스톡스 정리는 curl F 에 대한 면적분을 구할 때 적용할 수 있습니다.

주어진 적분은 F에 대한 적분이기 때문에 스톡스 정리를 바로 적용할 수 없습니다.

따라서 곡면 아래부분에 S1 을 추가시켜서 폐곡선으로 만든 후 가우스발산정리를 적용한것입니다.

Q.1 문제 자료의 2번과 4번에서  4번같은경우는  F1 dx F2dy로 주어지지않고 ds로  주어져서  면적분으로 치환을 못하는건가요?  ds = root(r^2sin^2세타  + r^2cos^2세타)d세타dr 로  변경해서 해봤더니 4pi +64/15가 나왔네요.   감사합니다

1. 4번 문제에서 그린정리응 적용해 면적분으로 바꾸지 못하는 이유는 곡선 C가 폐곡선이 아니기 때문입니다.

따라서 선을 매개변수 함수 x=4-t^2 y=t 로 치환해서 t에 대한 적분으로 풀어야 합니다.

오랜만에 수학을해서 그런지 분할하는 법을 다 잊아버렸어요 ㅜㅜ

s(5,3) 분할하는 법좀 알려주세요

공식으로 계산을 하면 25가 나옵니다.

강의에서는 5번문제로 나와있네요    이문제에서  u.v.w 각각 3구간 으로나누어   각각 -inf  ~ inf  똑같이 하고  야코비언만곱해주니까 ( 1/11  에다가  구간을 0부터하면 2배가 되므로  각  루트 파이가 나와  u,v,w 각 곱해주면 파이 루트 파이가 나와서)  pi root pi/11 로   값이 같이 나왔는데 이렇게 풀어도 되는건가요?  감사합니다

네 이번 방식으로 풀어도 가능합니다.

강의중에서(6강 37분) 에서 포텐셜 함수를 구할때 e^x을 곱해준 Q(x,y) 함수에서  y로 편적분할때 y만의 함수가 없어서 편적분을 해줄필요가 없다고하셨는데 Q1. y만의 함수라는게  미지수x가 하나라도 들어있는걸 말하면 그부분만 제외한 부분만 편적분을 해주면 되는건가요?  Q2.  앞에 Q1 질문은 언제나 만족하나요?  감사합니다

1. 네 맞습니다. 상수까지 포함해서 y에 관해 적분해주면 됩니다.

2. 완전미방꼴에서 포텐셜 함수를 구하는 상황에서 언제나 만족합니다.

해설에 a=2t, b=2t c=t 이고 t=플마 루트 3분의 1 이라고 나와있는데 그럼 Q(a,b,c)는 Q(+_루트3분의2,+_루트3분의2,+_루트3분의1) 이 되어야 하는것 아닌가요?

계산 결과상 두갸의 결과가 나오지만 최솟값을 구하는 상황이기 때문에 -부호인 것을 선택해준겁니다.

평면의 위치를 생각해보면 -인 점이 평면과 더 가깝기 때문입니다. 반대로 +부호는 최댓값이 나옵니다.

17번 문제를 에서 선적분 F dr 말고 문제 질문 그대로(curl F n dS)로풀면  포물면 z=2-x^2-y^2으로부터 수직한 법선 벡터로 n dS 를 (-fx.-fy.z') dxdy를 구할 수 있잔아요  그런데 여기서  ( Q.1)  z=1이니까  x^2+y^2=1  처럼 x,y 평면에 평행한  면이므로  z축으로 가는 벡터이므로 (0,0,k) 로 푼게 맞나요?  이렇게두고 풀면 답이랑 맞는데 우연한건지 맞는건지 모르겟습니다        Q.2  그렇다면면 (0,0,k)처럼  평면으로부터 얻은것이고   z의값에대해 특정한 언급이 없는이상  주어진 곡면에대한  (-fx, -fy, z') 을 대입하면 되는건가요?  감사합니다

Q1. z>=1 인 포물면이므로 주어진 곡면으로 ndS를 구하지 않고  (0, 0, 1) 로 잡은 것은 잘못된 방법이며 우연히 답이 맞은 것입니다.

