이차곡선에서 대각행렬을 구하기 전에 고유벡터를 구하기위해 고유치를 구하는데, 고유 방정식(혹은 다항식)을 통해 고유치를 구한 이후에 식을 전개했을 때, 우변이 0이 아닌 경우 고유치를 대입하여 행렬을 풀어쓰면 우변이 어떻게 되는 지 궁금합니다.

21강에 나오는 문제, 이차곡선 q(x)=5x^2-4xy+8y^2-36=0 에서 

q(x)는 X전치AX로 표현 가능하고 이때 A는 a11=5, a12=-2, a21=-2, a22=5 로 표현이 가능합니다.

그리고 고유 방정식은 (lamda-9)(lamda-4)=0 가 되어서 고유치는 9 또는 4가 됩니다.

교수님께서 9,4라는 람다를 가지고 수식을 전해하실 때 다음과 같이 진행하셨습니다.

1)lamda=9인경우

a11=5-9, a12=-2, a21=-2, a22=8-9 

5-9 -2 x 36

x =

-2 8-9 y 36

따라서 -4x-2y=36

          -2x-y=36

우변을 36이라는 이차형식의 우변 상수를 그대로 적으셨습니다.

물론 앞선 강의에서 대각행렬 D는 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2로 전개된다는 것은 증명했으나,

-4x-2y=36 -2x-y=36 이렇게 놓고 실제로 P를 구하고 아래와 같은 형태가 됩니다.

D=P역행렬AP로 구하면 실제로 대각행렬이 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2 와 같이 나오는 지 궁금합니다.

답을 내는데는 큰 문제가 없을 것 같은데, 수학과 편입 준비중이라 증명 과정까지 확인중에 질문 드립니다.

답변 부탁드립니다. 고맙습니다.

고유벡터를 구할 때는 lamda=9인 경우에 우변이 36 36이 아니라 0 0으로 해야 맞습니다.

그 연립방정식을 만족하는 x y를 구해서 고유백터를 구하고

lamda=4인 경우에도 똑같은 방법으로 고유벡터를 구한 다음 순서에 맞게 열로 써서 행렬 P를 구하시면 됩니다.

D=P역행렬AP 를 구해보면 실제로 대각행렬이 a11=lamda1, a12=0, a21=0, a22=lamda2 으로 나옵니다.

선생님께서 z축 중심으로 정사영시키셨고 z=1로 정사영을 내리셨는데요, xy평면으로 정사영 내려도 결과값에는 변화가 없나요? 저는 방법을 통일시켜서 xy축으로 내리는게 조금 더 편할 것 같아서요.

z=1 로 정사영시키지 않고 z=0 즉 xy 평면에 정사영 시켜 계산하여도 값은 동일합니다.

e^x + xy + xy +e^(-y) = c 에서 xy항 하나를 소거해서 e^x + xy +e^(-y) = c가 되는 것이 이해되지 않습니다. 왜 소거되는 거죠??

f_x 를 x로 적분하고 f_y  를 y로 적분하여 포텐셜 함수 f 를 찾는것인데

x와 y가 같이 있는 항은 f_x 와 f_y 두 곳에 다 포함되므로 중복됩니다.

따라서 포텐셜 함수를 구할 때 중복되는 것을 하나 제거합니다.

밑에 질문을 잘못해서 다시 질문드립니다 ㅠㅠ (수정이 안돼서 다시 게시글 올립니다 ㅠㅠ 죄송합니다...ㅠㅠ!) 블록행렬의 경우, 대각선 방향으로 0이 있을 때는 행렬식, 고유치를 구할 때 나머지 정방행렬의 행렬식, 고유치를 각각 구해서 곱하고, 역행렬의 경우에는 나머지 정방행렬 부분의 역행렬만 따로 구하면 되고, 0이 있는 부분이 한 군데 일 때는, 나머지 정방행렬 중 대각선으로 된 부분에서만 행렬식, 고유치를 각각 구해서 곱하고, 역행렬의 경우 그 부분에서의 역행렬만 구하면 되는 것이 맞나요 ... ? ^^

행렬식에서는 영행렬의 위치에 따라 부호 차이가 있으며

역행렬에서는 영행렬이 하나 있는 경우 말씀하는 그 부분이 어딘지 모르겠으나

영행렬을 제외한 나머지 두 부분에는 역행렬을 구하며

영행렬이 있는 대각선의 나머지 한 부분에는 조금더 복잡한 행렬의 곱이 들어갑니다.

선형대수학 p58, p98 에서

블럭행렬의 행렬식과 역행렬 구하는 공식을 참고바랍니다.

블록 행렬에서 행렬식이나 역행렬을 구할 때, 0으로 된 부분이 한 곳이든 두 곳이든 그 부분을 제외한 나머지 정방행렬의 행렬식과 역행렬을 각각 구해 곱해주면 되나요?

위에 답변하였습니다.