p.266의 대표기출유형 질문입니다.

f=x^2 + y^2 + z^2

g1=x^2 + y^2 -1 = 0

g2=x+y+z-1 = 0

3변수함수이므로,

▽f = λ▽g1 + μ▽g2 로 두고 푸는게 정석으로 알고 있습니다..

그런데 저는 아예 g1를 f에다가 집어넣어서

f=x^2 + y^2 + z^2 = 1+ z^2 으로 바꾸었습니다.

이후에 이렇게 변형한 f를 g2 랑만 비교하려고 하여

▽f = λ▽g2 로 두고 풀었습니다.

정리하면, (0,0,2z) = λ(1,1,1) 이라서

λ=0, z=0 이 나왔습니다.

이렇게 나온 λ와 z를 g1과 g2에 대입하니,

(x,y,z)=(1,0,0), (0,1,0) 이렇게하여 같은 답이 나올 수 있었습니다.

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요지는,

 이렇게 제약조건(g1,g2)이 2개일 때에 f의 최대 최소를 구할 때에 있어서

▽f = λ▽g1 + μ▽g2 로 하는 대신에

g1 또는 g2를 f에 대입하면 라그랑지미정계수법 역시 제약조건이 1개인 경우로 하여 풀어도 옳은 것인가요?

(f에 g1이나 g2 중 제약조건 하나를 대입했다는 것 자체가

 f라는 식이 그 대입한 제약조건(g1 또는 g2)을 만족하기 때문에 저는 가능하다고 생각이 드네요;;)

주어진 조건의 함수를 만족하는 x, y, z 에 한정시켜 f의 값을 찾는 것이므로 대입하여 문제를 풀어도 가능합니다.

2변수함수 극점을 구할때

△=(fxx)(fyy)-(fxy)^2 이 0보다 크면 극값이 존재하고

fxx가 0보다 크면 극소, 0보다 작으면 극대잖아요?

질문1)△에서  fxy 대신 fyx를 써도 상관없나요? [ (fxx)(fyy)-(fyx)^2 로 ] (이유도 알려주세요..ㅠㅠ)

질문2)fxx로 0보다 크고 작은지를 판단을 하는 것 대신에, fyy가 0보다 크고 작은지로 판단해도 되나요?

            (된다면, fyy가 0보다 크면 극소, 0보다 작으면 극대인가요?)

            (그리고 왜 그런지..)

질문3) △이 0보다 클 때에, fxx = 0 이 나온다면 이것은 무엇을 의미하는건가요??

           (아니면 fxx=0 이 나올수는 없는건가요?)

이변수함수의 극점을 구하는 방법은 3차원 공간에서의 방향도함수를 이용해서 증명하고 있으므로, 증명에 대한 이야기는 넘어갑니다.

fxx 대신에 fyy는 안됩니다. 사용하는 일이 없도록 합시다.

fxy=fyx는 클레로 정리를 통해서 알 수가 있습니다.

fxx=0일 때  △이 0보다 클 수는 없습니다.

[lnx/(1+x)]이나 [ln(1+x)/x]는 정적분 공식 어떻게 유도하지요?

[lnx/(1+x)] 나  [ln(1+x)/x] 와 같은 로그함수는 로그 성질을 이용해서 적분하면 됩니다.

lnx/(1+x) = lnx - ln(1+x) 가 되므로 여기에서 적분공식을 이용해서 적분을 하면 됩니다.

ln(1+x)/x = ln(1+x) - lnx 가 되므로 여기에서 적분공식을 이용해서 적분을 하면 됩니다.

테일러 급수 전개후에

적분 하기 전에 10^-7이 나오기 까지의 항 을 비교하는 것인지

아니면 적분을 행한 후 10^-7이 나오기 까지의 항 을 비교하는 것인지

궁금합니다

적분을 한 다음에 오차의 한계를 구하는게 맞습니다.

1).피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우에 그냥 정적분으로 풀면되고

2).피적분함수가 불연속인 경우는 불연속인 경우를 제외하고 풀잖아요

그리고

1)인 경우에 피적분함수가 불연속이라고 했지만 원함수가 연속인 경우는 피적분함수가 불연속이기 때문에

불연속인 구간을 제외한 후 결과를 보니 원함수가 연속이더라.  따라서 1)의 경우이다

라고 도출해낼 수 있는 거 아닌가요?

그렇다면 대표1번이  '피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우' 이지만

'피적분함수가 불연속이나 원함수가 연속인경우' 라는 걸 몰랐을 경우

1) 번과 2)의 방법 중  직감점으로 어떤 방법으로 풀어야하는지를 아는 방법이 궁금합니다 

그리고 대표1번 같은 경우에 저는 2)의 방법처럼 불연속인 구간을 제외하고 풀었더니 답은 똑같이  나오더라고요..