Q2. 네 곡면이 나오면 특정한 방향이 주어지지 않는 한 (-fx, fy, z') 로 놓습니다.

공선조건을 활용해서 풀려고 하는데 해설지를 봐도 이해가 안돼 질문드립니다. 

아래와 같이 그림을 그렸는데 이 그림이 맞는 건지요?

이 이후 부터 풀이가 안되요.

그리고 해답에는 선분 AB가 백터b - 백터a 라고 놓았는데 왜 그렇게 놓았는지도 궁금합니다. 

벡터OA=a, 벡터OB=b 라 놓았으므로 벡터AB=벡터B-벡터A=b-a 입니다.

벡터AC=벡터C-벡터A=(t-1)a+5b 이구요.

또한 벡터AB 와 벡터AC 가 평행하므로 k(AB)=AC 가 성립합니다.

따라서 위에서 구한 벡터를 대입하여 t와 k의 값을 구하면 됩니다.

개정판 461쪽 유형학습 2번에서  적분  curl F dS  가아니라  curl F n dS로 나타내야하는거아닌가요?                    폐곡선 인테그랄 F dR  = 곡면 S 이중적분 gradient F n dS  인데  그냥  곡면 s 에서 curl F dS를하면    curlt F는  i j k 로 나타내는반면  dS는  root(1+4x^2+4y^2) 이나와  i j k 로 표현할 수 없어  dS와 curl F와 내적을 못하지 않나요?  25강  36분 마지막문제  16서강대에서도  curl F dS 만 있는데  n 이 왜 없는건가요? 감사합니다

밑에 질문에 말씀드린것 처럼

ndA=ndS=d(화살표S)=dS 같은 표현으로 보셔야합니다.

Q.1 기존판 413 맨위에 면적분공식이  f n d A잔아요  이걸 각 계산해보면 f(u,v)내적 (Xu Xv) dudv 가나오지만  146쪽 대표기출3번에서는 ndA대신 dS가 있습니다 그러면   ndA가  (Xu Xv)dudv인데  dS랑 같은건가요? 이문제에선 n이없고 dS로만 주어져있네요  그리고420 쪽 9번문제에선 dA가있는데 n이 없는대 이세문제전무다  같은것을 물어보는게아니라  각각 다른 것을 물어보는 문제들인가요?    Q2.  그리고 dA =l Xu Xv l dudv 인데  대표기출3번 문제처럼 dS면 극곡면적의 극소면적을나타낸거니까  바로 dudv를 써야하는거아닌가요    dA 랑 dS는 다른걸로 알고있습니다.

다 같은 것을 물어보고 있으며 기호 표현의 차이입니다.

벡터함수 F를 그냥 쓰거나 알파벳 위에 화살표를 쓰거나 같은 것으로 취급하는것 처럼

ndA=ndS=d(화살표S)=dS 같은 표현으로 보셔야합니다. 교수님에따라 쓰는 표현이 다를수있습니다.

dA와 dS의 구별은 적분할때 D상에서 하는가 S상에서 하는가로 구별하셔야합니다.

기존판 427쪽에서  대표기출 유형 1번과  유형학습 1번과  각 y 값이랑   아랫문제에서의 z값이랑 차이나는 이유가뭔가요? 아래에선 2로나누어주고 위에선 그대로쓰고  차이점을 구별못하겟습니다.

대표유형1번은 면적소를 극방정식으로 표현해서 잡았기 때문에 x_c=x, y_c=y 인 것이고

유제1번은 부피소를 직교좌표로 표현했기 때문에 x_c=x, y_c=y, z_c=z/2 인 것입니다.

