y=f(x.p) p=dy/dx 일 때 주어진 미분방정식을 x에 대해 미분하면 우변이 f를 x에 대해 편미분 한 것과 f를 p로 편미분한 뒤 p를 x로 미분한 것의 합으로 나와 있습니다. 이것과 z=f(x,y) x,y는 u,v로 이루어져 있는 함수를 편미분 한 것과의 차이는 무엇인가요? 

전도함수 미분법에서 나오는 것입니다.

p=dy/dx이므로 p는 x의 함수이므로 p를 x로 다시 미분하여야 합니다.

합성함수의 미분법과 같은 미분입니다.

ax + by = p
cx + dy = q
이라는 연립방정식을 행렬로 AX = B라고 표현했을 때,
A는 계수행렬인 것은 알겠습니다.

그렇다면 첨가행렬은 미지수인 X부분이 되는건가요?
아니면 B부분이 되는건가요?
그것도 아니면 첨가행렬은 대체 어떤 것을 의미하는건지 예시를 들어 설명해주시면 정말 감사하겠습니다 ㅠㅠ

개념을 들으면 첨가행렬을 표현 해 놓았는데요. 21쪽 참고해주세요.

첨가행렬은 (A|B)을 의미하는 것입니다.

dy/dx 를 구하는 과정에서 (t^2+t)을 z등 으로 묶어 z=1-x^2-x, z=(y^2+3)/2 를 dz/dy, dz/dx로 푸는 방법도 괜찮나요?

 변수를 더 만들 필요가 없습니다. 여기에서는  t^2+t이 같은식이 있어서 가능합니다.

같은식이 없는 경우에는 적용이 불가능합니다.

계산과정에서 x^2+y^2=0이 되는 경우가 없다고 하셨는데 어떤 이유인지 궁금합니다

x^2+y^2=0을 만족하려면 x=y=0이 성립해야 합니다. 그러면 미분방정식의 관계식이 나올 수 없습니다.

복소수의 크기의 정의에서 복소수의 크기는 (실수부)^2+(허수부)^2의 루트를 해주면 됩니다.