X>0이라는 조건이 문제에 없는데 어디서 알 수 있나요? 

질문을 좀더 상세히 적어주길 부탁합니다.

적분에서 x의 범위가 0부터 1인 것을 보고 질문한 것이 맞나요?

타원은 y축 대칭이므로 0부터 1까지의 회전체 넓이에다 2배를 해준 식입니다.

둘러싸인 도형이 삼각형인데 무게중심 구해서 풀이하면 16pi가 나옵니다,, 파푸스 정리로 풀어야하는 문제를 못 골라내겠습니다 교수님

그 문제는 풀이과정 중에 실수가 있습니다.

파푸스로 푸는 문제가 맞으며 답은 16파이가 맞습니다.

y=√(x/1-x)라고 하셨는데 그래프가 왜 y의 음수 부분에도 그려지는지 모르겠습니다. x>0, y>0부분에만 그려져야 하는거 아닌가요?

네, 맞습니다. y=√(x/1-x) 는 1사분면에 그려지는 곡선이며

4사분면에 그려지는 곡선은 y=-√(x/1-x) 입니다.

위 문제를 풀때 p.231 대표유형1처럼 t값에 대한 x,y를 구하고 대충 그래프를 그려서 넓이 S를 구하여 풀었는데 1+tan^2t=sec^2t로 직교곡선으로 변경해서 하면 더 복잡한거같은데 대표유형1처럼 풀어도되나요??

네, 정확하게 그리지 않고 전반적인 그래프만 파악 후 풀어도 괜찮습니다.

⎰xsins/1+cosx^2 dx 에서 x=ㅠ-t 로 치환을 했는데,  해설지에 보면 좌변에 ⎰xsinx/ 1+cost^2 (-dt) 으로 

분모에는 t로 치환해줬지만 분자에는 x를 그대로 남겼더라구요   이렇게 임의적으로 분모만 치환을 해주면 안되지 않나요?

치환적분에서는 전혀 그런걸 배우지 않아서 말이죠 설명도 누가 해주는것도 아니고 ....  임의적으로 각 부분만 적분안에서 치환이 가능하다면 왜 그것이 가능한지 설명부탁드립니다 

죄송합니다. 오타입니다.

x 에 관한 식을 다 t로 바꿔야 하는 것이 맞습니다.