S가 주어진 곡면이며 S1 을 추가하여 S+S1 을 S2 로 하여 연속인 폐곡면 영역을 만들어 발산정리를 쓴 것입니다.

에서 법선벡터를 내적한 값이 결과로 나오는 것이기 때문에 코사인파이/2-새타 라고 놓아야 하는 것 아닌가요? 왜 바로 코사인새타라 한것인지 모르겠습니다.

두 평면의 교각은 각자의 법선벡터의 교각과 같습니다.

그림을 그려 확인해보시기 바랍니다.

평면과 직선의 교각을 물어봤다면 파이/2 - 세타 가 맞습니다.

평면방정식이 x+3y-2z-7=0 이니까 원점을 대입하면 -7이 되는 것 아닌가요..? x+3y-2z 로 계산해야 하는 건가요?

예를 들어 x+y=1 그래프를 그려보면 (0,0) 은 직선 아래에 있습니다.

직선방정식에 (0,0) 을 대입하면 0<1 이므로 아래에 있는 것이 맞습니다.

질문에 말한대로 x+3y-2z=7 로 보고 대입을 해주는게 맞습니다.

열공간의 기저가 (1,0,1) (1,1,0) 이고 일차결합 한 벡터는 (a+b, b, a) 로 나오니까 2번도 y값이 될수 없는 것 아닌가요?

네, 2번 보기가 오타입니다. (6, 2, 3) 이 아닌 (5, 2, 3) 이 알맞은 보기입니다,

적분하고 1을 대입할수없는 급수가  1/1-x  cosx , (1+x)^n  정도로 보면되나요?                   그리고 적분구간을 0부터 1인 이유가  함수 가 전부 대수함수로  수렴구간은 -1~1까지인데  시그마 0부터 이므로  0~1 까지의 적분으로  보면 되나요?

수렴구간에 따라 대입할 수 없는 것이 생기며, cosx 는 적분을하여도 수렴구간은 모든 실수이므로 1을 대입할 수 있습니다.

25번 문제는 수렴구간이 모든 실수이며 시그마가 0부터 시작하는 것과 관계없이

적분해서 x자리에 1을 대입한 식만 필요하기때문에 하한값은 0을 잡아줘 뒤쪽 식을 다 없앤 것 뿐입니다.

평면 방정식에 원점을 대입하면 0보다 작고 (4,4,1)을 대입하면 0보다 큰데 해설에 그래프는 같은 영역에 속하는 걸로 되어있어요

이해가 안갑니다

평면에 원점을 대입하면 결과가 7이므로 0보다 큽니다.

따라서 원점과 (4, 4, 1)이 같은 영역에 속하는게 맞습니다.

중점임을 이용해서 k값구하는 과정에서 k=-2 라고 되어있는데 -5/6이 나와요 풀이과정에 오류가 있는건가요? 해설지에 써있는 식 그대로 풀었는데요

AA'의 중점은 (A'+A)/2 이 맞습니다.

이 부분에서 해설에 오타가 있습니다.

마지막에 내적을 통해 코사인세타를 구하는 과정에서 분자인 내적에 절댓값을 씌우는 이유를 모르겠습니다. 

저는 풀이과정에서 법선벡터를 내적한 것이므로 cos(파이/2-세타)=-4/루트42 를 했고 거기서 막혔는데요

해설지를 보니 바로 cos세타라 하고 내적인 분자에 절댓값을 씌웠더라구요

예각을 구하는 상황이기 때문에

코사인 결과에 절댓값을 해주는 식으로 구하는 것입니다.

분모는 크기의 곱이므로 항상 양수이기 때문에 분자인 내적에 절댓값을 해주면 됩니다.

해설에서 A'=A+k(2,1,1)=(2k+1,k+2,k+3) 인것까지는 이해했는데 AA'의 중점이 A'/2 라는 것이 이해가 가지 않습니다

AA'의 중점은 (A'-A)/2 여야 하는것 아닌가요?

AA'의 중점은 (A'+A)/2 이 맞습니다.

이 부분에서 해설에 오타가 있습니다.

형광펜 칠한 부분에서 넘어가는 풀이과정을 잘 모르겠습니다. 월리스 공식인 건가요?

월리스 공식은 아니지만 원리는 월리스 공식이랑 비슷합니다.

주어진 함수는 sin^2 t 로 이루어져있기 때문에 0~파이/2, 파이/2~파이, 파이~3파이/2, 3파이/2~2파이 에서

그래프 모양이 대칭입니다. 따라서 0부터 2파이까지 적분을 0부터 파이/2까지 적분에 4배를 해서 구한 것입니다. 

(나) 에서 비교판정법을 이용할때 lim x가 0으로 간다고 되어있는데 왜 무한대가 아니라 0으로 가는 건가요?

42p 7번 문제가 없어서 47p 7번의 (나)를 질문하신 것으로 보고 답변 드리겠습니다.

비교판정한게 아니라 극한비교판정을 적용한 것인데 극한비교판정을 할 때,

피적분함수의 분모가 0이 되게 하는 값으로 극한을 보내면 됩니다.

주어진 피적분함수는 분모가 0이려면 x가 0으로 가야하기 때문에 0으로 가는 극한값을 생각한 것입니다.

2번문제 풀이에서 Z_c = Z 인가요? Z/2 아닌가요?? 직교좌표로 풀때와 극좌표로 바꿔서 풀때 Z_c 가 달라지는건가요?

위에 1번 문제풀이처럼 이중적분으로 표현했다면 Z_c = Z/2 로 잡으면 되는데

2번은 삼중적분으로 표현을 했기 때문에 애초에 적용한 공식이 다릅니다.

P591쪽 2번 풀이에서 2번째 줄 식이 1번처럼 Z_c = Z/2 로 잡고 이중적분 공식을 적용한 결과입니다.

436P 1번을 풀때 Zc=Z/2= rcosφ / 2 라고 놓고 구면좌표계로 바꿔서 풀면 안되나요? 2번은 Zc = Z/2 아닌가요??

삼중적분이면 구면좌표계로 바꿀 수는 있습니다.

우선 P591쪽 맨 위에 식처럼 쓰고 나서 형태를 보고 구면좌표계로 바꾸는 것을 생각해야 하는데요

결과가 적분이 이중적분이고 피적분 함수와 적분 구간을 보면 

이중적분을 극좌표로 바꿔서 하는게  적합다하는 것을 알 수 있습니다.

식을 삼중적분으로 바꿔서 구면좌표계로 바꿔서 할 수는 있겠지만 구지 그렇게 할 필요는 없습니다.

면적소를 직교로 잡느냐 극좌표로 잡느냐에 따라 차이가 있습니다.

직교로 잡을 경우 x_c = x ,  y_c = y/2 (x 축 기준)

극좌표로 잡을 경우 x_c = rcos(theta) , y_c = rsin(theta) 로 잡습니다.

해설 마지막에 f'(x)에 x=1을 대입해서 a>0이라고 나오는데 왜 1을 대입한 것인지 왜 f'(1)이 0보다 작은 것인지 모르겠습니다

그래프를 그려야 알수 있는건가요?

우선 해설에는 그래프가 아래로볼록으로 그려져 있는데 위로볼록으로 그려보시기 바라며

로그의 정의역에 따라 x>0 인 양수쪽에서 서로 다른 근이 두 개 생겨야 합니다.

조건에 맞게 그래프를 그리면 f '(0)<0 을 알 수 있는데, 분모에 0 이 생겨 구할수 없으니

대칭성을 이용하여 f ' (1)<0 을 만족해야함을 사용한 것입니다.