강의에서 홍익대문제 x^2+y^2+z^2=1  z>=0인

F ( x , -2y , z+1) 의 유량을 구하여라에서

가우스발산정리를 이용하기위해 폐곡면을 만들어서 z=0인 부분을채우고 식을정리하면

범위가 단이원인 인테그랄 (-z-1)dxdy 가 나오잖아요 . 그래서 z=0을 대입해서 마이너스 파이가 나오는걸알겠는데

다른 문제에 적용해보니 오개념이 생긴지 잘안되네요 문제는 해커스 성균관모의고사 입니다.

곡면z= 9-x^2-y^2의좌표가 음수가 아닌 부분을 s라고 할때 F ( 2x , 0, z)

 s의 유체량을 구하여라인데

이문제도 같은방식으로 z=0을 채워서 폐곡면을 만들고 식을정리하면

범위가 반지름이 3인 원인 인테그랄 zdxdy 가나옵니다.

그런데 위 문제에서는 z에다 폐곡면의 밑부분인 z=0을 대입하고 이문제에서는 z=0을 대입 안하고 

곡면z=9-x^2-y^2을 대입하는이유가 무엇인지 궁금합니다.

감사합니다 

폐곡면을 만들기 위해 추가한 S1에 해당하는 면에 대한 면적분을 계산할 때 S1이 xy평면상에 있으면 z=0을 대합하는게 맞습니다. z=9-x^2-y^2을 대입하는게 어디에 대입한건지 잘 파악이 안되서 정리하신 후 다시 질문 부탁드립니다.

기본 개념서는 부담스러울 수 있으니 공식집과 오답노트로 간소화 해서 모르는 부분만 집중적으로 공부를 하는게 좋습니다.

첫번째 직교방정식과  두번째 매개방정식은 그냥  알파벳차이일뿐인데  풀이과정이저렇게 달라지는 이유가뭔가요?    t로되어있는건 그냥 매개로봐야하나요 

첫번째는 직교좌표로 주어진 두 곡면의 교선의 길이를 구하는 상황으로 x에 대한 적분으로 길이를 구하는 것이고

두번째는 매개변수 함수로 곡선이 주어져 있으므로 t에 대한 적분으로 길이를 구한것 입니다.

상황에 따라 직교를 매개로 , 매개를 직교로 바꿔서 계산하는 경우도 있습니다.

Q1 4번에서 OA 내적 OB 값을 T라할때 T의범위 (25-4T)>0  과  (2T-9)^2<0 으로  2T가9임을 어떻게 알 수 있나요?  Q2 18번에 d^2y/dx^2 표현한부분에서  n(n-1)(n-2)... 값이 누락된게 맞나요? Q3 23번에 3번이 답이아닌가요?  Q4  24번에서  절대값을 해준이유가뭔가요?   그리고 틀린문제들 복습다하고나서는  어떤문제집을 푸는게 좋나요?  감사합니다

Q1 이차부등식>=0 만족할 조건은 x^2 의 계수>0과 판별식<=0 입니다. 이 조건을 동시에 만족하는 공통인 t를 찾으면 됩니다.

Q2 두번 미분한 것이므로 n(n-1)만 붙는게 맞습니다.

Q3 1번이 맞습니다.

Q4 넓이를 계산해야하는데 높이 개념인 y값이 음수이므로 길이로 표현하기 위해 절댓값으로 써준것입니다.

지금 시기에는 시험일이 얼마 안남았으므로 최근 기출문제를 시간을 재서 푸시는게 가장 좋습니다.

Q1 19번에 두벡터에의해 생성되는 수직인벡터가 -1 -1 1 은 나왔습니다 이다음부터점 1,1,2  -2,3,1 가지고  어떻게해야      수직인벡터 -1 -1 1에서  -1 1 0  을 얻을수있는지모르겟습니다          Q2   그리고 32번문제같은유형에서  X,Y이외에  미지수가없을때는  판별식 -b +- rooot b^-4ac /2a  로  x에대해2가지 방정식으로부터 평면의 방정식을 2가지 구할 수 있던데  여기서는  람다라는 3번째 미지수가있을때  1차식으로 만들기위해  판별식  b^-4ac가 0 으로 둔 이유를 잘모르겟습니다  감사합니다

Q1 평면의 방정식을 만족하고 -1 -1 1과 수직(내적=0)을 동시에 만족하는 벡터를 직관적으로 찾은것입니다.

위 문제의 경우 그램 슈밋정리를 써서 해결하는게 좋습니다.

Q2 x를 구하기 위해 x에 대해 정리해서 근의 공식을 쓴 형태에서 루트 안이 완전제곱식이 되어야 루트가 없어지고

평면 형태로 식이 나오기 때문에 루트 안의 식의 판별식  b^-4ac를 0 으로 둔 것 입니다.

