답이 be engaged to 인데요 여기서 be engaged to 의 뜻이 ~와 결혼하다 인가요?

be engaged to : '-와 약혼하다'입니다.

답이 3번 will be -> would be 이던데 왜 will be가 될수없나요?

주절의 시제가 과거면 that절의 동사도 과거로 일치시키는 것이 원칙입니다. (예외도 있긴 하지만) 일단은 원칙입니다. 따라서 주절의 시제가 과거면 that절에는 will/can/may가 아니라 would/could/might를 쓴다고 정리하시기 바랍니다. 열공하세요^^

답이 2번 will you be staying 이던데 이것을 will you stay 로도 쓸수있나요?

둘 다 가능합니다. 예를 들어 "오늘밤에 여기 있을거니?"라는 말을 영어로 하면 미래(Will you stay here tonight?)도 가능하고 미래완료(Will you be staying here tonight?)도 가능하고 현재진행(Are you staying here tonight?)도 가능합니다. 

63번의 답이 2번 have been knowing이 아닌 have known 이던데 왜 현재완료진행은 쓸수없는건가요? 

know는 진행불가 동사입니다. 교재에서 '진행 불가 동사'를 꼭 복습하시기 바랍니다. 그리고 우리는 시간이 지나면 잊어버리게 되어 있습니다. 따라서 이렇게 암기해야 하는 부분들은 반복적으로 점검하시기 바랍니다.

15번의 선지 4번 Father has just come home 에서의 현재완료 has come을 과거시제 came으로 바꿔쓸수도 있나요?

가능합니다. just는 과거시제에도 쓸 수 있습니다. 하지만 주로 현재완료와 함께 쓰이는 경우가 가장 많습니다.

He just came home.도 맞는 말이고 He has just come home.도 맞는 말입니다.