74p18번문제에서 a4 =f''''(0)/4! 와 값이 같은것을 이용하여 f''''(0)= sin(pi/4 +0)/4! 로하여  1/4!root2  로 나왔는데 올바른 풀이인가요?  감사합니다

네. 직접 미분을 통해 규칙을 찾아 대입 후 계산하셔도 좋습니다.

하지만 급수를 통한 풀이도 숙지하시기 바랍니다.

풀이과정 마지막에서 1-cos(t-파이) 가 (1+cost) 로 되는데 왜 그런것인지 모르겠습니다

코사인은 y축 대칭이니까 1-cos(파이-t) 가 될 수있고 파이-t는 몇사분면인지 모르기 때문에 더이상 간단히 할 수없다고 생각했는데요

제가 어느부분에서 잘못된건가요?

cos(t-파이)=-cos(t) 는 t가 어떤 각을 가지든 상관없이 일반적으로 성립하는 공식입니다.

보통 t를 1사분면상의 예각으로 생각하면 사분면의 각으로 부호를 결정해주기 쉽습니다.

(가)는 주기가 2파이/w 인경우 인데 왜 T=파이/w로 놓고(분자에서) 라플라스 변환을 한 것인지 모르겠습니다

T=2파이/w로 두는게 맞습니다.

하지만 이 문제에선 파이/w~2파이/w까지는 함수값이 0이므로 적분값이 0이 나오므로 구지 쓰지 않은 것 입니다.

구한  특수해에서 (1 0)e^-t 가 보조해라는 것은 어떻게 아나요? 형태를 보고 안 것인가요?

보조해는 직접 구하면 e^-t , e^-3t  가 나옵니다. 따라서 (1 0)e^-t 는 보조해 안에 들어가므로 빼줍니다.

그래프가 삼각함수 형태라서 보조방정식이 허근을 가져야 한다는 것은 이해가 되었는데 답인 1번 말고 3번도 허근을 가지는데 왜 답이 될수 없는지 모르겠습니다

3번은 보조방정식의 근이 허근이 나오긴 하지만 순허수가 아닌 실수부가 있는 허수로 나옵니다.

따라서 삼각함수 앞에 지수함수가 곱해진 꼴로 해가 나오게 되므로

그 해의 그래프는 주어진 그래프의 개형이 될 수가 없습니다.