다른 문제 풀다가 유수정리를 해봤는데 어디서 잘못됬는지 답이 잘못나오네요. 문제는 0에서부터 무한대까지 1/z^2+2z+2 dz 입니다.  z의 해를 구하면 z=1+i 랑 1-i가 나와서 고립특이점의범위를 적용시키기위해 범위를 -무한대에서 무한대까지 로 바꾸고 식을 2로 나누었습니다 . 그렇게하면 z=-1+i에서만 특이점이 생기는데 1위극을 적용해서 분모를 미분하면 2z+2가 나옵니다 그식에 z=-1+i를 대입하면 2분의파이가 나오는데 답이 4분의 파이라고 하네요 어디서 잘못된건가요? 

피적분함수  1/z^2+2z+2이 우함수가 아니기 때문에 -무한대에서 무한대까지 로 바꾸고 식을 2로 나누는 과정이 안됩니다.

위 문제는 복소적분 말고 분모를 완전제곱식으로 바꿔서 arctan 꼴로 적분해서 하시면 되겠습니다.

13번계산중  초기에있던 50파운드는  왜 계산식에서  사용하지않은 이유가 뭔가요?                  18번은 해설을봐도 이해가 안되던데어떻게 구간을잡아야할지 모르겟습니다.

1. 초기값이 A(0)=600 으로 주어져있습니다. 50 파운드는 문제에서 삭제해주세요.

2. 아래와 같이 풀어주시기 바랍니다.

코시적분정리 16중앙대 에서요 

고립특이점이 0인데 영역이 포함을 안해서 -무한대부터 무한대까지 해준다음에 1/2를 해준거죠??

그런데 1/2 (- 무한대부터 무한대까지 ) sinz / z dz 에서 다음으로 넘어 갈때

왜 1/2을 곱해졌는지 모르겠습니다

왜 1/4 ∮z＜∞ sinz/z dz 이렇게 되는건가요?

라는 질문의답이
고립특이점을 포함한 영역으로 잡기 위해서 적분구간을 -무한대에서 무한대까지로 잡으면 주어진 피적분 함수는 우함수이므로 원래 적분값의 2배가 됩니다. 따라서 원래 적분값은 -무한대에서 무한대까지 잡은 적분에 1/2를 곱해서 구해준 것 입니다.
이었는데요,  적분구간을 0 ~ ∞ 에서 -∞ ~ ∞ 으로 잡으면서 피적분함수가 원래적분값의 2배가 되므로 1/2을 곱해준건
저도 알겠는데 그 함수적분식을 폐곡선 함수로 바꾸면서 또 1/2이 곱해졌는데 이 곱해진게 왜 또 곱해진건가요..?

원점이 실수축 상에 있기 때문에 아래 원모양의 선을 추가해줘서 원점을 포함하는 폐곡선으로 만들어준것입니다.

아래 원모양의 선을 추가하면 원래 적분 값의 2배가 되므로 1/2를 곱해준것입니다.

미분학1 p.52  31번 문제에서 해설을 봤는데, A0=(2,3)은 1x2 행렬이고 (xn,yn)은 2x1 행렬이므로 행렬식이 다른데 어떻게 yn=3으로 같을 수가 있죠?

(2,3)은 벡터를 성분으로 표현한것이고 이것을 행렬로 표현하면 2x1행렬이 됩니다.

표현방식을 전부 2x1행렬으로 이해하시면 됩니다.

U를 Ux로편미분하고 Ux=Vy 이므로 Ux편미분한걸 다시 y에대해 편적분 해서 V를 구한다는것까진 알겠습니다.
근데, 교수님이 설명하실떄 Uy는 식에 x만의 함수가 없다.(핸드아웃에도 그렇게나와있네요)라고 했는데,
Uy식에 x만의 함수가 없다는건 무엇을 말하는것이고 왜 이것때문에 Uy는 문제풀이방법에서 제외되는가요?

Uy 식에는 x로만 이루어진 항이 없습니다. 따라서 Uy 를 x로 적분을 한다면 앞서 Ux 에서 y로 적분한 식과 같은 항들만이 나올 것입니다. 따라서 Uy 를 x로 적분 하지 않습니다.

포텐셜함수를 구하는 방법과 동일합니다.

극형식으로 바꾸면 e^(πi/3) 으로 바뀌고 1886을 2파이 마다 주기적으로 똑같으니 1886을 3x628+2 로 바꾸셔서 문제를 푸셨는데, 2파이 마다 주기적으로 똑같으면 6x314+2로 바꿔야 하는거 아닌가요?? x3 을 잡으면 π가 주기가 되버려서 양수 음수가 바뀌는거 아니에요?

3으로 나눈것은 분모를 없애주기 위해서 먼저 나눠준 것이고 몫으로 나온 628 이 짝수이니 주기의 성질에 따라 같다라고 동영상에서는 설명을 한 것입니다.