그렇습니다. 원시함수가 연속인지 불연속인지 판단이 서지 않는다면, 구간을 나눠서 풀어주면 됩니다.

(나) 에서 해답을 보면 위로 볼록이라서 성립하지 않는다는데 왜 그런거죠

(나)는 아래로 볼록인 함수의 그래프의 성질입니다.

위로 볼록인 함수는 부등호의 방향이 반대입니다.

(나)는 함수의 기본적인 성질에 대한 얘기를 묻고 있습니다.

교재 6p 유형2번에 로피탈을 두번하면 lim {n(n-1)*x^(n-2)/e^x}잖아요

로피탈을 계속해서 분자가 n!이 된다던데.. 그럼 분자의 x는 왜 없어져요? 그것도 계속 남아야 되는거 아니에요?

x^2을 한 번 미분하면 2x가 되고, 한번 더 미분하면 2가 됩니다.

x^3을 세 번 미분하면, 3×2×1이 됩니다.

x^n을 n번 미분하면 n×(n-1)×(n-2)×....×2×1=n! 이 됩니다.

적분순서가

바깥쪽이 세타고

안쪽이 안쪽이 r에 관한 거잖아요

근데 이걸 바깥쪽을 r 과 관련된 범위로

안쪽을 세타 관련된 범위로 바꿔도

상관이 없는건가요?

순서가 바뀌어도 상관이 없습니다.

그런 종류의 문제는

세타 먼저 하고

그다음에 안쪽 적분을 r에 관해서 하는건가요

즉, 이런 원이 아닌 삼각형 적분문제에서는

dr이 왜 안쪽으로 들어가는건지 모르겠어요

특별한 이유가 있나요?

아니면 순서가 바뀌어도 상관이 없나요? 

적분 순서가 바뀌어도 상관이 없습니다.

그런 종류의 문제는

세타 먼저 하고

그다음에 안쪽 적분을 r에 관해서 하는건가요

즉, 이런 원이 아닌 삼각형 적분문제에서는

dr이 왜 안쪽으로 들어가는건지 모르겠어요

특별한 이유가 있나요?

아니면 순서가 바뀌어도 상관이 없나요? 

순서가 바뀌어도 상관 없습니다.

모르겠어요 ㅠ

정확하게 몇 쪽인지 알려주시기 바랍니다.  어떤 문제인지 모르겠습니다.

처음봐서

외우지 않았는데

332페이지에 나오는 월리스 공식

사용하는 방법을 모르겠습니다.. 알려주세요

월리스 공식은 적분학Ⅰ 51쪽에 자세하게 나와 있습니다. 월리스 공식이 많이 사용되지는 않지만 꼭 알고 있어야 하는 공식 중에 하나이며, 월리스 공식을 통해서 적분계산을 할 때 시간을 단축할 수 있는 효과도 볼 수 있습니다.

꼭 적분학Ⅰ에서 월리스를 공부하기 바랍니다.

331p보면

dxdy나 dydx나  전부

rdθdr로 쓰셔서요

직교좌표에서 극좌표로 바꿔서 적분을 할 때, dxdy나 dydx 어느 것이든 상관없습니다. 어차피 극좌표로 바꿔서 계산을 할꺼니까요.

rd세타dr 

이던지

rdrd세타 이던지

둘중에 순서 바뀌어도 상관없나요?

dxdy를 바꿀때요

그러면 적분하는 기준이 달라지지 않나요?

중적분에서는 적분 순서가 중요합니다.

그래서 303쪽에 따로 적분순서를 변경하는 방법을 참고하셔야 합니다.

처음 중적분 식을 쓸때부터 생각할 수 있다면 좋지만, 식을 세운 후 적분이 안될 경우에 순서를 변경하면 적분이 가능해질 때가 있으므로 적분 순서를 변경하는 방법을 꼭 공부하셔야 합니다.

적분 순서는 중요하며, 당연히 기준은 달라지게 됩니다.

2차일때 tanx = t 로 치환한다고 했잖아요

2차일때도 tanx/2 = t 로 치환해도 가능한데 tanx = t 로  치환하는게 더 편해서 그런건가요?

다른이유가 있다면 뭐 때문인지 설명부탁드리겠습니다.

수학 문제를 해결하는데 있어서 <항상, 언제나> 라는건 거의 없습니다.

상황에 맞게 공식을 이용하거나 변형해야 하는 부분입니다. 상황에 맞게 공식을 사용하면 됩니다.