Q1. 매개변수로 표현된 곡면적구할때  야코비언을 쓰지않는 이유가 뭔가요?   Q2. 매개변수로 표현된 곡면적 함수위에서의 면적분을구할때   f와 n 을 내적한 이유가뭔가요?  ,그냥 곡면적구할때는 이중적분  n  dudv가  구간 내에서 미소 곡면적의 총합 에서 n 이  밑면적으로부터 cos세타 값을 보정하여 나타낸 미소S'의 면적 으로 나타낸거까진 이해했습니다 근데 f랑 n을 내적하는 이유와  내적하고나서 무엇을뜻하는지 뭔지 모르겟네요. 항상 감사합니다.

Q1 매개변수 곡면적이면 u v에 대한 적분으로 표현 되는데 보통 u v에 대한 적분이 되기 때문에 좌표변환을 쓰지 않고 적분할 수 있습니다. 따라서 야코비언을 쓰지 않습니다. 야코비언은 좌표변환을 할때만 쓰입니다.

Q2 면적분 식에 있는 내적은 벡터함수 f와 면에대한 단위법선벡터 n의 내적으로 이루어져있습니다.

의미는 다양하게 해석할 수 있으나 내적의 정의를 생각해보면 f를 n방향으로 정사영시켜서 크기를 곱한것입니다.

이것들을 모두 다 더하면 정의된 면적에서의 면적분이 됩니다. 

Q1. 곡면적의 정의가 정사영한 영역 상에서 곡면의 법선벡터의 크기를 적분하는 것이기 때문에 매개변수에서 곡면의 법선벡터를 외적을 이용하여 구한 것입니다.

Q2. 벡터함수이냐 실함수이냐에 따라 곡면적의 정의 표현이 다를뿐입니다. 실함수에서는 함수 f에 법선벡터의 크기를 곱한 것을 곡면 S상에서 f의 면적분을 정의한다면, 벡터함수에서는 벡터함수 f와 곡면 S의 법선벡터를 내적한 것을 곡면 S상에서 f의 면적분이라고 정의하는 것입니다.

위의 빨간 줄에서처럼 정사영변환인 A를 구했는데 (나)고유벡터를 구할때 행렬 A를 왜 저렇게 주대각선 원소를 제외하고 모두 3배씩하고 계산을 한건지 이해가 안갑니다.

책의 오타입니다. 원소가 -3이 아니라 -1입니다.

원래대로 -1인 행렬으로 계산해보면 결과가 영행렬이 나오기 때문에 고유치 0에 대응되는 고유벡터가 됩니다.

 안녕하세요. 강의에서 배우기로는 변환후 도형의 넓이는 위 사진처럼 변환에 대응되는 야코비언 행렬식의 절댓값 배이다. 라고 알고있는데요, 저 7번에 해당되는 해설지 풀이에서처럼 각 점들을 변환을 먼저하고 단순히 외적을 이용해 삼각형 넓이를 구하면 답인 5√5/2가 나오지만 위 사진처럼 변환 이전에 삼각형넓이를 구하고 절댓값행렬식 배하면 왜 값이 다르게나오는지 모르겠습니다. 단순히 제 계산중에 틀린점이 있나요??

문제에서 물어본 도형은 원점을 지나지 않는 삼각형이므로 변환된 도형의 넓이를 원래 삼각형 넓이에

야코비안 행렬식을 곱하는 식으로는 구할 수 없으므로 직접 점을 변환해서 해야합니다.

만약 원점과 주어진 세점을 꼭짓점으로 갖는 사면체의 체적을 구하는 문제였으면

위의 방법을 적용해도 됩니다.

이제 15일안쯤으로 적분학2 진도가 끝날 예정입니다  시간이 약간 뒤쳐져서 공업수학이랑 이제 실전문제들도 같이 병행하면서 풀려고합니다   교재중에서 어떤걸 사야할지 잘몰라서요 1월달 까지 교재를 미리 다사려고하는데 어떤것들을 사야하는지 알 수 있을까요? 감사합니다.

우선 기출문제집이 가장 중요하고 학원 정규반에서 11월 부터 진행하는 최종마무리를 하시는게 좋겠습니다.

더 많은 문제를 풀고싶으시면 1200제까지 하셔도 괜찮습니다.