 고유벡터를 구한 다음 순서에 맞게 열로 써서 행렬 P를 구하시면 됩니다.

D=P역행렬AP 를 구해보면 실제로 대각행렬이 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2 으로 나옵니다.

선생님께서 z축 중심으로 정사영시키셨고 z=1로 정사영을 내리셨는데요, xy평면으로 정사영 내려도 결과값에는 변화가 없나요? 저는 방법을 통일시켜서 xy축으로 내리는게 조금 더 편할 것 같아서요.

z=1 로 정사영시키지 않고 z=0 즉 xy 평면에 정사영 시켜 계산하여도 값은 동일합니다.

e^x + xy + xy +e^(-y) = c 에서 xy항 하나를 소거해서 e^x + xy +e^(-y) = c가 되는 것이 이해되지 않습니다. 왜 소거되는 거죠??

f_x 를 x로 적분하고 f_y  를 y로 적분하여 포텐셜 함수 f 를 찾는것인데

x와 y가 같이 있는 항은 f_x 와 f_y 두 곳에 다 포함되므로 중복됩니다.

따라서 포텐셜 함수를 구할 때 중복되는 것을 하나 제거합니다.

밑에 질문을 잘못해서 다시 질문드립니다 ㅠㅠ (수정이 안돼서 다시 게시글 올립니다 ㅠㅠ 죄송합니다...ㅠㅠ!) 블록행렬의 경우, 대각선 방향으로 0이 있을 때는 행렬식, 고유치를 구할 때 나머지 정방행렬의 행렬식, 고유치를 각각 구해서 곱하고, 역행렬의 경우에는 나머지 정방행렬 부분의 역행렬만 따로 구하면 되고, 0이 있는 부분이 한 군데 일 때는, 나머지 정방행렬 중 대각선으로 된 부분에서만 행렬식, 고유치를 각각 구해서 곱하고, 역행렬의 경우 그 부분에서의 역행렬만 구하면 되는 것이 맞나요 ... ? ^^

행렬식에서는 영행렬의 위치에 따라 부호 차이가 있으며

역행렬에서는 영행렬이 하나 있는 경우 말씀하는 그 부분이 어딘지 모르겠으나

영행렬을 제외한 나머지 두 부분에는 역행렬을 구하며

영행렬이 있는 대각선의 나머지 한 부분에는 조금더 복잡한 행렬의 곱이 들어갑니다.

선형대수학 p58, p98 에서

블럭행렬의 행렬식과 역행렬 구하는 공식을 참고바랍니다.

블록 행렬에서 행렬식이나 역행렬을 구할 때, 0으로 된 부분이 한 곳이든 두 곳이든 그 부분을 제외한 나머지 정방행렬의 행렬식과 역행렬을 각각 구해 곱해주면 되나요?

위에 답변하였습니다.

선형대수 58번에 0을 제외한 나머지 부분의 블록은 정방행렬이 되어야 하는 것이죠?:)

네 맞습니다.

보기 (다)에서 고유치가 실근(2) 이랑 허근이 나왔는데 실근인 고유치 2가 존재하니까 대수적 다중도를 1로 보고 고유치가 2인 경우에서 기하학적 다중도를 구할 수는 없는건가요? 허근이 존재하고 실근이 존재할때 실근이 중근이 아니기 때문에 대각화 불가능한 것인가요? 그냥 실근의 다중근과 관계없이 고유치에 허근이 존재하기만 하면 대각화 불가능인 것인가요

어떤 고유치의 대수적다중도가 1이면 기하학적다중도도 항상 1입니다.

실근이 중근이 아니기때문이 아니라 고유치가 허근으로 나왔기 때문에 실수체 위에서 대각화가 불가능한것입니다.

교수님 선형대수 34번에 a,b,c가 평면 위에 있으니까 대입해서 바로 답이 0이라고 찾아도 되나요?

네 가능합니다.

독립변수가 아닌 변수를 종속변수라고 부르기도 하나요?

ex)

벡터 공간의 원소를 가지는 벡터의 집합 s={v1,v2,v3,..,vn}있다고 가정하였을 때,

집합 s의 rank가 k라고 가정하면 k개의 벡터는 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다는 것을 의미합니다.

그러면 n-k개의 변수는 독립변수가 아니라는 것인데 이를 종속변수라고 부르기도 하나요?

벡터들을 변수라고 보긴 어려울 것 같습니다.

z= f (x, y) 인 경우 x, y 를 독립변수 그에따른 z 를 종속변수라 얘기하며

벡터의 독립종속은 관계를 얘기하는 것입니다.

v1 과 v2 가 독립관계라도 v3 가 포함되어 v1, v2, v3 가 종속관계가 될수 있습니다.

null(A)는 해공간인가요 해공간의차원인가요? P264에서는 차원이라 적혀있고 P265에는 공간이라적혀있어서 헷갈려요

null(A)는 A의 해공간입니다.

nullity(A)가 A의 해공간의 차원입니다.

라운드가 들어간 분수가 있을때 분모부터 읽고 분자를 읽으시던데 왜 라운드는 반대인거죠 궁금하네여

그리고 반대로 읽는게 맞는건지도 궁금하네여

일반 미분기호는 분모의 d 부터 읽는게 맞고 편미분기호도 분모의 라운드 부터 읽는게 맞습니다.

빨간 줄로 표시해 놓은 부분이 갑자기 왜나온지 모르겠습니다.

주면좌표계를 이용하여 부피를 구할 수 도 있지만

구의 일부는 원의 일부를 회전시켜 부피를 구할 수 도 있기 때문에 원주각 공식을 이용한 것입니다.

p.140 75번문제 해설에 보면

a제로는 원래 1/2pi 로 시작하는데 왜 1/pi 로 시작하는지 모르겠어요

그리고 해설쭉 가다보면 파세발항등식 공식이나오는데

책에는 a0^2 의 계수는 2라고 되어있는데 왜 해설에는 1/2로 되어있는지 이해가 안갑니다.

1. sinx에 절댓값이 붙어서 주기가 pi가 되기 때문입니다.

2. 처음 a0를 원래 공식형태가 아니라 2배로 잡고 계산했기 때문입니다.

기본행연산 일차결합의 차이점이 무엇인지 궁금합니다.

행렬의 열 혹은 행을 벡터라고 가정할 수 있고 그렇다면 결국 일차결합이나 기본행 연산이나 같은 연산 같은데

이름을 달리한 이유가 있을거라 생각합니다.

차이점 설명 부탁드립니다.

고맙습니다.

기본행연산은 행렬에서 행을 간단하게 만들어주는 과정이고

일차결합은 벡터의 표현 방법입니다.