결과적으로 질문자께서 하신 얘기와 동일합니다.

p128 29번에서 특수해 구할때 (1/(D^2-4D+4))*4xe^(2x)를 이용하면 (4e^(2x) )*(1/D^2) *x 이므로 x를 두번적분을하면 답이랑 안맞는데 무엇이 잘못된건가요?

161p 20번에서 해설을 보면 x-2y+5=0 2x-y+4=0이라고 나오는데 이건 어떻게 알수 있는건가요?

그리고 치환을 할때 x=X-1 y=Y+2 로하는 이유가 있는건가요?

말씀하신대로 x가 2번 적분되면 x^3꼴이 나오므로 이런 형태가 될 수 있는건 4번밖에 없습니다.

주어진 미분방정식이 바로 풀기 어려우므로 상수를 없애는 식으로 치환을 하는 과정에서 0으로 두고 식을 정리해서

x=X-1 y=Y+2로 치환을 하는것입니다.

124p 15,16,17번을 구할때 해설에서15,16번에서는 mg구할때 질량에 중력가속도를 안곱하고 풀었는데 17번에서는 중력가속도를 곱하여서 푸는 건가요?

그리고 15번에서 후크의 법칙을 이용할때 F=-kx에서 저항력이 1/2(d^2x/dt^2)+(dx/dt) 처럼 F쪽으로 +부호를 띄면서 더해지는 건가요??

123p 12번에서고유값이 아니라는것을 고르라는데 해설지를 보면 고유값이 k라고 나와 있는데 왜 고유값이 k 인가요?

15 16번은 질량이 그대로 나와 있는 형태이고17번은 단위가 잘못되긴 했는데 무게이므로 중력가속도를 무게에 나눠줌으로서 질량을 구한 것입니다.

힘의 관계식으로 보면 저항력이 우변에 -5x 가 있어야 하는데 미분방정식 형태를 만들기 위해 좌변으로 이항시킨 꼴입니다.

교재 내용에는 없는 내용인데 변수가 k밖에 없으니 k를 고유값으로 생각하시면 됩니다.

138p 유형학습 3에서 X=(1)e^(-2t) 로 되어 있는데 왜 이렇게 되는 건가요?

                           (1)

133p 53번문제에서 르장드르 방정식이 나와는데 이 방정식은 어떤방식으로 해를 구해야 하나요?

128p 29번에서 yp의 올바른 형태가 B0x^3의 꼴이 나와야 되는거 아닌 가요? 왜 답이 4번이 되는건가요?

128p 32번에서 특수해구할때 1/((D-4)(D+1)) -8e^(-t)cos2t 를 하면 D-4부분에 -1을 대입하고 D+1부분에는D-1을대입해서   -8e^(-t)-1/5*1/(D) cos2t 이헐게 해야 하는거 아닌가요?

1. 대각행렬을 이용해 람다 a 와 그에 대응되는 고유벡터 X1 를 찾는다면 해 y=X1 e^(at) 로 구할 수 있습니다.

따라서 람다=-2 이고 그에 대응되는 고유벡터가 (1, 1) 이므로 y=(1, 1)e^{-2t) 로 구합니다.

2.  르장드르 방정식을 급수해를 이용하여 해를 구하는데,  이 부분은 직접 구하려고하기보다 암기를 하는게 좋습니다.

3. 비제차가 xe^(2x) 꼴이니 두 번 미분, 한 번 미분해서 xe^2x 꼴이 나오려면 x^3e^2x , x^2e^2x  꼴이어야 됨을 추측할 수 있습니다.

4. 지수 e^at 와 다른함수가 곱해져있다면 e^at 를 앞으로 보내며 D에 D+a 를 대입하는 것이 맞습니다.

Q.1 176p.  4번문제에서   좌표축을 회전하면 반시계방향으로의 theta만큼 회전 아닌가요?  반시계인 이유를 모르겟습니다      Q.2 7번문제  는 답이 1,2번 둘다 아닌가요?            Q.3 190p 26번 에서 밀도가 안주어졌으므로 면적 D에서의 평균높이는  f(x,y)=-x4(1-x-y/4) 가아니라  4(1-x-y/3) 아닌가요?  숫자는 오타같은데 -x는 왜붙은건지 모르겟습니다    갑사합니다

Q1. 좌표축을 theta 만큼 회전시킨 것은 곡선을 -theta 만큼 회전시킨 것이므로 곡선을 시계방향으로 theta 만큼 회전한 것이 됩니다.

Q2. 2번만 답입니다.

f(x)=sinx/x 를 x=0 에서 연속으로 정의할 수 있느냐 물어 본 것은

함숫값은 존재하지 않지만 임의의로 함숫값 f(0) 을 정하여 연속으로 만들수 있느냐를 물어본 것입니다.

함숫값과 극한값이 같도록 lim{x->0} {sinx/x} =1 이므로 f(0)=1 로 정한다면 연속이 되므로 연속으로 정의할 수 있습니다.

Q3. 오타입니다. 적분 구간이 0